理工科大学物理知识点总结及典型例题解析.pdf
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1、理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 1 页 共 25 页v第一章第一章 质点运动学质点运动学本章提要本章提要1、参照系:描述物体运动时作参考的其他物体。2、运动函数:表示质点位置随时间变化的函数。位置矢量:ktzjtyitxtrrrrrrr)()()()(位置矢量:)()(trttrrrrr一般情况下:rrrr3、速度和加速度:;dtrdvrr22dtrddtvdarrr4、匀加速运动:常矢量 ;art avvrrr02210t atvrrrr5、一维匀加速运动:;atvv02210attvxaxvv22026、抛体运动:;0 xagay;cos0vvxgtvvysin0;tvxco
2、s02210singttvy7、圆周运动:tnaaarrr 法向加速度:22RRvan 切向加速度:dtdvat8、伽利略速度变换式:uvvvrv 【典型例题分析与解答典型例题分析与解答】1.如图所示如图所示,湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为 h,滑轮到原,滑轮到原船位置的绳长为船位置的绳长为 l。当人以匀速当人以匀速 v 拉绳,船运动的速度拉绳,船运动的速度为多少为多少?v 解:取如图所示的坐标轴,由题知任一时刻由船到滑轮的绳长为 l=l0-vt则船到岸的距离为:22022)(-h-vtl-hlx
3、因此船的运动速率为:oxvlvh理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 2 页 共 25 页20 vtlhlvdtdxv2.一质点具有恒定的加速度一质点具有恒定的加速度,在在 t=0 时刻时刻,其速度为零其速度为零,位置矢量位置矢量(m).求求:2)46(m/sjiarrrirrr10(1)在任意时刻的速度和位置矢量在任意时刻的速度和位置矢量;(2)质点在质点在 xoy 平面的轨迹方程平面的轨迹方程,并画出轨迹的示意图并画出轨迹的示意图.解.(1)由加速度定义,根据初始条件 t0=0 v0=0 可得 dtvdarr ttv)dtji(dtavd00046rrrr smj ti tv/)4
4、6(rr由及 t0=0得 dtrdvrrirrrrr100ttrrdtj ti tdtvrd00)46(0rrrrmjtitjtitrr2)310(2322220rrrr(2)由以上可得质点的运动方程的分量式 x=x(t)y=y(t)即 x=10+3t2y=2t2 消去参数 t,得质点运动的轨迹方程为 3y=2x-20这是一个直线方程.由知mirrr100 x0=10m,y0=0.而直线斜率 ,32tgady/dxk则轨迹方程如图所示1433oa3.质点的运动方程为质点的运动方程为和和,(SI)试求试求:(1)初速度的大小和方向初速度的大小和方向;(2)加速度加速度23010tt-x22015
5、tt-y 的大小和方向的大小和方向.解.(1)速度的分量式为 t-dx/dtvx6010 t-dy/dtvy4015当 t=0 时,v0 x=-10m/s,v0y=15m/s,则初速度的大小为m/s01820200.vvvyx而 v0与 x 轴夹角为 1412300oxyvvarctga (2)加速度的分量式为 260-xxmsdtdva240-yymsdtdva则其加速度的大小为 ms-217222.aaayxXy3y=2x-2010理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 3 页 共 25 页a 与 x 轴的夹角为 (或)1433o-aaarctgxy91326o4.一质点以一质点以
6、25m/s 的速度沿与水平轴成的速度沿与水平轴成 30角的方向抛出角的方向抛出.试求抛出试求抛出 5s 后后,质点的速度和距抛出点质点的速度和距抛出点的位置的位置.解.取质点的抛出点为坐标原点.水平方向为 x 轴竖直方向为 y 轴,质点抛出后作抛物线运动,其速度为 cos0vvx gtvvysin0则 t=5s 时质点的速度为 vx=21.65m/s vy=-36.50m/s质点在 x,y 轴的位移分别为 x=v0 xt=108.25m m060220.-gtt-v yy质点在抛出 5s 后所在的位置为 m)06025108(j.-i.j yi xr rrrrr5.两辆小车两辆小车 A、B 沿
7、沿 X 轴行驶轴行驶,它们离出发点的距离分别为它们离出发点的距离分别为 XA=4t+t2,XB=2t2+2t3(SI)问问:(1)在它们在它们刚离开出发点时刚离开出发点时,哪个速度较大哪个速度较大?(2)两辆小车出发后经过多少时间才能相遇两辆小车出发后经过多少时间才能相遇?(3)经过多少时间小车经过多少时间小车 A和和 B 的相对速度为零的相对速度为零?解.(1)t/dtdxvAA24 264tt/dtdxvBB当 t=0 时,vA=4m/s vB=0 因此 vA vB (2)当小车 A 和 B 相遇时,xA=xB 即 322224tttt解得 t=0、1.19s -1.69s(无意义)(3)
8、小车 A 和 B 的相对速度为零,即 vA-vB=0 3t2+t-2=0解得 t=0.67s.-1s(无意义).第二章第二章 质点力学(牛顿运动定律)质点力学(牛顿运动定律)本章提要本章提要1、牛顿运动定律牛顿第一定律 时 常矢量oF vvv牛顿第二定律 kmaimaimaamFzyxvvvvv牛顿第三定律 FFvvv0vxvyXY理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 4 页 共 25 页2、技术中常见的几种力:重力 弹簧的弹力 压力和张力gmPvvkxf 滑动摩擦力 Nfkk 静摩擦力 Nfss3、基本自然力:万有引力、弱力、电磁力、强力。4、用牛顿运动定律解题的基本思路:认物体看运
9、动查受力(画示力图)列方程5、国际单位制(SI)量纲:表示导出量是如何由基本量组成的幂次式。【典型例题分析与解答典型例题分析与解答】1.一木块在与水平面成一木块在与水平面成 a 角的斜面上匀速下滑角的斜面上匀速下滑.若使它以速度若使它以速度 v0 沿此斜面向上滑动沿此斜面向上滑动,如图所示如图所示.证明证明它能沿该斜面向滑动的距离为它能沿该斜面向滑动的距离为 v02/4gsina.证.选如图所示坐标,当木块匀速下滑时,由牛顿第二定理有 mgsina-f=0 因此木块受到的摩擦阻力为 f=mgsina (1)当木块上行时,由牛顿第二定律有-mgsina-f=ma (2)联立(1)(2)式可得 a
10、=-2gsina式中负号表示木块沿斜面向上作匀减速直线运动.木块以初速 v0开始向上滑至某高度时,v=0,由v2=v02+2as 可得木块上行距离为 s=-v02/2a=v02/4gsina2.如图所示如图所示,已知已知 F=4.0104N,m1=3.0103kg,m2=2.0103kg 两物体与平面间的摩擦系数为两物体与平面间的摩擦系数为 0.02,设设滑轮与绳间的摩擦系数均不计算滑轮与绳间的摩擦系数均不计算.求质量求质量 m2物体的速度及绳对它的拉力物体的速度及绳对它的拉力.解.如图所示,设 m2的加速度为 a2,m1的加速度为 a1.由牛顿第二定律分别列出 m1,m2的运动方程为 222
11、21111amgm-Tamgm-F-T由于滑轮质量、滑轮与绳之间的摩擦力不计,则有021-TT考虑到,且绳子不被拉长,则有2211T,TTT122aa 联立上述各式,可得2121227844)2(22-m.s.mmmmgF-a N.agmT422210351)(3.在一只半径为在一只半径为 R 的半球形碗内的半球形碗内,有一粒质量为有一粒质量为 m 的小钢球的小钢球.当小钢球以角速度当小钢球以角速度 在水平面内沿碗在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时内壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高它距碗底有多高?解.如图所示,钢球以角速度 在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动.当它距碗底高为v0 xyFNfPP
12、FNfaFa1m1m2m1gm2gFN1f1f2T1T2N21T2T2T理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 5 页 共 25 页h 时,其向心加速度为,钢球所受到的作用力为重力 P 和碗壁对球的sin22Rran支持力 N,其合力就是钢球匀速圆周运动所需的向心力 F.由图有 sinsin2mRNF则 (1)2mRN 考虑到钢球在垂直方向受力平衡,则有 (2)mgPNcos由图可知 .故有 /RR-h)(cos2R-g/h 4.一质量为一质量为 m 的小球最最初位于如图所示的的小球最最初位于如图所示的 A 点点,然后沿半径为然后沿半径为 r 的光滑圆弧的内表面的光滑圆弧的内表面 ADC
13、B 下下滑滑.试求小球在点试求小球在点 C 时的角速度和对圆弧表面的作用力时的角速度和对圆弧表面的作用力.解.取图所示的坐标系,小球在运动过程中受重力 P 和圆弧内表面的作用力 N.由牛顿第二定律得小球在切向方向运动方向方程为 ttmaF 即 mdv/dta-mgsin由 可得./dtrdds/dtv/vrddt将其代入上式后,有 d-rgvdvsin根据小球从 A 运动到 C 的初末条件对上式两边进行积分,则有 得2)sin(0drgvdvvcos2rgv 小球在 C 点的角速度为 /rgv/rcos2小球在法线方向的运动方程为 Fn=man即 cos2cos2mg/rmvN-mg由此得小球
14、对圆弧的作用力为 cos3mg-NN5.有一个可以水平运动的倾角为有一个可以水平运动的倾角为 的斜面的斜面,斜面上放一质量为斜面上放一质量为 m 的物体的物体,物体与斜面间的静摩擦系数物体与斜面间的静摩擦系数为为,如果要使物体在斜面上保持静止如果要使物体在斜面上保持静止,斜面的水平加速度应如何斜面的水平加速度应如何?解.物体 m 在斜面上保持静止,因而具有和斜面相同的加速度 a.可以直观的看出,如果斜面的加速度太小,则物体将向下滑;如果斜面的加速度过大,则物体会向上滑.(1)假定物体静止在斜面上,但有向下滑的趋势;物体受力分析如图(1)所示,由牛顿运动定律有)(sincos-am-Nf0cos
15、sin-mgNf则 Nfgaaaa-asincoscossinFPNRhADCBOraatmganaaaN Nfmgxy理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 6 页 共 25 页(1)假定物体静止在斜面上,但有向上滑的趋势;物体受力分析如图(2)所示,由牛顿运动定律有)(sincos-am-Nf0cossin-mgNf则 Nfgaaaaasincoscossin故gaaaaagaaaa-sincoscossinsincoscossin第三章第三章 功与能功与能本章提要本章提要1、功:rdFdWvv BABABAzyxdzfdyfdxFdrFrdFdWW)(cosvv2、动能定理:212
16、12221mvmvW3、保守力与非保守力:LrdFW0vv保LrdFW0vv非4、势能:对保守内力可以引入势能概念 万有引力势能:以两质点无穷远分离为势能零点。rmmGEp21 重力势能:以物体在地面为势能零点。mghEp 弹簧的弹性势能:以弹簧的自然伸长为势能零点。221kxEp5、机械能受恒定律:在只有保守内力做功的情况下,系统的机械能保持不变。1、用力推地面上的石块、用力推地面上的石块.已知石块的质量为已知石块的质量为 20kg,力的方向和地面平行力的方向和地面平行.推力随位移的增加而线性增推力随位移的增加而线性增加加,即即 F=6x(SI).试求石块由试求石块由 x1=16m 移到移到
17、 x2=20m 的过程中的过程中,推力所作的功推力所作的功.解.由于推力在作功过程中是一变力,按功的定义有J-xdxxdFWxx432)1620(3622201621rr2、一颗速率为、一颗速率为 700m/s 的子弹的子弹,打穿一木块后速率降为打穿一木块后速率降为 500m/s.如果让它继续穿过与第一块完全相同如果让它继续穿过与第一块完全相同的第二块木板的第二块木板.求子弹的速率降到多少求子弹的速率降到多少?解.由动能定理可知,子弹穿过第一块和第二块木板时克服阻力所作的功分别为aaN-fmgxy理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 7 页 共 25 页2221232122121222
18、11mv-mvWmv-mvW式中 v1为子弹初速率,v2为穿过第一块木板后的速率,v3为穿过第二块木板后的速率.由题意知两块木板完全相同,因此子弹穿过木板过程中克服阻力所作的功可认为相等,即 W1=W2,故有 2221232121212221mv-mvmv-mv由此得子弹穿过第二块木板后的速率为 m/s-vvv1002212233、.用铁锤把钉子敲入木板用铁锤把钉子敲入木板.设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比.若第一次敲击能把若第一次敲击能把钉子打入木板钉子打入木板.第二次打击时第二次打击时,保持第一次打击钉子的速度保持第一次打击钉子的速度
19、,那么第二次能把钉子打多深那么第二次能把钉子打多深.m101.0-2解.锤敲钉子使钉子获得动能.钉子钉入木板是使钉子将获得的动能用于克服阻力作功.由于钉子所受阻力 f 与进入木板的深度 x 成正比,即 f=kx,其中 k 为阻力系数.而锤打击钉子时,保持相同的速度,故钉子两次进入木板过程中所作功也相等,所以有 xkxdxkxdx01.001.00mx0141.0即钉子经两次敲击进入木板的总深度为 0.0141m.由此可知第二次打击使钉子进入木板的深度为 m.x-xd0041014、一半径为、一半径为 R 的光滑球固定在水平面上的光滑球固定在水平面上.另有一个粒子从球的最高点由静止沿球面滑下另有
20、一个粒子从球的最高点由静止沿球面滑下.摩擦力略摩擦力略去不计去不计.求粒子离开球的位置以及粒子在该位置的速度求粒子离开球的位置以及粒子在该位置的速度.解.如图所示,粒子在光滑球面上滑动时仅受球面支持力和地球引力 mg 的作用.由于 N 始终与球的运动方向垂直,故系统机械能守恒.当粒子从最高点 A 滑至离开球的位置 B 时,有 cos221mgR mv mgR根据牛顿第二定律,有21cosmvNmgR而粒子刚好离开时,N=0.因此有coscos21mgRmgRmgR则物体刚离开球面处的角位置为此时,粒子的速率为RggRv32cosv 的方向与 P 夹角为oo8.4190a5、一劲度系数为、一劲度
21、系数为 K 的水平轻弹黉的水平轻弹黉,一端固定在墙上一端固定在墙上,另一端系一质量为另一端系一质量为 M 的物体的物体 A 放在光滑的水平放在光滑的水平面上面上.当把弹黉压缩当把弹黉压缩 x0后后,再靠着再靠着 A 放一质量为放一质量为 m 的物体的物体 B,如图所示如图所示.开始时系统处于静止开始时系统处于静止,若不计一若不计一切摩擦切摩擦.试求试求:(1)物体物体 A 和和 B 分离时分离时,B 的速度的速度;(2)物体物体 A 移动过程中离开移动过程中离开 o 点的最大距离点的最大距离.解.(1)以 A、B 及弹黉为系统,假定 A、B 分离时的共同速度为 v.由机械能守恒定律,有2021
22、221)(kxvmMo248arccos32.RoPNvABA Bx0 x理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 8 页 共 25 页则 0)(xmMK/v(2)若设 x 为物体 A 离开 o 点的最大距离,由系统机械能守恒,有221221kxMv 则0)(xmMM/x第四章第四章 动量动量本章提要本章提要1、动量定理:合外力的冲量等于质点(或质点系)动量的增量。21ppdtFv对于质点系iippvv2、动量受恒定律:系统所受合外力为零时,常矢量。iippvv3、质心的概念 质心的位矢:iiiiiicrmmmrmr)1(vvvdmrmrcvv14、质心运动定律:质点系所受的合外力等于其总
23、质量乘以质心的加速度。camFvv 质点系的动量受恒等同于它的质心速度不变。1、如图所示、如图所示,质量为质量为 m、速度为、速度为 v 的子弹的子弹,射向质量为射向质量为 M 的靶的靶,靶中有一小孔靶中有一小孔,内有劲度系数为内有劲度系数为 k 的的弹黉弹黉,此靶最初处于静止状态此靶最初处于静止状态,但可在水平面作无摩擦滑动但可在水平面作无摩擦滑动.求子弹射入靶内弹黉后求子弹射入靶内弹黉后,弹黉的最大压缩距弹黉的最大压缩距离离.解.质量为 m 的子弹与质量为 M 的靶之间的碰撞是从子弹与固定在靶上的弹黉接触时开始的,当弹黉受到最大压缩时,M 和 m 具有共同的速度 v1,此时弹黉的压缩量为
24、x0.在碰撞过程中,子弹和靶组成的系统在水平方向上无外力作用,故由动量守恒定律可得 (1)1)(vMmmv在碰撞过程中,系统的机械能守恒,有 (2)20212121221)(kxvMmmv联立(1)(2)式,得)(0MmkmMvx2、质量为、质量为、速率为、速率为的粒子的粒子 A,与另一个质量为其一半而静止的粒子与另一个质量为其一半而静止的粒子 Bkg107.2-23m/s106.07Mmv理工科大学物理知识点总结及典型例题举例解析第 9 页 共 25 页发生完全弹性的二维碰撞发生完全弹性的二维碰撞,碰撞后粒子碰撞后粒子 A 的速率为的速率为.求求(1)粒子粒子 B 的速率及相对粒子的速率及相
25、对粒子 Am/s105.07原来速度方向的偏角原来速度方向的偏角;(2);粒子粒子 A 的偏转角的偏转角.解.取如图所示的坐标.当 A、B 两粒子发生碰撞时,系统的动量守恒.在 xoy 平面内的二维直角坐标中,有cosmvcosmv21mvB221A222A1xBxAmvmvinsmvsinmv0B221A2由碰撞前后系统机械能守恒,有2A2212B2212A121mv(m/2)vmv则碰撞后粒子 B 的速率为m/s.104.69v7B2粒子 B 相对于粒子 A 原方向的偏转角,654o粒子 A 的偏转角2022oa3、如图所示为一弹黉振子、如图所示为一弹黉振子,弹黉的劲度系数为弹黉的劲度系数
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