人教版-九年级数学--知识点总结.pdf
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1、第二十二章第二十二章 一元二次方程一元二次方程 22.122.1 一元二次方程一元二次方程 在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的形式,则这个方程就为一元二次方程 (4)将方程化为一般形式:ax+bx+c=0 时,应满足(a0)22.222.2 降次降次解一元二次方程解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为
2、两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法:用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程,其解为 x=m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。1.转化:将此一元二次方程化为 ax2+bx+c=0 的形式(即一元二次方程的一般形式)2.系数化 1:将二次项系数化为 1 3.移项:将常数项移到等号右侧 4.配方:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形:将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方:左右同时开平方 7.求解
3、:整理即可得到原方程的根3、公式法公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式=b2-4ac 的值,当 b2-4ac0时,把各项系数 a,b,c 的值代入求根公式 x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。22.322.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次
4、方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等第二十三章第二十三章 旋转旋转 23.123.1 图形的旋转图形的旋转 1.图形的旋转(1)定义:在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。(2)生活中的旋转现象大致有两大类:一类是物体的旋转运动,如时钟
5、的时针、分针、秒针的转动,风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案,如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。(3)图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心和旋转角所决定,旋转中心可以在图形上也可以在图形外。(4)会找对应点,对应线段和对应角。2.旋转的基本特征:(1)图形在旋转时,图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)图形在旋转时,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等;(3)图形在旋转时,图形的大小和形状都没有发生改变。3.几点说明:(1)在理解旋转特征时,首先要对照图形,找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。(2)旋转的角度是对应线
6、段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。(3)旋转中心的确定分两种情况,即在图形上或在图形外,若在图形上,哪一点旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。23.223.2 中心对称中心对称 中心对称:把一个图形绕着某一点旋转 180,假如它能够与另一个图形重合,那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。中心对称的性质:关于中心对称的刘遇图形,对应点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。关于中心对称的刘遇图形是全等形。中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转 180,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。
7、对称点的坐标规律:关于 x 轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数,关于 y 轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标不变,关于原点对称:横坐标、纵坐标都互为相反数。23.323.3 课题学习课题学习 图案设计图案设计 灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计图案设计就是通过图形变换(平移、旋转、轴对称或几种的组合)把基本图形组成具有一定意义的新图形,图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换,还要看图案是否很好的体现了设计意图第二十四章第二十四章 圆圆 24.124.1 圆圆 定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。(2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360,留下的轨迹叫圆。
8、圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心 (2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。注:圆心一般用字母 O 表示 直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r 表示。圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2 倍,半径是直径的二分之一.d=2r 或 r=二分之 d。圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。圆的周长:围成圆的曲线的长
9、度叫做圆的周长,用字母C 表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母 表示。计算时,通常取它的近似值,3.14。直径所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。r2,用字母 S 表示。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所
10、对的弦心距也相等。周长计算公式 1.、已知直径:C=d 2、已知半径:C=2r 3、已知周长:D=c 4、圆周长的一半:12 周长(曲线)5、半圆的长:12 周长+直径 面积计算公式:1、已知半径:S=r 平方 2、已知直径:S=(d2)平方 3、已知周长:S=(c2)平方24.224.2 点、直线、圆和圆的位置关系点、直线、圆和圆的位置关系 1.点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。3.外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是
11、三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。4.直线和圆的位置关系相交:直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。相切:直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。相离:直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。5.直线和圆位置关系的性质和判定如果O 的半径为 r,圆心 O 到直线l的距离为 d,那么 直线l和O 相交rd;直线l和O 相切rd;直线l和O 相离rd。圆和圆定义:两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个圆的外切。两个
12、圆有两个交点,叫做两个圆的相交。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个圆的内切。两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含。原理:圆心距和半径的数量关系:两圆外离 dR+r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rdr)两圆内切 d=R-r(Rr)两圆内含 dr)24.324.3 正多边形和圆正多边形和圆 1、正多边形的概念:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形与圆的关系:(1)将一个圆 n(n3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。3、正
13、多边形的有关概念:(1)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心。(2)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径。(3)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离。(4)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。4、正多边形性质:(1)任何正多边形都有一个外接圆。(2)正多边形都是轴对称图形,当边数是偶数时,它又是中心对称图形,正 n 边形的对称轴有 n 条。(3)边数相同的正多边形相似。重点:正多边形的有关计算。知识讲解知识讲解1、正多边形定义:各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。例如:正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有 n 条边,那么,这个多边形叫正
14、 n 边形。再如:矩形不是正多边形,因为它只具有各角相等,而各边不一定相等;菱形不是正多边形,因为,它只具有各边相等,而各角不一定相等。2、正多边形与圆的关系。正多边形与圆有密切关系,把圆分成 n(n3)等份,依次连结分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形。相邻分点间的弧相等,则所对的弦(正多边形的边)相等,相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等,从而得出,所连的多边形满足了所有边都相等,所有内角都相等,从而这个多边形就是正多边形。如:将圆 6 等分,即,则 ABBCCDDEEFFA。观察A、B、C、D、E、F 所对的弧可以发现都是相等的弧,所以,ABCDEF。所以,将一个圆 6 等分
15、,依次连结各分点所得到的是O 的内接正六边形。3、正多边形的有关计算。(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念:即正多边形的中心 O,正多边形的半径 Rn就是其外接圆的半径,正多边形的边心距 rn,正多边形的中心角 n,正多边形的边长 an。(2)正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形,等腰三角形的顶角就是正 n 边形的中心角都等于;如果再作出正 n 边形各边的边心距,这些边心距又把这n 个等腰三角形分成了 2n 个全等的直角三角形。如图:是一个正 n 边形 ABCD根据以上讲解,我们来分析 RtAOM 的基本元素:斜边 OA正 n 边形的半径 Rn;一条直角边
16、OM正 n 边形的边心距 rn;一条直角边 AM正 n 边形的边长 an的一半即 AM an;锐角AOM正 n 边形的中心角 n的一半即AOM;锐角OAM正 n 边形内角的一半即OAM(n2)180;可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正 n 边形的各元素。因此,就可以把正 n 边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。4、正多边形的有关作图。(1)使用量角器来等分圆。由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等,因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆;根据同圆中相等弧所对的弦相等,依次连接各分点就可画出相应的正n 边形。(2)用尺规来等分圆。对于一些特殊的正 n 边形,还可以
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