高考数学大题题型通解.doc
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1、高考数学:高考大题中的通解思维当前教学上喜欢讲究一题多解,因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧,但是搏众高考中心今天我们要反其道而行之,那就是一解多题。数学大题表面上是很难,但是通过多年的教学积累和经验总结,我们发现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致,能够形成通解,使我们在数学教学上大幅的简化,甚至不需要刻意的思考。我们借助一下历年高考真题,看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里,我们全部采用0508全国I卷的最后一题,发现是数列、函数或不等式题,没关系,题型不一样,看看是否能用固定的思维解法,解题步骤中存在什么样的共性: (05全国卷)已知函数 ()求的单调区间和值域;()设,函
2、数。若对于任意总存在,使得成立,求a的取值范围。解析:本题看似式子复杂,但是第一问直接可根据定义去做,这个分数必须拿到。根据定义得出以下式子:解:(I)对函数求导,得到这步几乎大家都会,题目问的是的单调区间和值域,很多人看到这个式子不敢往下分析,其实仍旧跟据定义: 令解得然后做表分析即可。【思考:凭什么令?】 当变化时,的变化情况如下表: 所以,当时,是减函数;当时,是增函数.当时,的值域为4,3.第二问很多人看题目就晕菜了,其实这道题即使你不会分析,大胆的往下做,就能把题目做对,我们思考下,题目给的条件和我们要求的差距点是什么?这道题的差距点虽然较大,但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的
3、,题目给的是g(x),x1和x0,并且给了范围,要我们求解a的范围,要想求a的值,就必须列出a的表达式,a的表达式想要列出,就必须从g(x)入手,题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间,因此我们不妨对函数求导,得【思考:凭什么进行求导?目的是什么?】到了这一步,由于题目告诉我们,所以当时,因此当时,为减函数,从而当时有这个就是我们所要的缺失条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导,因为题目给了我们取值区间,要想求出a值,只要判断这个函数的增减性就行了,这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性,就容易了,马上可列出a的表达式: 又即当时有有人说这个不是表达
4、式,还是个未知数,没关系,我们再用同样的思想去走,发现现在能利用的条件也异常清楚了(因为就这个没用上了): 任给,存在使得, 则 即 解得 ; 又,故a的取值范围为评析:这道题式子复杂,05年高考时候正确率非常之低,但是其中的解题过程并不复杂,思维方向也十分明确,只是考题将多个概念进行转换,条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合,但是总的思想是异常相似的,几乎全部的解答题都可以用一个思维来做,就是“条件差异弥补法”和“必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果,必须获得的前提是什么,多属于逆推,两者的道理是一样的。这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤:全部
5、的思维步骤:1、 严格按照题目的要求,判断要我们干什么2、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么3、 利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距4、 最终联系条件得出这个结论 固定的解题步骤:1、 直接根据课本定义得出结论(某类题注意取值分析)2、 用求同存异的思想进行条件转换3、 函数用式子变形推出结果(引申:若是证明,数列用数学归纳法)我们来看下道题,是否能够套用以上结论:(06全国卷)设数列的前项的和,()求首项与通项;()设,证明:解析:题目直接要求我们求首项和通项,由于我们知道通项和Sn公式,就能直接根据定义来做。解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3, , 得
6、 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3,4, 将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 做到这一步相信大家都会,那么我们要求an公式,通过这个式子,我们发现差距点在anan1,同时可以2n+12n也是相差一次,因此直接提出后,可以得出: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 这个就是我们所弥补的缺失点。因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, , 做到这里,我们要问自己凭什么这么
7、转化,我们所求的an和得到的结果(an与an1)存在差异点,要想把这个差异点弥补,就把他们之间的关系列出,就能得出结论。第二问是数学证明,首先可以考虑数学归纳法证明,但是这题题设与我们得到的结论差距较少,直接求解较快,如果为求稳妥,建议用数学归纳法。看看直接求解的思路:题目让干嘛就干嘛,别多想,直接用定义。题目给的是这个式子,那么必须求出Sn。()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) 【请思考】 = (2n+11)(2n1) ,然后求出Tn和(问题与题目的差距点,并想办法补上) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 评析:这题本
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