圆知识梳理+题型归纳附答案-(详细知识点归纳+中考真题).pdf
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1、1圆圆【知识点梳理知识点梳理】一、圆的概念一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行
2、于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内;drC2、点在圆上 点在圆上;drB3、点在圆外 点在圆外;drA三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点;dr2、直线与圆相切 有一个交点;dr3、直线与圆相交 有两个交点;drdrd=rrd四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离(图 1)无交点 ;dRr外切(图 2)有一个交点 ;dRr相交(图 3)有两个交点 ;RrdRr内切(图 4)有一个交点 ;dRr内含(图 5)无交点 ;dRrrddCBAO2周 1rRd 周 3rRd 五、垂径定理五、
3、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论,即:是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在中,OABCD 弧弧ACBD六、圆心角定理六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的
4、圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论,即:;AOBDOE ABDE;弧弧OCOFBABD七、圆周角定理七、圆周角定理周 2rRd周 4rRd周 5rRdOEDCBAOCDABFEDCBAOCBAO31、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论:推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在中,、都是所对的圆周角OCD CD 推论 2:半圆或直径
5、所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在中,是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在中,ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在中,O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半
6、径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:且过半径外端MNOAMNOADCBAOCBAOCBAOEDCBANMAO4 是的切线MNO(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:、是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA十一、圆幂定理十一、圆幂定理(1
7、)相交弦定理相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。即:在中,弦、相交于点,OABCDP PA PBPC PD(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即:在中,直径,OABCD 2CEAE BE(3)切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即:在中,是切线,是割线OPAPB 2PAPC PB(4)割线定理割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即:在中,、是割线OPBPE PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理十二、两圆公
8、共弦定理PBAOPODCBAOEDCBADECBPAOBAO1O25圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:垂直平分。12OOAB即:、相交于、两点1O2OAB 垂直平分12OOAB十三、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:中,;12Rt OO C22221122ABCOOOCO(2)外公切线长:是半径之差;内公切线长:是半径之和。2CO2CO十四、十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进行:OABCRt BOD;:1:3:2OD BD OB(2)正四边形同理,四边形的有关计算在中进行,:Rt OAE:1:1
9、:2OE AE OA(3)正六边形同理,六边形的有关计算在中进行,.Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:;180n Rl(2)扇形面积公式:213602n RSlR:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长:扇形面积nRlS2、圆柱:CO2O1BADCBAOECBADOBAOSlBAO周 周 周周 周 周 周 周C1D1DCBA6(1)圆柱侧面展开图 =2SSS侧表底222rhr(2)圆柱的体积:2Vr h(2)圆锥侧面展开图(1)=SSS侧表底2Rrr(2)圆锥的体积:213Vr h【考
10、题集锦考题集锦】一、选择题一、选择题1(北京市西城区)如图,BC是O的直径,P是CB延长线上一点,PA切O于点A,如果PA,PB1,那么APC等于()3(A)(B)(C)(D)o15o30o45o602(北京市西城区)如果圆柱的高为 20 厘米,底面半径是高的,那么这个圆柱的侧面积是41()(A)100 平方厘米(B)200 平方厘米(C)500 平方厘米(D)200 平方厘米3(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱九章算术中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现在的数学语言表述是:“如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为E,CE
11、1 寸,AB寸,求直径CD的长”依题意,CD长为()(A)寸(B)13 寸(C)25 寸(D)26 寸2254(北京市朝阳区)已知:如图,O半径为 5,PC切O于点C,PO交O于点A,PA4,那么PC的长等于()(A)6(B)2(C)2(D)2510145(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为 20 平方厘米,它的母线长为 5 厘米,那么此圆锥的底面半径的长等于()B1RrCBAO7(A)2 厘米(B)2厘米(C)4 厘米(D)8 厘米26(天津市)相交两圆的公共弦长为 16 厘米,若两圆的半径长分别为 10 厘米和 17厘米,则这两圆的圆心距为()(A)7 厘米(B)16 厘米(C)21 厘米(
12、D)27 厘米7(重庆市)如图,O为ABC的内切圆,C,AO的延长线交BC于点o90D,AC4,DC1,则O的半径等于()(A)(B)(C)(D)544543658(重庆市)一居民小区有一正多边形的活动场为迎接“AAPP”会议在重庆市的召开,小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为 2 米的扇形花台,花台都以多边形的顶点为圆心,比多边形的内角为圆心角,花台占地面积共为 12 平方米若每个花台的造价为 400 元,则建造这些花台共需资金()(A)2400 元(B)2800 元(C)3200 元(D)3600 元9(河北省)如图,AB是O直径,CD是弦若AB10 厘米,CD8 厘米,那
13、么A、B两点到直线CD的距离之和为()(A)12 厘米(B)10 厘米(C)8 厘米(D)6 厘米10(河北省)某工件形状如图所示,圆弧BC的度数为,AB6 厘米,点B到点C的距离o60等于AB,BAC,则工件的面积等于()o30(A)4(B)6(C)8(D)1011(沈阳市)如图,PA切O于点A,PBC是O的割线且过圆心,PA4,PB2,则O的半径等于()(A)3(B)4(C)6(D)812(哈尔滨市)已知O的半径为 3厘米,的半径为 5 厘米O与相5OO交于点D、E若两圆的公共弦DE的长是 6 厘米(圆心O、在公共弦DE的两侧),O则两圆的圆心距O的长为()O8(A)2 厘米(B)10 厘
14、米(C)2 厘米或 10 厘米(D)4 厘米13(陕西省)如图,两个等圆O和的两条切线OA、OB,A、B是切点,则AOB等于()O(A)(B)(C)(D)o30o45o60o9014(甘肃省)如图,AB是O的直径,C,则ABD()o30(A)(B)(C)(D)o30o40o50o6015(甘肃省)弧长为 6 的弧所对的圆心角为,则弧所在的圆的半径为(o60)(A)6(B)6(C)12(D)18216(甘肃省)如图,在ABC中,BAC,ABAC2,以AB为直径的圆交BC于D,则图中阴影部分o90的面积为()(A)1(B)2(C)1+(D)24417(宁夏回族自治区)已知圆的内接正六边形的周长为
15、18,那么圆的面积为()(A)18 (B)9(C)6(D)318(山东省)如图,点P是半径为 5 的O内一点,且OP3,在过点P的所有弦中,长度为整数的弦一共有()(A)2 条 (B)3 条(C)4 条(D)5 条19(南京市)如图,正六边形ABCDEF的边长的上 a,分别以C、F为圆心,a 为半径画弧,则图中阴影部分的面积是()(A)(B)(C)(D)261a231a232a234a20(杭州市)过O内一点M的最长的弦长为 6 厘米,最短的弦长为 4 厘米,则OM的长为()(A)厘米(B)厘米(C)2 厘米(D)5 厘米3521(安徽省)已知圆锥的底面半径是 3,高是 4,则这个圆锥侧面展开
16、图的面积是()(A)12(B)15(C)30(D)24922(安微省)已知O的直径AB与弦AC的夹角为,过C点的切线PC与ABo30延长线交PPC5,则O的半径为()(A)(B)(C)10(D)533563523(福州市)如图:PA切O于点A,PBC是O的一条割线,有PA3,PBBC,那么BC的长是()2(A)3(B)3(C)(D)233224(河南省)如图,A、B、C、D、E相互外离,它们的半径都是 1,顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是()(A)(B)1.5(C)2(D)2.525(四川省)正六边形的半径为 2 厘米,那么它的周长为()(A)6 厘
17、米(B)12 厘米(C)24 厘米(D)12厘米226(四川省)一个圆柱形油桶的底面直径为 0.6 米,高为 1 米,那么这个油桶的侧面积为()(A)0.09 平方米(B)0.3 平方米(C)0.6 平方米(D)0.6 平方米27(贵阳市)一个形如圆锥的冰淇淋纸筒,其底面直径为 6 厘米,母线长为 5 厘米,围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是()(A)66 平方厘米(B)30 平方厘米(C)28 平方厘米(D)15 平方厘米28(新疆乌鲁木齐)在半径为 2 的O中,圆心O到弦AB的距离为 1,则弦AB所对的圆心角的度数可以是()(A)(B)(C)(D)o60o90o120o15029(新疆乌
18、鲁木齐)将一张长 80 厘米、宽 40 厘米的矩形铁皮卷成一个高为 40 厘米的圆柱形水桶的侧面,(接口损耗不计),则桶底的面积为()(A)平方厘米(B)1600 平方厘米160010(C)平方厘米(D)6400 平方厘米640030(成都市)如图,已知AB是O的直径,弦CDAB于点P,CD10 厘米,APPB15,那么O的半径是()(A)6 厘米(B)厘米(C)8 厘米(D)厘米533531(成都市)在RtABC中,已知AB6,AC8,A如果把RtABC绕直o90线AC旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S;把RtABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为1S,那么SS等于()212(A
19、)23(B)34(C)49(D)51232(苏州市)如图,O的弦AB8 厘米,弦CD平分AB于点E若CE2 厘米ED长为()(A)8 厘米(B)6 厘米(C)4 厘米(D)2 厘米33(苏州市)如图,四边形ABCD内接于O,若BOD,则BCD()o160(A)(B)(C)(D)o160o100o80o2034(镇江市)如图,正方形ABCD内接于O,E为DC的中点,直线BE交O于点F若O的半径为,则BF的长为()2(A)(B)(C)(D)232255655435(扬州市)如图,AB是O的直径,ACD,则BAD的度数为()o15(A)(B)(C)(D)o75o72o70o6536(扬州市)已知:点
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