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第六章 微分方程
6.1微分方程的基本概念
微分方程：
含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。
微分方程的阶：
微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
微分方程的通解：
如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
微分方程的特解：
在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。
初始条件：
用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。
积分曲线：
微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。
6.2一阶微分方程的求解方法
6.2.1 分离变量法
可分离变量的微分方程：
形如 的微分方程，称为可分离变量的微分方程。
特点：
等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有的函数，另一个是只含有的函数．
解法：
当时，把分离变量为对上式两边积分，得通解为
（这里我们把积分常数明确写出来，而把，分别理解为和的一个确定的原函数。）
6.2.2 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。
6.2.3 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程：
如果一阶微分方程可以写为则称之为一阶线性微分方程，其中、为连续函数．当时，此方程为，称它为对应于非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当时，称为非齐次线性微分方程。
解法：
用常数变易法可得其通解为：
（注：其中每个积分，不再加任意常数C。）
6.4 可降阶的二阶微分方程
6.4.1 不显含未知函数y的二阶方程：
解法：
令，则，方程变为，解之得,再积分得，即得通解。
6.4.2 不显含自变量x的二阶方程:
解法：
令，则，方程变为，解之得,再积分得通解。
6.5 二阶线性微分方程
6.5.1 二阶线性微分方程的解的结构
二阶线性微分方程：
形如 的方程,称为二阶线性微分方程。若，称之为二阶齐次线性微分方程；若，称之为二阶非齐次线性微分方程。
齐次线性方程解的叠加原理：
如果函数,是齐次方程的两个解,则也是方程的解,其中,均为任意常数。
齐次线性方程的通解结构：
如果函数,是齐次方程的两个线性无关解,则函数 (,为任意常数)是方程的通解。
非齐次线性方程的通解结构：
如果是方程的一个特解，是方程的通解,则 是方程的通解。
线性微分方程的解的叠加原理：
若，分别是方程，的特解，则是方程的特解。
6.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程：
，其中，是常数。
特征方程与特征根：
根据，可得。只要的值能使式成立。那么就是的解，称为的特征方程，称的根为方程特征根。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解：
特征方程的两个特征根
微分方程的通解

6.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程：
形如 （其中p,q均为常数,）的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程。
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：
的通解应该为，Y为对应齐次线性方程：的通解，为的一个特解。
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解：
的两种形式是：
1. = ,是常数。
是x的一个m次多项式： = 。
具有如下形式的特解：
的特解，其中 是与同次的多项式。

2. = ，其中：是常数。
分别是次、n次多项式，其中有一个可为零。
具有如下形式的特解：

其中：，是m次多项式,m=max{n,}
k＝