2019年江苏卷数学高考真题.pdf
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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题第 20 题,共 20 题)。本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。5如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号
2、等须加黑、加粗。参考公式:样本数据的方差,其中12,nx xx2211niisxxn11niixxn柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高VShSh锥体的体积,其中是锥体的底面积,是锥体的高13VShSh一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共计分,共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合,则 .1,0,1,6A|0,Bx xxRAB I2已知复数的实部为 0,其中 为虚数单位,则实数 a 的值是 .(2i)(1 i)ai3下图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 .4函数的定义域是 .276yxx
3、5已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务,则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 .7在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 xOy2221(0)yxbb .8已知数列是等差数列,是其前 n 项和.若,则的值是 .*()nanNnS25890,27a aaS8S9如图,长方体的体积是 120,E 为的中点,则三棱锥 E-BCD 的体积是 .1111ABCDABC D1CC10在平面直角坐标系中,P 是曲线上的一个动点,则点 P 到直线 x+y=0 的距离的xOy
4、4(0)yxxx最小值是 .11在平面直角坐标系中,点 A 在曲线 y=lnx 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自xOy然对数的底数),则点 A 的坐标是 .12如图,在中,D 是 BC 的中点,E 在边 AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于点.若ABCO,则的值是 .6AB ACAO ECuuu r uuu ruuu r uuu rABAC13已知,则的值是 .tan23tan4 sin 2414设是定义在 R 上的两个周期函数,的周期为 4,的周期为 2,且是奇函数.当(),()f x g x()f x()g x()f x时,其中 k0.若在区间(0,9上
5、,关于2(0,x2()1(1)f xx(2),01()1,122k xxg xxx 的方程有 8 个不同的实数根,则 k 的取值范围是 .()()f xg x二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共6小题,共计小题,共计90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤15(本小题满分 14 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c(1)若 a=3c,b=,cosB=,求 c 的值;223(2)若,求的值sincos2ABabsin()2B16(本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 A
6、BCA1B1C1中,D,E 分别为 BC,AC 的中点,AB=BC求证:(1)A1B1平面 DEC1;(2)BEC1E17(本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:的焦点为 F1(1、0),22221(0)xyababF2(1,0)过 F2作 x 轴的垂线 l,在 x 轴的上方,l 与圆 F2:交于点 A,与椭圆 C222(1)4xya交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B,连结 BF2交椭圆 C 于点 E,连结 DF1已知 DF1=52(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求点 E 的坐标18(本小题满分 16 分)如图,一个湖的边界是圆心为 O 的圆,湖
7、的一侧有一条直线型公路 l,湖上有桥 AB(AB 是圆 O 的直径)规划在公路 l 上选两个点 P、Q,并修建两段直线型道路 PB、QA规划要求:线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD(C、D为垂足),测得 AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米)(1)若道路 PB 与桥 AB 垂直,求道路 PB 的长;(2)在规划要求下,P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路 PB 和 QA 的长度均为 d(单位:百米).求当 d 最小时,P、Q 两点间的距离19(本小题满分 1
8、6 分)设函数、为 f(x)的导函数()()()(),f xxa xb xc a b cR()f x(1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值;(2)若 ab,b=c,且 f(x)和的零点均在集合中,求 f(x)的极小值;()f x3,1,3(3)若,且 f(x)的极大值为 M,求证:M0,01,1abc42720(本小满分 16 分)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.(1)已知等比数列an满足:,求证:数列an为“M数列”*()nN245324,440a aa aaa;(2)已知数列bn满足:,其中 Sn为数列bn的前 n 项和*()nN111221,nnnbSbb求
9、数列bn的通项公式;设 m 为正整数,若存在“M数列”cn,对任意正整数 k,当 km 时,都有*()nN成立,求 m 的最大值1kkkcbc2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学数学参考答案参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题每小题5分,共计分,共计70分分.1.2.23.54.5.6.7.1,6 1,7537102yx 8.169.1010.411.12.13.14.(e,1)321012,34二、解答题二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,
10、考查运算求解能力本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分满分14分分.解:(1)因为,23,2,cos3ac bB由余弦定理,得,即.222cos2acbBac2222(3)(2)32 3ccc c213c 所以.33c(2)因为,sincos2ABab由正弦定理,得,所以.sinsinabABcossin2BBbbcos2sinBB从而,即,故.22cos(2sin)BB22cos4 1 cosBB24cos5B 因为,所以,从而.sin0B cos2sin0BB2 5cos5B 因此.2 5sincos25BB16.本小题主要考查直线与
11、直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力理论证能力.满分满分 14 分分.证明:(1)因为 D,E 分别为 BC,AC 的中点,所以 EDAB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以 A1B1ED.又因为 ED平面 DEC1,A1B1平面 DEC1,所以 A1B1平面 DEC1.(2)因为 AB=BC,E 为 AC 的中点,所以 BEAC.因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱,所以 CC1平面 ABC.又因为 BE平面 ABC,所以 CC1BE.
12、因为 C1C平面 A1ACC1,AC平面 A1ACC1,C1CAC=C,所以 BE平面 A1ACC1.因为 C1E平面 A1ACC1,所以 BEC1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分满分 14 分分.解:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(-1,0),F2(1,0),所以 F1F2=2,c=1.又因为 DF1=,AF2x 轴,
13、所以 DF2=,52222211253()222DFFF因此 2a=DF1+DF2=4,从而 a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.因此,椭圆 C 的标准方程为.22143xy(2)解法一:由(1)知,椭圆 C:,a=2,22143xy因为 AF2x 轴,所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2的方程(x-1)2+y2=16,解得 y=4.因为点 A 在 x 轴上方,所以 A(1,4).又 F1(-1,0),所以直线 AF1:y=2x+2.由,得,22()22116yxxy256110 xx解得或.1x 115x 将代入,得,115x 22yx125y 因此.又 F2(1,0
14、),所以直线 BF2:.1112(,)55B 3(1)4yx由,得,解得或.221433(1)4xyxy276130 xx1x 137x 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点,所以.1x 将代入,得.因此.1x 3(1)4yx32y 3(1,)2E 解法二:由(1)知,椭圆 C:.如图,连结 EF1.22143xy因为 BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以 EF1=EB,从而BF1E=B.因为 F2A=F2B,所以A=B,所以A=BF1E,从而 EF1F2A.因为 AF2x 轴,所以 EF1x 轴.因为 F1(-1,0),由,得.221431xxy 32y 又因为 E 是线段 BF2与椭
15、圆的交点,所以.32y 因此.3(1,)2E 18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力知识分析和解决实际问题的能力.满分满分16分分.解:解法一:解:解法一:(1)过A作,垂足为E.AEBD由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.6,8DEBEACAECD因为PBAB,所以.84cossin105PBDABE所以.12154cos5BDPBPBD因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段B
16、E上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连结AD,由(1)知,2210ADAEED从而,所以BAD为锐角.2227cos0225ADABBDBADAD AB所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此,Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在中,.1PPB115PBPB由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.22221563 21CQQAAC
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