2024年上海市松江区九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
2．对于抛物线，下列说法中错误的是（　　）
A．顶点坐标为
B．对称轴是直线
C．当时，随的增大减小
D．抛物线开口向上
3．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A．9︰16 B．3︰4 C．9︰4 D．3︰16
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（ ）

A． B． C．10 D．8
5．一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（ ）

A．4米 B．5米 C．6米 D．8米
6．如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的点，点 E、F 分别是边 AB、AC 上两点，且 EF∥BC，若 AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ）

A．若 m＞1，n＞1，则 2S△AEF＞S△ABD B．若 m＞1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD
C．若 m＜1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD D．若 m＜1，n＞1，则 2S△AEF＜S△ABD
7．估计 ，的值应在( )
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．如图，在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位长度，点在弧线上的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
9．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
10．若，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交点的坐标为_____．
12．在相似的两个三角形中,已知其中一个三角形三边的长是3，4，5，另一个三角形有一边长是2，则另一个三角形的周长是 ．
13．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__．

14．若二次函数y＝x2+x+1的图象，经过A（﹣3，y1），B（2，y2），C（，y3），三点y1，y2，y3大小关系是__（用“＜”连接）
15．二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为_______________________
16．甲、乙两人在米短跑训练中，某次的平均成绩相等，甲的方差是，乙的方差是，这次短跑训练成绩较稳定的是___（填“甲”或“乙”）
17．体育课上，小聪，小明，小智，小慧分别在点O处进行了一次铅球试投，铅球分别落在图中的点A，B，C，D处，则他们四人中，成绩最好的是______．

18．已知关于x的一元二次方程两根是分别α和β则m=_____，α+β=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．

20．（6分）已知，求代数式的值．
21．（6分）已知关于的方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值．
22．（8分）某校八年级学生在一起射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，回答问题：
环数
6
7
8
9
人数
1
5
2

（1）填空：_______；
（2）10名学生的射击成绩的众数是_______环，中位数是_______环；
（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有_______名是优秀射手.
23．（8分）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠BCD＜90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，试在边AB上确定点P的位置，使得以P、C、D为顶点的三角形是直角三角形．

24．（8分）在正方形中，点是边上一点，连接.

图1 图2
（1）如图1，点为的中点，连接.已知，，求的长；
（2）如图2，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，点为对角线的中点，连接并延长交于点，求证：.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，

（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）将平移得到，使点的对应点是，点的对应点时，点的对应点是，在坐标系中画出，并写出点，的坐标.
26．（10分）如图，中，顶点的坐标是，轴，交轴于点，顶点的纵坐标是，的面积是．反比例函数的图象经过点和，求反比例函数的表达式．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】试题分析：观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为（﹣1,0）、（1,0）,
所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜1．
故选B．
考点：二次函数的图象．106144
2、C
【分析】A.将抛物线一般式化为顶点式即可得出顶点坐标，由此可判断A选项是否正确；
B.根据二次函数的对称轴公式即可得出对称轴，由此可判断B选项是否正确；
C.由函数的开口方向和顶点坐标即可得出当时函数的增减性，由此可判断C选项是否正确；
D.根据二次项系数a可判断开口方向，由此可判断D选项是否正确.
【详解】，
∴该抛物线的顶点坐标是，故选项A正确，
对称轴是直线，故选项B正确，
当时，随的增大而增大，故选项C错误，
，抛物线的开口向上，故选项D正确，
故选：C．
本题考查二次函数的性质.对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤时，y随x的增大而减小；当x ≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤时，y随x的增大而增大；当x ≥时，y随x的增大而减小．在本题中能将二次函数一般式化为顶点式（或会用顶点坐标公式计算）得出顶点坐标是解决此题的关键.
3、B
【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
4、A
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图，连结AE，

设AC交EF于O，
依题意，有AO＝OC，∠AOF＝∠COE，∠OAF＝∠OCE，
所以，△OAF≌△OCE（ASA），
所以，EC＝AF＝5，
因为EF为线段AC的中垂线，
所以，EA＝EC＝5，
又BE＝3，由勾股定理，得：AB＝4，
所以，AC＝
本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键.
5、B
【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8米，
∴AD=BD=4米，
设输水管的半径是r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=1．
故选B．

本题考查垂径定理的应用；勾股定理．
6、D
【分析】根据相似三角形的判定与性质，得出，，从而建立等式关系，得出，然后再逐一分析四个选项，即可得出正确答案 .
【详解】解：∵EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC=n，
​∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴
∴当m=1，n=1，即当E为AB中点，D为BC中点时，，
A.当m＞1，n＞1时，S△AEF与S△ABD同时增大，则或，即2
或2＞，故A错误；
B.当m＞1，n ＜1，S△AEF增大而S△ABD减小，则，即2，故B错误；
C.m＜1，n＜1，S△AEF与S△ABD同时减小，则或，即2或2＜，故C错误；
D.m＜1，n＞1，S△AEF减小而S△ABD增大，则，即2＜，故D正确 .
故选D .
本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键 .
7、B
【解析】先根据二次根式的乘法法则化简，再估算出的大小即可判断.
【详解】解：

，

，

故的值应在2和3之间.
故选：B.
本题主要考查了无理数的估算，正确估算出的范围是解答本题的关键．
8、B
【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点,根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律依此规律即可得出结论．
【详解】解：

作于点A．

秒
∴1秒时到达点 ，2秒时到达点 ，3秒时到达点 ，……
,
．
,
．
∴，，，，
设第n秒运动到为自然数点，
观察，发现规律：，，，，，，
，，，，
，
，
故选：B．
本题考查了解直角三角形，弧长的计算及列代数式表示规律，先通过弧长的计算，算出每秒点P达到的位置，再表示出开始几个点的坐标，从而找出其中的规律．
9、A
【解析】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：1，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)
∴它们的周长之比为1：1．
故选A．
【点睛】相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．
10、C
【分析】根据比例的基本性质直接判断即可.
【详解】由，根据比例性质，两边同时除以6，可得到，故选C.
本题考查比例的基本性质，掌握性质是解题关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（0，3）．
【分析】令x＝0，求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可．
【详解】解：x＝0时，y＝3，
所以．图象与y轴交点的坐标是（0，3）．
故答案为（0，3）．
本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.
12、8或6或
【分析】由一个三角形三边的长是3，4，5，可求得其周长，又由相似三角形周长的比等于相似比，分别从2与3对应，2与4对应，2与5对应，去分析求解即可求得答案．
【详解】解：∵一个三角形三边的长是3，4，5，
∴此三角形的周长为：3+4+5=12，
∵在相似的两个三角形中，另一个三角形有一边长是2，
∴若2与3对应，则另一个三角形的周长是：;
若2与4对应，则另一个三角形的周长是：;
若2与5对应，则另一个三角形的周长是:.
本题考查相似三角形性质．熟知相似三角形性质，解答时由于对应边到比发生变化，会得到不同到结果，本题难度不大，但易漏求，属于基础题．
13、（9，0）
【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，
所以位似中心的坐标为(9，0)．
故答案为：(9，0)．

14、y3＜y1＝y1．
【分析】先将二次函数的一般式化成顶点式，从而求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象的对称性和增减性判断即可.
【详解】∵y＝x1+x+1＝（x+）1+，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣，
A（﹣3，y1）关于直线x＝﹣的对称点是（1，y1），
∴y1＝y1，
∵﹣＜＜1，
∴y3＜y1，
故答案为y3＜y1＝y1．
此题考查的是二次函数的增减性，掌握二次函数图象对称轴两侧的对称性和增减性是解决此题的关键.
15、3
【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．
【详解】根据题意可得：A点的坐标为(1,0)，B点的坐标为(3,0)，C点的坐标为(0,3)，则AB=2，
所以三角形的面积=2×3÷2=3.
考点：二次函数与x轴、y轴的交点.
16、乙
【分析】根据方差的含义，可判断谁的成绩较稳定.
【详解】在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是刻画数据的波动大小程度，方差越小，代表数据波动越小.因此，在本题中，方差越小，代表成绩越稳定，故乙的训练成绩比较稳定．
本题考查方差的概念和含义.
17、小智
【分析】通过比较线段的长短，即可得到OC＞OD＞OB＞OA，进而得出表示最好成绩的点为点C．
【详解】由图可得，OC＞OD＞OB＞OA，
∴表示最好成绩的点是点C，
故答案为：小智．
本题主要参考了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
18、-2 1
【分析】首先根据一元二次方程的概念求出m的值，然后根据根与系数的关系即可得出答案．
【详解】∵是一元二次方程，
，
解得，
．
两根是分别α和β，
，
故答案为：-2，1．
本题主要考查一元二次方程，掌握一元二次方程的概念及根与系数的关系是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、
【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.
【详解】解：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝10，
∴AC＝=8，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝5，
∵∠ADE=∠C=90°, ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：DE＝．
本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.
20、
【分析】首先对所求的式子进行化简，把所求的式子化成的形式，然后整体代入求解即可．
【详解】解；

．
，
，
∴原式．
本题考查了整式的化简求值．正确理解完全平方公式的结构，对所求的式子进行化解变形是关键．
21、（1）；（1）1.
【分析】(1)根据方程有实数根，可分为k=0与k≠0两种情况分别进行讨论即可得；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系可得，，由此可得关于k的方程，解方程即可得.
【详解】(1)当时，方程是一元一次方程，有实根符合题意，
当时，方程是一元二次方程，由题意得
，
解得：，
综上，的取值范围是；
(2)和是方程的两根，
，，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，且，
答：的值为.
本题考查了方程有实数根的条件，一元二次方程根与系数的关系，正确把握相关知识是解题的关键.
22、（1）1；（1）2，2；（3）3
【分析】（1）利用总人数减去其它环的人数即可；
（1）根据众数的定义和中位数的定义即可得出结论；
（3）先计算出9环（含9环）的人数占总人数的百分率，然后乘500即可．
【详解】解：（1）（名）
故答案为：1．
（1）由表格可知：10名学生的射击成绩的众数是2环；
这10名学生的射击成绩的中位数应是从小到大排列后，第5名和第6名成绩的平均数，
∴这10名学生的射击成绩的中位数为（2+2）÷1=2环．
故答案为：2；2．
（3）9环（含9环）的人数占总人数的1÷10×3%=10%
∴优秀射手的人数为：500×10%=3（名）
故答案为：3．
此题考查的是众数、中位数和数据统计问题，掌握众数和中位数的定义和百分率的求法是解决此题的关键．
23、在线段AB上且距离点A为1、6、处．
【分析】分∠DPC＝90°，∠PDC＝90，∠PDC＝90°三种情况讨论，在边AB上确定点P的位置，根据相似三角形的性质求得AP的长，使得以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形．
【详解】（1）如图，当∠DPC＝90°时，
∴∠DPA+∠BPC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠BPC＝∠PDA，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=90°，
∴∠A＝∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴，
∵AB=7，BP=AB-AP，AD=2，BC=3，
∴，
∴AP2﹣7AP+6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，

（2）如图：当∠PDC＝90°时，过D点作DE⊥BC于点E，
∵AD//BC，∠A=∠B=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝7，AD=BE=2，
∵BC＝3，
∴EC＝BC-BE=1，
在Rt△DEC中，DC2＝EC2+DE2＝50，
设AP＝x，则PB＝7﹣x，
在Rt△PAD中PD2＝AD2+AP2＝4+x2，
在Rt△PBC中PC2＝BC2+PB2＝32+（7﹣x）2，
在Rt△PDC中PC2＝PD2+DC2 ，即32+（7﹣x）2＝50+4+x2，
解方程得：．

（3）当∠PDC＝90°时，
∵∠BCD＜90°，
∴点P在AB的延长线上，不合题意；
∴点P的位置有三处，能使以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形，分别在线段AB上且距离点A为1、6、处．
本题考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理，如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；解题时要认真审题，选择适宜的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
24、（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）作于点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，，在中，利用三角函数求出BP，FP，在等腰三角形中，求出BE，再由勾股定理求出AB，进而得到BC和CP，再次利用勾股定理即可求出CF的长度.
（2）过作垂直于点，得矩形，首先证明，得，再证明，可推出得.
【详解】解：（1）中，为中线，，
，.
作于点，如图，

中，

在等腰三角形中，
，
由勾股定理求得，

（2）过作垂直于点，得矩形，

∵AB∥CD
∴∠MAO=∠GCO
在△AMO和△CGO中，
∵∠MAO=∠GCO，AO=CO，∠AOM=∠COG
∴△AMO≌△CGO（ASA）
∴AM=GC
∵四边形BCGP为矩形，
∴GC=PB，PG=BC=AB
∵AE⊥HG
∴∠H+∠BAE=90°
又∵∠AEB+∠BAE=90°
∴∠AEB=∠H
在△ABE和△GPH中，
∵∠AEB=∠H，∠ABE=∠GPH=90°，AB=PG
∴△ABE≌△GPH（AAS）
∴BE=PH
又∵CG=PB=AM
∴BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH
即AM+BH=BE.
本题考查了正方形和矩形的性质，三角函数，勾股定理，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，利用全等三角形对应边相等将线段进行转化是解题的关键.
25、（1）图详见解析，；（2）图详见解析，；（3）图详见解析，
【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可，然后从坐标中读出各点的坐标；（2）让三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可；（3）将平移得到，使点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是(4，−1)，在坐标系中画出，并写出点，的坐标；
【详解】解：（1）（2）（3）如图所示：

（1）根据图形结合坐标系可得：；
（2）根据图形结合坐标系可得：点 (3，1)；
（3）根据图形结合坐标系可得：，；
本题主要考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，掌握作图-旋转变换，作图-轴对称变换是解题的关键.
26、．
【解析】根据题意得出AE=6，结合平行四边形的面积得出AD=BC=4，继而知点D坐标，从而得出反比例函数解析式；
【详解】解：顶点的坐标是，顶点的纵坐标是，
，
又的面积是，
，
则
，
反比例函数解析式为．
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数的能力．