画法几何与工程制图课件.doc

画法几何与工程制图A 第44页

第一章 制图基本知识
第一节 国家标准《机械制图》
教学目的：掌握制图的基本知识。
教学重点：文字的书写、线型的画法、尺寸标注的等基本知识。
难点：尺寸标注。
教学方法和教学手段：采用多媒体教学和在黑板上画图相结合。
机械图样是机械设计和机械制造过程中的重要技术文件，被称为工程界的共同语言。
一、图纸幅面及格式
1 图纸幅面
2 图框格式
3 标题栏
二、比例
三、字体
图样中书写的字体必须做到：字体工整、笔画清楚、间隔均匀、排列整齐。
1 汉字
汉字应写成长仿宋体，长仿宋体的书写要领是：横平竖直，注意起落，结构匀称，填满方格。
2 数字和字母
数字和字母有直体和斜体两种。一般采用斜体，斜体字字头向右倾斜，与水平线约成 75 °角。
四、图线线型及其应用

五、尺寸标注
1 基本规则
2 尺寸要素
3 各类尺寸标注实例
第二节 绘图工具及其使用
教学目的：使学生正确使用工具和仪器，保证绘图质量。
教学重点：丁字尺、三角板、图板结合应用。
难点：丁字尺、曲线板的应用。
教学方法和教学手段：现场演示。
常用的绘图工具及仪器有图板、丁字尺、三角板、圆规、分规、曲线板、铅笔等。下面
分别介绍各种工具及仪器的使用方法。
一、 图板和丁字尺
二、 三角板
三、圆规
四、分规
五、铅笔
六、曲线板
七、其他用品
第三节 几何作图
教学目的：熟练掌握作图的基本方法。
教学重点：圆弧连接的画法。
难点：圆弧连接
教学方法和教学手段：在黑板上演示。
一、等分圆周作内接正多边形
1 ．正五边形的画法
2 ．正六边形的画法
3 ．正 n 边形的画法
二、斜度和锥度
1. 斜度的画法
2 ．锥度的画法
四、圆弧连接
1. 用已知半径为 R 的圆弧连接两条直线

2. 用已知半径为 R 的圆弧同时外切两圆弧
3. 用已知半径为 R 的圆弧同时内切两圆弧

4. 用已知半径为 R 的圆弧连接一直线与一圆弧

第四节 平面图形的分析和画法
教学目的：平面图形分析和绘制。
教学重点：分析和绘制
难点：分析。
教学方法和教学手段：举例讲解。
任何机件的视图都是平面图形，而平面图形又是由很多的直线段和曲线段连接而成。
因此，掌握平面图形的分析方法，对于正确而迅速的绘制图样起着决定性的作用。
一、平面图形的分析

  平面图形通常由各种不同线段（包括直线段、圆弧和圆）组成。画图时，要先对平面图形的线段进行分析，弄清楚哪些是已知线段，可以直接画出，再找出哪些是中间线段，必须根据与相邻线段的连接关系，才能画出来，最后确定连接线段，求出连接圆弧的切点和圆心，方能画出。如图 所示，半径为 R25 、 R52 、 R10 的圆弧和直径为Φ 12的圆为已知圆弧，半径为R12的圆弧为中间圆弧，半径为R3的圆弧是连接圆弧，两条公切线是连接直线。
平面图形的画法
拨钩构形示例
画图时，应先画已知线段，再画中间线段，最后画连接线段。以拨钩构形图为例，画图步骤如下：
1 ）画已知圆弧（a ）。
2 ）画半径为 R12 的中间弧（与半径为 R52 的已知弧内切）：以 O 为圆心，以 R40 为半径画圆弧与过 O 1 的水平线相交，交点 O 2 为 R12 圆弧的圆心；连线段 OO 2 ，其延长线与半径为 R52 的圆弧的交点 A 即为切点；画半径为 R12 的圆弧（图 b ）。
3 ）画半径为 R3 的连接弧（与半径 R52 的圆弧外切、与半径为 R25 的圆弧内切）（图 c ）。
4 ）画两条公切的直线段（半径分别为 R10 、 R25 的圆弧的公切线 ED ，半径分别为 R10 、R12 的圆弧的公切线 FG ）（图 c ）。
5 ）检查、描深并标注尺寸。

第二章 点
教学目的：使学生掌握点、直线及平面的投影，熟练作图。
教学重点： 点、直线及平面的投影性质和规律，重点介绍点、直线及平面的作图过程。
难点：点、直线及平面的投影规律及作图。
教学方法和教学手段：通过课件多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。
第一节 投影法 (GB/T14692-93) 的基本知识
教学目的：使学生掌握 投影的基本投影的知识。
教学重点： 投影的过程。
难点：投影原理。
教学方法和教学手段：通过课件多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。
一、投影的基本知识
  设空间有一平面 P ，平面外有一定点 S( 光源 ) 。若把空间点 A 投影到平面 P 上，可连接 SA 延长与平面 P 交于 a ，点 a 称为空间点 A 在平面 P 上的投影， P 为投影面， S 为投影中心， SAa 为投射线。
  投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法。
1. 中心投影法
一组投射线都通过投影中心，有如灯光光源照射物体形成影子，称此投影法为中心投影法。
2. 平行投影法
一组投射线相互平行，如阳光光源照射物体形成影子，称此投影法为平行投影法。
平行投影法可分为两种：
(1) 正投影法 投射线方向垂直于投影面。
(2) 斜投影法 投射线方向倾斜于投影面。
  用正投影法确定空间几何形体在平面上的投影，能正确反映其几何形状和大小，作图也简便，所以在画法几何和工程制图中得到广泛应用。
二．点的投影特点
  点的投影仍然是点，而且在一定的条件下，是唯一的。空间点 A 在 P 投影面上的投影为a ，但是在同样的条件下，若仅根据点的一个投影，则不能确定点的空间位置。若仅知道投影 b ，则不能确定与之对应的空间点。

第二节 点的投影
教学目的：使学生掌握 点的投影过程。
教学重点： 点的投影原理。
难点：点的投影特征。
教学方法和教学手段：通过课件多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。
点是最基本的几何要素，本节着重介绍点的投影过程和投影规律。
一．点的投影过程

1 ．三投影面体系
  点的投影是在投影体系中实现的。投影体系是由三个相互垂直的平面组成，这三个平面称为投影面。其中一个为水平位置，称为水平投影面，简称水平面，以 H 表示；一个为正立位置，称为正立投影面，简称正面，以 V 表示；一个为侧立位置，称为侧立投影面，简称侧面，以W 表示。
2 ．点的投影过程
二．点的投影规律
由上所述 , 通过点的投影过程可总结出三投影面体系中点的投影规律如下：

(1) 点的正面投影 a / 与其它二投影 a 和 a // 连线分别垂直于 O Ⅹ轴和 OZ 轴，即a / a ⊥OX, a / a // ⊥ OZ 。
(2) 点的投影到各投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。即
a / a x= a // a YW= Aa ( 点 A 到 H 面的距离 ) ；
aa X= a // a Z =Aa / ( 点 A 到 V 面的距离 ) ；
a / a Z =aa YH =Aa // ( 点 A 到 W 面的距离 ) 。
(3) 点的水平投影到 O Ⅹ轴的距离等于点的侧面投影到 OZ 轴的距离，即 aa X= a // a Z 。
三．特殊点的投影
1. 投影面上的点
2. 投影轴上的点
第三章 直线
教学目的：使学生掌握 直线的投影过程。
教学重点： 特殊直线的投影特征。
难点：直线的投影特征。
教学方法和教学手段：通过课件多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。
第一节 直线的投影
一．直线的投影
二．直线与投影面的相对位置及其投影特性
1. 一般位置直线的投影
2. 特殊位置直线的投影
特殊位置直线可分为两类，即投影面平行线和投影面垂直线。
(1) 投影面平行线
a. 直线在其所平行的投影面上的投影反映实长，该投影与二投影轴的夹角，分别反映直线对相应投影面的倾角；
b. 直线的其余二投影平行于相应投影轴。
(2) 投影面的垂直线
a. 直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
b. 直线的其余二投影垂直于相应投影轴且反映实长。
三．直线上的点
(1) 若点在直线上，则该点的各投影必在该直线的同名投影上。反之，若点的各投影分别在直线的各同名投影上，则该点必在此直线上。
(2) 线段上的点分线段所成比例在其各投影上保持不变。
第二节 两直线的相对位置
两直线的相对位置，有平行、相交和交叉三种情况，前两种为同面二直线，后一种为异面二直线。
.一平行二直线
  若二直线平行，其各同名投影必平行。反之，若二直线的各同名投影平行，则该二直线必平行。
  若二直线均为一般位置直线时，只要检查两面投影即可判定。若二直线为某投影面平行线时，视其在所平行的投影面上的投影是否平行而判定。
二、 相交二直线
   若二直线相交，其各同名投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。反之，若二直线的各同名投影均相交，且交点连线垂直于投影轴，则该二直线必相交，在一般情况下，只要检查两面投影即可判定，
三、交叉二直线
  既不平行又不相交的二直线称为交叉二直线。
第三节 直角三角形法
在工程上，有时要求在投影图上用作图法来求解一般位置直线的实长。下面介绍用直角三角形法求作一般位置直线的实长及对投影面倾角的方法。
在图中，由V面和H面组成一个两面投影体系，一般位置直线的两个投影，均不反映实长。现过点作∥，即得直角三角形，其中：=，=，即线段两端点和距水平面H的距离差（B–A）；斜边即为实长，∠就是对H面的倾角。

求直线的实长和对H面的倾角有下列两种作图方法：
⑴ 以为直角边，由（或）作的垂线，在此垂线上量取 0=B–A=0，则0即为所求直线的实长，∠0即为。
⑵ 过作X轴的平行线，与交于0（此时0=B–A），量取00=，则0即为的实长，∠00即为，如图所示。
用该作图方法，也可以或为一直角边，两端点距V面或W面的距离差为另一直角边，从而求出的实长及对V面的倾角或对W面的倾角。读者可自行分析作
图。
[例] 已知直线的水平投影、点的正面投影及对H面的倾角=30°。求正面投影。
a) b) c)

图3-15 判别两侧平线的相对位置

作图：
解：以为一直角边，过（或）作斜边使其夹角等于，即得直角三角形0。其中另一直角边0就是、两点距H面的距离差（即坐标差），便可确定。若B>A，则高于；反之，低于。故此题有两解，如图所示。

第四章 平面的投影
教学目的：使学生掌握 平面的投影过程。
教学重点：特殊 平面的投影原理。
难点：平面的投影特征。
教学方法和教学手段：通过课件多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。
一．平面的表示方法
二．各种位置平面的投影特性
l. 一般位置平面
2. 特殊位置平面
三．平面内的点和直线
l. 平面内取点
   点在平面内，则该点必在此平面内的一条直线上。因此，在平面内取点，要取在平面内的已知直线上。
2. 平面内取直线
  直线在平面内，则该直线必通过此平面内的两个点；或通过此平面的一个点，且平行于此平面内的另一已知直线，这是直线在平面内的存在条件。在平面内取直线，依此条件可在平面内取二已知点连线、或取一已知点，过该点作平面内已知直线的平行线。
3. 投影面平行线
在平面内可作出各投影面的平行线，即水平线， 正平线和侧平线。
第五章 直线与平面、平面与平面的相对位置
教学目的：使学生掌握直线和平面相对的投影关系。
教学重点：相对位置关系的理解 。
难点：直线和直线相交、平面和平面相交。
教学方法和教学手段：通过课件多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。
直线与平面、平面与平面的相对位置包括：直线与平面平行；两平面平行；直线与平面相交；两平面相交；直线与平面垂直；两平面垂直。本章着重讨论在投影图上如何绘制和判别它们之间的平行、相交和垂直的问题。
一．直线与平面平行、平面与平面平行
1. 直线与平面平行
如果空间一直线与平面上任一直线平行，那么此直线与该平面平行。
2 ．平面与平面平行
如果平面上的两条相交直线分别与另一平面上相交的两直线平行，那么该两平面互相平行。
二．直线与平面相交、平面与平面相交
1.一般位置直线与特殊位置平面相交

2.一般位置平面与特殊位置平面相交

第六章投影变换
第一节 概述

一、投影变换的目的
空间几何元素(点、直线、平面)运用正投影原理一般用两面投影就可以唯一确定它们的空间位置，即解决了定位问题。然而，它们各部分的真实形状和大小。即度量问题有时不能在投影图上直接得到真实反映。
表中列举了四种度量情况。通过对比可以看出，当空间几何元素对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映实长、实形、实角、实距。但当它们对投影面处于特殊位置时，则反映实际的形状和大小，并且，有的还具有对解题有益的投影特性——积聚性。导致上述两种不同结果的关键是空间几何元素对投影面的相对位置不同。
投影变换的中心问题，就是根据投影图研究如何把对投影面成一般位置的空间几何元素变换成特殊位置，以实现简化解题的目的，即在投影图上用图解的方法直接解决它们的度量问题。
二、 投影变换的基本方法
改变空间几何元素与投影面之间的相对位置，采取的措施是让两者当中一个保持不动，而让另一个移动位置，就可以达到预想的目的。
投影变换常用的基本方法有两种：
1、 换面法：空间的几何元素不动，设立辅助投影面代替原有的投影面，达到解题的目的。
2、 旋转法：投影面保持不动，把空间几何元素绕某一旋转轴旋转到有利于解题的位置。
投影变换所依据的理论和作图方法仍然是前面讲过的正投影原理。
第二节 换面法
⒈ 换面法的基本知识

⑴ 换面法的基本原理
如图3–36所示，在/投影体系中，
铅垂面△在面和面上的投影均不
反映实形。为求实形，可变换△对
面的相对位置。为此，选择一个既平行
△又垂直于面的辅助投影面（即新
投影面）来代替原来的面。此时，面
和保持原状的面构成了一个新的两面体系
/，则△在/体系中的新投△111就反映△的实形。按照投影面展开的道理，以面和面的交线为轴，将面旋转到和面摊平的位置，从而得到△在/体系中的新投影图，达到求实形的目的。
必须指出，新的/体系是旧体系变换的结果，变换前后的投影关系有着紧密的联系。这种联系的纽带就是新、旧体系彼此共用的面。所以，旧体系中的两个投影面只能更换一个，保留一个借以维持这种内在的联系。否则，变换后的新投影也就无法从旧投影求出。
⑵ 选择新投影面的原则
新投影面不得任意选择，必须同时满足以下两个原则：
1) 新投影面必须和空间几何元素处于最有利于解题的位置。
2) 新投影面必须垂直于一个旧投影面，从而组成一个新的两投影面体系，以便应用正投影原理作图。
⒉ 点的投影变换规律
点是最基本的几何元素。在用换面法研究直线和平面的投影变换之前，必须首先弄懂点的投影变换规律。
⑴ 点的一次变换
1) 更换正立投影面
如图3–37（a）所示，体系中空间有一点，其正面投影为，水平投影为，、的交线为。
为了变换点的正面投影，令面不动，选取一铅垂面代替，此时与的交线为，形成新投影体系/。再按正投影法过点向面作投射线，交点1即为点在面上的新投影。于是，由/体系中点的两面投影和1便取代了体系中的投影和。点在新、旧两个体系中的投影一般称为旧投影，1为新投影，为不变投影，为旧投影轴，为新投影轴。按投影面展开道理，将和面分别旋转到与面摊平的位置，即得出如图所示的点一次变换的投影图。

(a) (b)
点的一次变换（换V面）
综上所述，得出点的投影变换规律如下:
① 点的新投影与不变投影的连线垂直于新投影轴。即1⊥。
② 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。即:1=。
根据以上两个规律，表明了更换正立面时，求点的新投影的作图过程:首先按选择新投影面的原则画出新投影轴，在轴两侧标记和，即表示选择了新投影面，形成了新投影体系/。然后过点作的垂线，并在垂线上量取1=，则1就是所求的面上新投影，而不变的水平投影为新、旧两体系所共有。至此，若摒弃旧投影，则/体系中的两面投影(和1)也唯一确定了点的空间位置。

（a） （b） （a） （b）
点的一次变换（换H面） 点的两次变换
2) 更换水平投影面
如果需要更换水平投影面，可选取代替面，构成新投影体系，如图a所示。然后按上述点的投影变换规律和作图过程，便可求出点的新投影，如图b所示。
以上所述点的一次变换，新投影轴均以表示。
⑵ 点的两次变换
在运用换面法求解实际空间问题时，有时更换一次投影面还不能达到目的，需连续两次或多次更换投影面。如图表示了更换两次投影面过程中点的新投影作图方法。其原理和规律与更换一次投影面完全相同，只是将作图法依次重复。如图所示，在第二次变换时，画出新投影轴，并标记，并量取=。
必须指出，在两次或多次换面时，因每次选择的新投影面必须和不变投影面保持垂直关系，求作新投影又依赖于旧投影，所以，只能按照次序依次更换投影面。每次只能更换一个，绝不能一次更换两个，并且两个投影面必须交替更换。先用面代替面构成新体系/，再以这个体系为基础，取面代替面，又构成新体系/……。如此交替下去，达到解题目的为止。

（a） （b） (c)
把一般位置线变为投影面平行线

⒊ 四个基本作图问题
在解决空间度量问题时，需对直线或平面进行投影变换，常遇到以下四个基本作图问题：
把一般位置直线变为投影面平行线；
把一般位置直线变为投影面垂直线；
把一般位置平面变为投影面垂直面；
把一般位置平面变为投影面平行面。
总而言之，就是把对投影面成一般位置的直线和平面变换为对投影面成特殊位置。基于两点决定一直线，不在一直线上的三点决定一平面的道理，直线和平面的变换问题实质都可归结为点变换的具体运用和发展。
⑴ 把一般位置直线变为投影面平行线
如图3–40（a）所示，为将变换为投影面平行线，取面代替面，使面垂直面且平行于，则在新体系/中就成为面的平行线，在面上的投影必反映实长，并反映与面的真实夹角。
如图3–40（b）所示，首先确定新投影轴，令∥，即选择了新投影面的位置又符合选择新投影面的原则(但与间的距离是不限的)；然后，接点的变换规律作出
（a） （b)
把一般位置直线变为投影面垂直线

、两点在面上的新投影1及1 ，即为所求正平线的新投影。
图3–40（c）为更换面的作图过程。同样把一般位置直线变为投影面的平行线。新投影反映实长，并反映与面的真实夹角。作图过程叙述从略。

⑵ 把一般位置直线变为投影面垂直线
若把一般位置直线变换为投影面垂直线，只更换一次投影面是不行的。因为一般位置直线对任何一个投影面都是倾斜的，如果取新投影面与一般位置直线垂直，则此新投影面就不可能垂直任何一个原有的投影面，也就不能构成新的投影体系，违背了选择新投影面的原则。此外，把一般位置直线变为投影面垂直线，必须改变直线对两个投影面的相对位置。故必须经过两次变换。第一次换面变为投影面平行线，改变直线对一个原有投影面的相对位置。第二次在前次基础上再更换另一个投影面，把投影面平行线变为投影面垂直线。
依照上述解题思路，其空间状况及作图过程如图(a)所示，先更换面，直线在V1／H体系中变为投影面V1的平行线,作图过程如图(b)所示.。再更换H面，在V1／H1体系中变为投影面H1的垂直线。在新投影面H1上的新投影a1b1积聚为一点。
必须指出，两次换面均应注意新投影轴的位置。第一次换面时新投影轴X1平行于不变的投影ab。但第二次因为是将己经变得的投影面平行线继续变为垂直线，所以必须选取新投影轴 X2垂直于第一次换面后得到的新投影，即X2⊥a1’b1’。总之，选择新投影面必须对解题有利。
对此问题也可第一次更换H面，先将直线变为新投影面H1的平行线，第二次更换V面，再将直线变为新投影面V1的垂直线（作图从略）.
(3) 把一般位置平面变为投影面垂直面
如图 (a) 所示，将一般位置平面△ABC变换为投影面垂直面的空间情况。因为当平面内若有某一直线垂直于投影面时，则该平面必然垂直于投影面。故解决这一问题的途径归结为：在△ABC内取一条直线，把该直线变为新投影面的垂直线，△ABC随之变为所选新投影面的垂直面。但前面两个问题已经阐明，将一般位置直线变为投影面垂直线必须经过两次换面，而对投影面平行线则只须一次换面。所以，为简化解题步骤应该在△ABC内取一条投影面平行线作为辅助直线，再选择一新投影面使之和该辅助线垂直，此时△ABC 必对新投影面垂直。

(a) (a)                                                                                                                                  
把一般位置平面变为投影面垂直面
根据上述思路把△ABC变为垂直面的作图过程如图（b）所示。首先，在△ABC内取水平线AE（ae，a′e′）,选新投影轴X1⊥ae，然后，求出△ABC三顶点的新投影a1′b1′c1′，它们一定积聚在一条线上。根据投影面垂直面的投影特性，新投影a1′b1′c1′和X1轴的夹角α即为△ABC对H面的真实倾角。
当然，若取△ABC内的正平线为辅助直线也同样可以达到将△ABC变为垂直面的目的。只不过应以H1面代替H面，其结果是变换成H1面的垂直面，新投影与新轴的夹角反映△ABC对V面的倾角β（作图从略）。
（4）把一般位置平面变为投影面平行面
如果把一般位置平面变换为投影面平行面，仅仅更换一次投影面也是不行的。因为若是新投影面平行于一般位置平面，就可能同时平直任何一个原有投影面，即不能构
成新的投影体系。所以，必须更换两次投影面。第一次更换一个投影面，把一般位置平面变为投影面垂直面。第二次继续更换另一个投影面，进而把投影面垂直面变为投影面平行面，如图3－43所示。
以上讲述了四个基本作图问题。实质上，第二个问题是直线变换的全部基本作图问题，第四个问题是平面变换的全部基本作图问题。
4．解题举例
应用投影变换的原理和作图法解决某些工程问题时，一般可以抽象为上述几何元素的四个基本问题之一或其综合，从而使解题过程由繁化简。
解题前，首先按题目已知条件和要求进行空间分析，构思出一个空间模型，想象出必须使己知几何元素对投影面成什么样的特殊位置才能对解题有利。并分析研究问题实质是属于直线变换还是平面变换，并拟定变换次数。最后在投影作图中逐步实现。

(a) (b) (c)
求点到直线的距离

[例 ]求点 M到直线 AB的距离，并作出垂足及距离的投影，如图 （a）所示。
分析：欲求点到直线的距离，必须由点向直线引垂线，求得垂足，点到垂足间的线段长即为所求之距离。可有以下两种解题途径：一是把已知点M与直线AB作为一个平面△ABM，用两次换面求出△ABC实形，则AB边的高即为所求距离。按作图规律，垂足可返回到原投影体系中去。二是将AB变为新投影面的垂直线，点M跟随变换，在新投影面上AB积聚为一点，此时点M到AB的距离必平行于该新投影面，投影反映实长,如图3－44(b)所示,再返回到原体系中去。
按后一种空间分析的思路解题，如图(C)所示。
作图：本题实质为直线的变换，经过两次换面后，AB在新投影面H1上积聚为一点（a1b1），点M也随之变换为新投影ml,ml到a１b１的投影长度m１k１即反映空间点M至AB的距离。因m１k１∥H1，故m１k１∥X２可按点在直线上的从属性返回原体系，得到mk与m′k′。
［例 ］求交叉两直线AB与CD间的最短距离，并作出公垂线的投影，图（a）。
分析：求解交叉两直线之间的最短距离，也就是求交叉两直线公垂线线段的实长。如图 （b）所示，若将交叉两直线中的任何一条（如AB）变换为新投影面H1的垂直线CD随之变换X则公垂线MN必为该新投影面的平行线，在该投影面上的投影反映实长。根据直角投影定理，AB、CD、MN三者之间的垂直关系在投影中容易表示。再按新、旧体系间的投影变换规律，将MN的新投影返回到原体系中去。

作图：如图(c)所示：
(l)将交义两直线之一AB经两次换面变换为新体系V1／H中H1面的垂直线(a1b1，a1′b1′)．相应地，CD随动变换成新投影（c1d1，c1′d1′）。
(2)根据直角投影定理，在H1面上，过a1b1作m1n1⊥c1d1，交c1d1于n1。m1n1即为所求公垂线（最短距离）的实长。由点、线从属关系和投影面平行线性质，在V1面上作m1’n1’∥X2．
(3)将MN的新投影(m1n1，m1′n1′)返回到原体系中得到(mn，m′n′)．

第七章 立体的投影
  本章所研究的平面立体和回转体是构成组合体或机件的基本要素。熟悉这些基本几何形体的投影作图方法，对以后的学习有非常重要的作用。要求掌握基本几何形体的三面投影的画法、在立体表面上取点或线的作图方法及基本几何体的尺寸标注。
第一节 平面立体
教学目的：平面立体的投影及立体表面取点或线；
教学重点：平面立体的投影及立体表面取点或线；
难点：表面取点、线；教学方法和教学手段：讲解法，采用在黑板上作图平面立体由若干多边形所围成。工程上常见的平面立体是棱柱和棱锥。绘制平面立体可归结为绘制它的所有多边形表面的投影。也是绘制这些多边形的边和顶点的投影。注意当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线重合时，画粗实线。下面以例子来说明平面立体表面取点、线的方法：

第二节 平面与平面立体表面相交
教学目的：掌握绘制截交线的方法和步骤；
教学重点：绘制截交线的方法和步骤；
难点：绘制截交线的方法和步骤；
教学方法和教学手段：讲解法，采用在黑板上作图平面和立体表面相交就形成截交线。当平面切割立体时，由截交线所围成的平面图形称为截断面。由于立体的形状各不相同，它与截平面的相对位置不同，而且截平面可以是一个，也可以是多个，所以截交线的形状也不相同。
求截交线的画法，归结有两种方法：
•  求出各棱面与截平面的交线，并判别各个投影的可见性，即得截交线的投影；
•  求出各棱线与截平面的交点，然后依次连接各交点，并判别各个投影的可见性，即得截交线的投影。
如图所示。
第三节 曲面立体
教学目的：曲面立体的投影及立体表面取点、线；
教学重点：立体表面取点、线；
难点：立体表面取点、线；
教学方法和教学手段：讲解法，采用在黑板上作图
  曲面立体由曲面或曲面和平面所围成。常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环及具有环面的回转体。它们通常均称为回转体。
  曲面立体的投影就是组成曲面立体的曲面和平面的投影的组合。本节主要介绍曲面立体投影图
的画法以及表面取点的方法。

圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。如下圆柱的投影。
圆锥由圆锥面、底面所围成。注意圆锥表面取点的两种方法：素线法、纬圆法。

球由球面围成。球和球面上点的投影如下。

第八章 截交线和相贯线
第一节 平面与曲面立体相交的截交线
教学重点：截交线的投影特点及作图方法。
难点：截交线和相贯线投影图的画法。
教学方法和教学手段：利用课件多媒体教学和在黑板上画图相结
一．截交线的性质
  平面切割立体时，立体表面（内表面或外表面）要产生截交线，这个平面称为截平面，由截交线围成的平面图形称为截断面。截平面与立体的相对位置不同，截交线的形状也各不相同，但一般都具有下列性质：
⒈ 截交线既在截平面上，又在立体表面上，因此截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点。
⒉ 由于立体表面是封闭的，因此截交线是封闭的平面图形。
二．截交线的求法
   截交线是截平面与立体表面的共有线，因此求截交线就是求截平面与立体表面的共有点，再按顺序依次连接各共有点。常用求截交线的方法有积聚性法、辅助平面法。
1 ．平面与圆柱相交
平面截切圆柱时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，可得到三种不同位置的截交线。

例 求正垂面截切圆柱的截交线。
2 ．平面与圆锥相交
圆锥被不同位置平面截切时，根据截平面与圆锥轴线相对位置不同，可得到 5 种不同的截交线。

例 直立圆锥被正垂面所截，求截交线的水平投影和侧面投影。
3 ．平面与圆球相交
  圆球被任一位置平面所截，其截交线均为圆。当截平面为投影面的平行面时，截交线在该投影面上的投影为反映实形的圆；当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线；当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影上的投影为椭圆。
例 求半圆球被开凹槽后的水平和侧面投影。
例 球体被正垂面所截，试完成其水平投影和侧面投影。
4 ．平面与组合体相交
   由于组合体是由几个基本体组合而成，所以截交线也是由各基本体的截交线组合而成，在求作截交线时，分别作截平面与基本体的截交线，再把它们组合在一起，即是截平面与组合体的截交线。
例 求作顶针截交线的水平投影。
第二节 曲面立体与曲面立体相交的相贯线
教学重点：相贯线的投影特点及作图方法。
难点：相贯线投影图的画法。
教学方法和教学手段：利用课件多媒体教学和在黑板上画图相结
一．相贯线的性质
⒈ 相贯线是两曲面立体表面的共有线，也是两相交曲面立体的分界线，相贯线上的所有点都是两曲面立体表面的共有点。
⒉ 相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下可能是平面曲线或直线。
二． 相贯线的求法
1 ．表面取点法
当曲面立体投影具有积聚性时，可利用积聚投影特性通过表面取点求相贯线的投影。

2．辅助平面法
3 ． 相贯线的特殊情况
在一般情况下，两曲面立体的相贯线为空间曲线，但在特殊情况下为平面曲线。
1 ）两同轴回转体相交，其相贯线为垂直轴线的圆，当回转体轴线平行于某一投影面时，则相贯线在该投影面上的投影为垂直于轴线的直线。
2 ）两轴线平行的圆柱相交，其相贯线为平行于轴线的直线。
3 ）当相交两回转体同时切于一个球面时，其相贯线为椭圆。如果两回转体轴线都平行于某一投影面时，则相贯线在该投影面上的投影为两条相交直线。

第九章 组合体
  工程上常见的形体，从几何形状来看，一般都可以看作由若干个基本体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等）组合而成。这样由两个及两个以上的基本体经过叠加、切割等方式组合而成的物体，成为组合体。本章就是要研究组合体的读、画及尺寸标注等问题。
第一节 三视图的概述
教学目的：掌握三视图的形成；
教学重点：三视图的形成和投影规律；
难点：
教学方法和教学手段：讲解法，采用在黑板上作图。
1 、组合体的三视图
用正投影法所绘制出物体的图形，称为视图。机件在三投影面体系中投影所得到的图形，称为三视图。
正面投影 — 主视图    水平投影 — 俯视图    侧面投影 — 左视图

2 、位置关系
  如图所示按俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方这样配置的三视图，不标注视图的名称，否则需要标注。
3 、方位关系
三视图和三面投影本质上是相同的。有关点、线、面和立体的投影特性，完全适用于组合体的三视图。
主视图反映物体的长和高，左右和上下；
俯视图反映物体的长和宽，左右和前后；
左视图反映物体的高和宽，上下和前后。
4 、三视图的投影规律
主、俯视图长相等；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等。
5 、组合体的组合形式
叠加、切割、综合，如图所示。

6 、几何形体间表面连接关系
平齐、相错、相切、相交，如图所示。

7 、组合体的形体分析法
  把一个组合体分解成若干个基本形体或部分，弄清各部分的形状、相互位置和组合形式，以达到了解整体的目的，这种思考的方法，称为形体分析法。
第二节 组合体视图的画法
教学目的：掌握组合体的画图；
教学重点：组合体视图的画法；
难点：组合体视图的画法；
教学方法和教学手段：讲解法，采用在黑板上作图。
画组合体的步骤如下：
•  形体分析法和线面分析法
•  视图选择
包括主视图和其他视图的选择。
•  选择比例，布置视图
•  绘制底稿
  先画主要形体，后画细节。先画可见，后画不可见。先画具有积聚性或反映实形的视图。要正确绘制各形体之间的相对位置。注意各形体之间的表面连接关。注意各形体之间内部融为整体。
•  检查描深
第三节 组合体的尺寸标注
教学目的：组合体的尺寸标注；
教学重点：组合体的尺寸标注；
难点：尺寸标注的完整性、清晰和正确；
教学方法和教学手段：讲解法，采用在黑板上作图。
尺寸标注中需要注意的问题如下：
•  基本几何体的尺寸注法
•  切割体的尺寸标注
•  组合体的尺寸分类：
总体尺寸 —组合体的总长总高总宽尺寸。
定型尺寸 —确定各基本形体的形状和大小的尺寸
定位尺寸 —确定各基本形体间的相对位置关系的尺寸。
4、 组合体的尺寸基准
  标注或度量尺寸的起点，称为尺寸基准。物体的长、宽、高每个方向上至少有一个基准；一般情况下以组合体较重要