概率论与数理统计课堂PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率,论,与,数理,统计,教师,:,崔冉冉,河南工业大学理学院,1,教材：,概率论与数理统计,第三版,王松桂,等编,科学出版社,参考书：,1.,概率论与数理统计,浙江大学 盛骤等 编,高等教育出版社,2.,概率论与数理统计,魏振军 编,中国统计出版社,2,序 言,?,概率论是研究什么的？,3,人们所观察到的现象大体上分成两类：,1.,确定性现象或必然现象,事前可以预知结果的：,即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。,2.,偶然性现象或随机现象,事前不能预知结果：,即在相同的条件下重复进行试验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状态。,4,随机现象特点：,不确定性与统计规律性,概率论,研究和揭示随机现象的统 计规律性的科学,研究方式：从数量的侧面研究随机现象统计规律（通过数据去研究）,“,八月十五云遮月，正月十五雪打灯,”,5,概率论起源,概率统计是一门古老的学科，它起源于十七世纪资本主义上升的初期。物质生活的丰富，人们开始重视精神娱乐。在桥牌活动中，经常要判断某种花色在对方手中的分配；在掷色子中，要判断哪点出现的次数最多。概率论与数理统计正是从研究这类问题开始的。,尽管发展较早，但形成一门严谨的学科是在本世纪三十年代，前苏联数学家柯尔莫奇洛夫给出了,概率的公理化定义,后，才得以迅速发展。随着计算机的问世，六十年代后，形成了许多新的统计分支：时间序列分析，统计推断等等。目前它几乎遍及所有的学科技术领域。,6,第一章 随机事件,1.1,基本概念,1.1.1,随机试验与事件,1.1.2,随机事件及其运算,7,1.1.1,随机试验与事件,随机试验（试验）的特点：,1.,可在相同条件下重复进行；,2.,每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。,试验常用“,E,”表示,8,E,1,:,掷一颗骰子，观察所掷的点数是几,;,E,2,：工商管理部门抽查产品是否合格；,E,3,:,观察某城市某个月内交通事故发生的次数,;,E,4,：已知物体长度在,a,和,b,之间，测量其长度；,E,5,:,对某只灯泡做试验,观察其使用寿命,;,E,6,:,对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小,于,200,小时。,（随机）试验的例子,9,样本空间,：,试验的,所有可能结果所组成的集合称为样本空间。记为：,样本点,:,试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。,10,E,1,:,掷一颗骰子，观察所掷的点数是几,;,E,2,：工商管理部门抽查产品是否合格；,合格品，不合格品,E,3,:,观察某市某月内交通事故发生的次数,;,E,4,：,物体长度在,a,和,b,之间，测量其长度；,E,5,:,对某只灯泡做试验,观察其使用寿命,;,E,6,:,对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小,于,200,小时。,小于,200,小时，不小于,200,小时,（随机）试验的例子,11,随机事件,：,样本空间的任意一个,子集,称为随机事件,简称“事件”,.,记作,A,、,B,、,C,。,任何事件均可表示为样本空间的某个子集,.,基本事件,：一个随机事件只含有一个试验结果。,事件,A,发生,当且仅当试验的结果是子集,A,中的元素。,两个特殊事件,:,必然事件 ：样本空间包含了所有的样本点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发生。,不可能事件,：不包含任何的样本点，也是样本空间的一个子集，在每次试验中总不发生。,注意,：样本点和基本事件的区别。,12,解：,为基本事件,例,1.1.1,掷一颗色子，用 表示所掷点数。,B,表示“偶数点”，,C,表示“奇数点”，,D,表示“四点或四点以上”。,写出样本空间，指出哪些是基本事件，表示,B,，,C,，,D,。,13,1.1.2,、事件的关系与运算,既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。,14,是试验,E,的样本空间，,A,，,B,，,C,是事件,1.,包含关系：,“,事件,A,发生必有事件,B,发生,”,记为,A,B,，称,A,包含于,B,。,A,B,A,B,且,B,A.,15,2.,和事件：,“,事件,A,与事件,B,至少有一个发生”，记作,A,B,推广：,n,个事件,A,1,A,2,A,n,至少有一个发生，记作,16,3.,积事件,:,事件,A,与事件,B,同时发生，记作,A,B,AB,A,和,B,的公共部分,推广：,n,个事件,A,1,A,2,A,n,同时发生，记作,A,1,A,2,A,n,17,互,斥的事件（也称互不相容事件）：,即事件,A,与事件,B,不可能同时发生。,AB,18,4.,差事件,：,A,B,称为,A,与,B,的差事件,表示事件,A,发,生而事件,B,不发生,A,去除,A,和,B,的公共部分,19,互逆的,事件,：,A,B,且,AB,注意,：对立一定互斥，互斥不一定对立,20,事件的运算,1,、交换律：,A,B,B,A,，,AB,BA,2,、结合律,：,(A,B),C,A,(BC),，,(AB)C,A(BC),3,、分配律,：,(A,B)C,(AC),(BC),，,(AB),C,(A,C),(B,C),4,、对偶,(De Morgan),律,：,21,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以,A,、,B,、,C,分别表示甲、乙、丙命中目标，试用,A,、,B,、,C,的运算关系表示下列事件：,22,某人向目标射击，,以,A,表示事件,“,命中目标,”,，,P,（,A,）,=,？,考虑事件在一次试验中发生可能性的大小的数字度量,概率。,?,1.2,事件的概率,23,定义,1.2.1,在相同条件下，事件,A,在,n,次重复试验,中,发生,m,次，则,称,比值,m/n,称为事件,A,在,n,次试验,中,发生,的,频率,，记为,f,n,(A).,1.2.1,事件的频率,频率的性质：,(,1),非负性；,0,f,n,(A),1,；,(2),规范性：,f,n,(),1,；,f,n,(,)=0,(3),可加性：若,AB,，,则,f,n,(A,B),f,n,(A),f,n,(B).,注意,：称为“,n,次试验发生的频率”，是因为随着,n,的取值不同，,f,n,(A),的值有可能不同。,24,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。,实验者,n n,H,f,n,(H),De Morgan 2048 1061 0.5181,Buffon 4040 2048 0.5069,K.Pearson 12000 5981 0.4984,K.Pearson 24000 12012 0.5005,从表中不难发现,：事件,A,在,n,次试验中发生的频率具有随机波动性。当,n,较小时，波动的幅度较大；当,n,较大时，波动的幅度较大；最后随着,n,的逐渐增大，频率,f,n,(A),逐渐稳定于固定值,0.5.,25,实践证明,：当试验次数,n,增大时，,f,n,(A),逐渐,趋向一个稳定值,。,可将此稳定值记作,P(A),，作为事件,A,的概率。,但是在一定条件下做重复试验，其结果可能不同；并且没有必要，不可能对每个事件都做大量的试验，从中得到频率的稳定值。,我们从频率的性质出发，给出度量事件发生的可能性大小的量,概率,的定义及性质。,26,1.2.2.,概率的公理化定义,定义,1.2.2,若对随机试验,E,所对应的样本空间,中的,每一,事件,A,，定义,一,个,实数,P(A),与之对应，,集合函数,P(A),满足条件：,(1),非负性：,P(A),0,；,(2),规范性：,P(,),1,；,(3),可列可加性：,若事件,A,1,，,A,2,，,两两,互斥,，即,A,i,A,j,，,(ij),i,j,1,2,有,P(A,1,A,2,),P(A,1,),P(A,2,)+.,则称,P(A),为事件,A,的,概率,。,27,概率的性质：,(1),P,(,),=0,；,(2),有限,可加性,：,设,事件,A,1,，,A,2,，,A,n,两两,斥,，即,A,i,A,j,，,(ij),i,j,1,2,n,则,有,P(A,1,A,2,A,n,),P(A,1,),P(A,2,)+P(A,n,);,(3),互补性,：,P(A),1,P(A);,(4),单调不减性,：若事件,，,则,P(B-A)=P(B)-P(A),，,P(B),P(A),注意,：一般情况下，,P(B-A)=P(B)-P(AB),28,(5),加法公式,：对任意两事件,A,、,B,，,有,P(A,B),P(A),P(B),P(AB),该公式,可推广到,任意,n,个,事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,的情形；,(6),可分性,：,对任意两事件,A,、,B,，,有,P(A),P(),P(AB).,29,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的,30%,其中有,10%,的人同时定甲,乙两种报纸,.,没有人同时订甲乙或乙丙报纸,.,求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率,.,EX,解,:,设,A,B,C,分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,30,例,在,1,10,这,10,个自然数中任取一数，求,（,1,）取到的数能被,2,或,3,整除的概率，,（,2,）取到的数即不能被,2,也不能被,3,整除的概率，,（,3,）取到的数能被,2,整除而不能被,3,整除的概率。,解,:,设,A=,取到,的数能被,2,整除,;,B=,取到,的数能被,3,整除,故,31,若某试验,E,满足：,1.,有限性：样本空间,2.,等可能性：,则称,E,为古典概型也叫,等可能,概型。,1.3,古典概型,32,古典概型中的概率,的求法,:,试验,E,的结果有有限种：样本点是有限个,:,1,，,n,=,1,2,n,i,是基本事件，且各自发生的概率相等。于是，有,1=P()=P(,1,2,n,),=P(,1,)+P(,2,)+,+P(,n,),=,n,P(,i,),i,=1,2,n,。,从而，,P(,i,)=1/n,，,i,=1,2,n,.,33,因此，若事件,A,包含,k,个基本事件，即,则,34,例,1,:,掷色子两次，求两次之和为,7,的概率。,解：,=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(6,6),A=(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3),35,古典概型的两类基本问题,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有,n,1,种方法,第二步有,n,2,种方法，则完成这件事共有,n,1,n,2,种方法。（也可推广到分若干步）,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有,n,1,种方法，第二种途径有,n,2,种方法，则完成这件事共有,n,1,+n,2,种方法。（也可推广到若干途径）,这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。,复习：排列与组合的基本概念,36,1,、抽取问题,例,2,：,有外观相同的三极管,6,只，按电流放大系数分类，,4,只属甲类，,2,只属乙类。,求,A,=,抽到两只甲类三极管,的概率，按下列三种方案抽取三极管两只：,(1),.,随机抽两只；,(,2,).,无放回抽两只；,(,3,).,有放回抽两只。,解,：,37,例,3,：,有外观相同的三极管,6,只，按电流放大系数分类，,4,只属甲类，,2,只属乙类。不放回抽两只。求下列事件的概率：,B,=,抽到两只同类,C,=,至少抽到一只甲类,D,=,抽到两只不同类,。,解：,B=,甲甲,乙乙,（两种情况互斥）,C=,乙乙,的补事件，,D,是,B,的补事件，,38,例,4,有外观相同的三极管,6,只，按电流放大系数分类，,4,只属甲类，,2,只属乙类。,有放回抽,5,次，求,E=,恰有,2,次抽到甲,的概率。,解：,延伸到一般：,设,N,件产品中有,K,件甲类（次品），,N,-,K,件乙类（正品）,K,0,P(B)0,时，,则,P(AB),P(A)P(B|A).,P(AB),P(B)P(A|B).,称为事件,A,、,B,的,概率,乘法公式,。,还可推广到三个事件的情形：,P(ABC),P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般地，有下列公式：,P(A,1,A,2,A,n,),P(A,1,)P(A,2,|A,1,).P(A,n,|A,1,A,n,1,).,52,例,1.4.,3:,一批灯泡共,100,只，其中,10,只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求,:,第三次才取到正品的概率。,解：,设,A,i,=,第,i,次取到正品,i,=1,2,3,。,A,=,第三次才取到正品,。则,:,53,例,10,个纸团有,3,个奖，,10,个人各抽,1,个（无放回的抽），,A,i,=,第,i,个人抽中奖,。则,(3)B=,前,2,个人都抽中奖,（抽中奖的概率与次序无关）,(2),A=,前,2,个人都没抽中奖,(4)C=,前两个人恰有一个抽中奖,可见,:P(B)+P(C)+P(D)=1,54,把要考虑的事件化为要考虑事件与若干个两两互斥事件的交事件的并来考虑,.,(5),D=,第,2,个人抽中奖,(,第,1,人可能抽中也可能不中,),=,(6)E=,第,3,个人抽中奖,55,1.4.3,全概率公式,定义,1.4.2,事件组,B,1,，,B,2,，,，,B,n,(n,可为,)，称为样本空间,的一个划分,，若满足：,定理,1.4.1,设,B,1,，,B,n,是,的一个划分，且,P(B,i,)0,，,(i,1,，,，,n),，,则对任何事件,A,有,56,它的理论和实用意义在于,:,在较复杂情况下，直接计算,P,(,A,),不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的,B,i,使,A,伴随着某个,B,i,的出现而出现，且每个,P(,A,B,i,),容易计算。可用所有,P(,AB,i,),之和计算,P(,A,),.,57,例,1.4.5,：,一批同型号的螺钉由编号为,I,II,III,的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为,35%,40%,25%,。各台机器生产的螺钉的次品率分别为,3%,2%,和,1%,。求该批螺钉中的次品率。,解：,设,A,=螺钉是次品,B,1,=螺钉由I号机器生产,B,2,=螺钉由II号机器生产,B,3,=螺钉由III号机器生产。,则,58,P(,B,1,)=0.35,，,P(,B,2,)=0.40,，,P(,B,3,)=0.25,P(,A,|,B,1,)=0.03,，,P(,A,|,B,2,)=0.02,，,P(,A,|,B,3,)=0.01,。,由全概率公式，得,59,思考,：上例中，若已知取到的是次品，则求是第,I,台机器生产的概率是多少？,60,定理,1.4.2,设,B,1,，,B,n,是,的一个划分，且,P(B,i,)0,，,(i,1,，,，,n),，,则对任何事件,A,，,有,称为,贝叶斯公式,。,1.4.4,贝叶斯公式,61,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,62,1.5,事件的独立性,两事件独立,定义,1.5.1,设,A,、,B,是两事件，,P(A),0,若,P(B),P(B|A),则称事件,A,与,B,相互独立,。,表明事件,B,的发生不影响,A,的发生。,等价于：,P(AB,)=P(A|B)P(B),P(A)P(B),63,例,1,：,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记,A,=,抽到,K,B,=,抽到黑色的牌,。问事件,A,B,是否独立？,解：,由于,P,(,A,)=4/52=1/13,P,(,B,)=26/52=1/2,，,P(,AB,)=2/52=1/26,故,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,).,这说明事件,A,B,独立。,64,思考：互斥和独立之间的联系：,若,A,、,B,互斥，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,与,B,不独立。,P(AB)=0,，,P(A),0,P(B)0,P(AB)P(A)P(B),其逆否命题是：,若,A,与,B,独立，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,与,B,一定不互斥。,请问：,能否在样本空间,中找到两个事件，它们既相互独立又互斥,?,所以，,与,独立且互斥。,不难发现:,(或,),与任何事件都独立。,可以,65,定理,1.5.1,以下四件事等价：,(1),事件,A,、,B,相互独立；(2),事件,A,、,B,相互独立；,(3),事件,A,、,B,相互独立；(4),事件,A,、,B,相互独立。,证明,:,仅证,A,与,B,独立。,P,(,A,B,)=,P,(,A,A,B,)=,P,(,A,),P,(,AB,),=,P,(,A,),P,(,A,),P,(B),=,P,(A)1,P(B),=,P,(A)P(,B,),概率的性质,A,与,B,独立,66,多个事件相互独立,定义,1.5.2,设,A,1,，,A,2,，,，,A,n,是,n,个事件,，如果对,任意,k (1,k,n),任意的1,i,1,i,2,i,k,n,，,具有等式,P(A,i1,A,i2,A,ik,),P(A,i1,)P(A,i2,)P(A,ik,),则称,n,个事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,相互独立,。,对于三个事件,A,B,C,，,若,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),，,P,(,AC,)=,P,(,A,),P,(,C,),P,(,BC,)=,P,(,B,),P,(,C,),P,(,ABC,)=,P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),个,等式同时成立，称事件,A,B,C,相互独立。,n,个事件相互独立要满足等式的个数为,67,事件独立性的应用,在可靠性理论上的应用,例,如图，,1,、,2,、,3,、,4,、,5,表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为,p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求,L,至,R,是通路的概率。,68,设,A-L,至,R,为通路,A,i,-,第,i,个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,69,例,1.5.2,验收,100,件产品方案如下，从中任取,3,件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为,0.95,，一件正品经测试后被断定为正品的概率为,0.99,，并知这,100,件产品恰有,4,件次品。求该批产品能被接收的概率。,解,:,设,A,=,该批产品被接收,，,B,i,=,取出,3,件产品中恰有,i,件是次品,，,i,=0,1,2,3,。,则,70,因,三次测试相互独立，故,P(,A,|,B,0,)=0.99,3,，,P(,A,|,B,1,)=0.99,2,(1-0.95),P(,A,|,B,2,)=0.99(1-0.95),2,P(,A,|,B,3,)=(1-0.95),3,。,由全概率公式,得,71,例,1.5.3,若干人独立地向一移动目标射击,每人击中目标的概率都是,0.6,。求至少需要多少人,才能以,0.99,以上的概率击中目标,?,解：,设至少需要,n,个人才能以,0.99,以上的概率,击中目标。,令,A,=,目标被击中,A,i,=,第,i,人击中目标,i,=1,2,n,。则,A,1,A,2,A,n,相互独立。故，,也相互独立。,72,因,A,=,A,1,A,2,A,n,，,得,P(,A,)=,P(,A,1,A,2,A,n,),问题化成了求最小的,n,使,1,-,0.4,n,0.99,。,解不等式，得,73,第一章 小结,本章由六个概念（随机试验、样本空间、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成,74,第二章 随机变量,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,随机变量的函数的分布,75,2.1,随机变量的定义,关于随机变量,(,及向量,),的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从,静态,的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种,动态,的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量,76,在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示,:,一方面，有些试验，其结果与数有关,(,试验结果就是一个数,),；,另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果。,即,试验结果可以,数量化,。从而转化到数域上去考虑问题,就可以把高数中的思想概念应用过来,.,77,定义,2.1.1.,设,=,是试验的样本空间，如果对每个,总有一个实数,X(,),与之对应，则称,上的实值函数,X(,),为,E,的一个,随机变量,。随机变量,常用,X,、,Y,、,Z,或,、等表示。,顾名思义，随机变量就是,“,其值随机会而定,”,的变量，正如随机事件是,“,其发生与否随机会而定,”,的事件 一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一 定的概率最简单的例子如掷骰子，掷出的点数,X,是一个随机变量，它可以取,1,，,，,6,等,6,个值到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数,.,78,随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律的研究。,79,请举几个实际中随机变量的例子,在投篮试验中，用,0,表示投篮未中，,1,表示罚篮命中，,3,表示三分线外远投命中，,2,表示三分线内投篮命中。,2.,在掷硬币试验中，用,1,表示带国徽或人头的一面朝上，,0,表示另一面朝上,.,80,请举几个实际中随机变量的例子,3.,一部电梯一年内出现故障的次数,。,用,i,=,电梯一年内发生,i,次故障,i,=0,1,样本空间,=,i,，,=0,1,2,令,X(,i,)=,i,i,=0,1,2,X,（,）的值域为,0,1,2,，,4.,用,X,表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则,X,是一个随机变量。事件,收到呼叫,X,1,；,没有收到呼叫,X,=0,81,随机变量,所有取值可,以逐个列举,全部可能取值不仅有无,穷多，而且不能一一,列举，充满某些区间。,2.2,离散型随机变量,随机变量的分类,例如：“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等,例如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等。,82,定义,若随机变量,X,取值,x,1,x,2,x,n,且取这些值的概率依次为,p,1,p,2,p,n,则称,X,为离散型随机变量，而称,PX=x,k,=p,k,(k=1,2,),为,X,的,分布律,或,概率分布,。可表为,X,PX=x,k,=p,k,(k=1,2,),，,也可用表格形式给出：,X,x,1,x,2,x,K,P,k,p,1,p,2,p,k,2.2.1,离散型随机变量的概率分布,83,(1),p,k,0,k,1,2,;,(2),例,1,设袋中有,5,只球，其中有,2,只白,3,只黑。现从中任取,3,只球,(,不放回,),，求抽得的白球数,X,为,k,的概率。,解,k,可取值0，1，2,分布律的性质,用这两条性质判断,一个数列是否是概,率分布。,84,例,2,设随机变量,X,的概率分布为,确定常数,a,。,解：,依据概率分布的性质,欲使上述数列为概率分布，应有,85,从中解得,这里用到了幂级数展开式,86,例,2.2.1,：,如上图所示,电子线路中装有两个并联继电器。设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知各电器接通的概率为,0.8,，记,X,为线路中接通的继电器的个数。,求,(1).,X,的概率分布；,(2).,线路接通的概率。,87,解：,(1).记,A,i,=第,i,个继电器接通,i,=,1,2,.,因,两个继电器是否接通是相互独立的,所以,A,1,和,A,2,相互独立，且,P,(,A,1,)=,P,(,A,2,)=,0.8.,下面求,X,的概率分布:,首先，,X,可能取的值为:,0,1,2,.,P,X,=0,=,P,表示两个继电器都没接通,88,P,X,=1,=,P,恰有一个继电器接通,P,X,=2,=,P,两个继电器都接通,89,所以，,X,的分布律为,(2).,因线路,是并联电路，所以,P,(,线路接通,),=,P,(,只要一个继电器接通,),=,P,X,1,=,P,X,=1+,P,X,=2,=0.32+0.64,=0.96,.,90,2.2.2,常用的离散型分布,1.,(0-1),分布，两点分布,设,E,是一个只有两种可能结果的随机试验,用,=,1,2,表示其样本空间。,P,(,1,)=,p,P,(,2,)=1,-,p,.,则称,X,服从参数,p,的,（,0,1,）分布,（或两点分布）,记成,X,B,(1,p,),。,91,例,2.2.2,200,件产品中，有,196,件正品，,4,件次品，今从中随机地抽取一件，若规定,则,P,X,=1=196/200=0.98,P,X,=0=4/200=0.02.,故,X,服从参数为,0.98,的两点分布，,即,X,B,(1,0.98),。,92,若以,X,表示,n,重,贝努里试验事件,A,发生的次数，则称,X,服从参数为,n,p,的二项分布。,记作,XB,（,n,p),其分布律为：,2.,二项分布,定义,设试验,E,只有两个结果 ，记,p=P,（,A,），将试验,E,独立重复进行,n,次，则称这,n,次试验为,n,重伯努利试验,.,93,例,5,：,某射手每次射击时命中,10,环的概率为,p,现进行,4,次独立射击，求,恰有,k,次命中,10,环,的概率。,解：,用,X,表示,4,次射击后,命中,10,环的次数,则,其中,“,”,表示未中，,“,”,表示命中。,94,易见：,X,的概率分布为,推广到,n,次独立射击，即可得,95,伯努利概型对试验结果有下述要求：,(1).,每次试验条件相同；,二项分布描述的是：,n,重伯努利试验中,事件,A,发生的次数,X,的概率分布。,(3),.,各次试验相互独立。,(2).,每次试验只考虑两个互逆结果,A,或,96,例,2.2.4,已知某类产品的次品率为,0.2,，现从一大批这类产品中随机地抽查,20,件,问恰有,k,件次品的概率是多少？,解,:,设,X,为,20,件产品中次品的个,数，则,X,b,(20,0.2),，,这是不放回抽取，但抽取,的数量比产品的数量小很,多，故可当不放回抽取,97,则有,20,件产品中恰有,k,件次品的概率分布表,教材,30,页表,2.1,98,下面我们研究二项分布,b,(,n,p,),和两点分布,b,(1,p,),之间的一个重要关系。,设试验,E,只有两个结果,:,A,和,。,将试验,E,在相同条件下独立地进行,n,次，记,X,为,n,次独立试验中,A,出现的次数。描述第,i,次试验的随机变量记作,X,i,则,X,i,b,(1,p,)，且,X,1,X,2,X,n,相互独立(随机变量相互独立的严格定义将在第三章讲述)。则有,X,=,X,1,+,X,2,+,+,X,n,.,这表明：一个服从二项分布的随机变量可以表示成,n,个相互独立的服从 两点分布的随机变量之和。,99,设随机变量,X,所有可能取的值为,:0,1,2,概率分布为：,3.,泊松分布,其中,0,为常数，则称随机变量,X,服从参数为,的泊松分布，记为,XP,（,）。,100,例,某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数,X,服从参数,=3,的泊松分布。,求：,(1).,一分钟内恰好收到,3,次寻,呼,的概率；,(2).,一分钟内收到,2,至,5,次寻呼的概率。,.,解,:,(1).,P,X,=3=,P,(3;3)=(3,3,/3!)e,-,3,0.2240,；,(2).,P,2,X,5,=,P,X,=2+,P,X,=3+,P,X,=4+,P,X,=5,=(3,2,/2!)+(3,3,/3!)+(3,4,/4!)+(3,5,/5!)e,-,3,0.7169.,101,解,:,例,2.2.6,某一城市每天发生火灾的次数,X,服从参数为,0.8,的泊松分布。求该城市一天内发生,3,次以上火灾的概率。,P,X,3,=1,-,P,X,3,=1,-,(,P,X,=0+,P,X,=1+,P,X,=2),=1,-,(0.8,0,/0!)+(0.8,1,/1!)+(0.8,2,/2!)e,-,0.8,0.0474.,102,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于,1837,年由法国数学家泊松引入的。,二项分布与泊松分布的关系,定理,(,泊松定理,):,对二项分布,B,(,n,p,),当,n,充分大,p,又,很小时,对任意固定的非负整数,k,，有近似公式,103,泊松,定理表明，,泊松分布是二项分布的极限分布，,当,n,很大，,p,很小时，,二项分布就可近似地,看成是参数,=np,的,泊松分布,104,例,2.2.5,某出租汽车公司共有出租车,400,辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为,0.02,，,求,:,一天内没有出租车出现故障的概率。,解:,将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验,E,。因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是,观察400辆出租车是否出现故障就是做 400 次伯努利试验。设,X,表示一天内出现故障的出租车数,则,X,b,(400,0.02)。,令,=,np,=4000.02=8，于是,P,一天内没有出租车出现故障,=,P,X=0=,b,(0;400,0.02),=,0.98,400,=,0.0003,09,(8,0,/0!)e,-,8,=0.0003355.,105,例,设某国每对夫妇的子女数,X,服从参数为,的泊松分布,且知一对夫妇有不超过,1,个孩子的概率为,3e,-2,.,求任选一对夫妇,至少有,3,个孩子的概率。,解,:,由题意,106,小结,本节首先介绍了随机变量的基本概念与分类，接着介绍离散型随机变量及其概率分布；然后介绍三种常见的离散型概率分布：,两点分布、二项分布、泊松分布,及其关系。,对于离散型随机变量，如果知道了其概率分布，也就知道了它取各个可能值的概率。,107,连续型随机变量,X,所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样,指出其取各个值的概率，给出概率分布。而是用,“,概率密度函数,”,表示随机变量的概率分布。,2.3,连续型随机变量,108,2.3.1,直方图,例,2.3.1,某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的,100,个零件长度,(,单位,:mm),如下,:,129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.,这,100,个数据中，最小值是,128,，最大值是,155,。,109,作频率直方图的步骤,(1).,先确定作图区间,a,b,;,a,=最小数据,-,/2，,b,=最大数据+,/2，,是数据的精度。,本例中,=1,a,=127.5,b,=155.5。,(2).,确定数据分组数,m,=7,，,组距,d,=(,b a,)/,m,，本例,d=4,，,子区间端点,t,i,=,a,+,i d,i,=0,1,m,；,这样使数据不落在区间的端点上。,110,(3).,计算落入各子区间内观测值频数,n,i,=,#,x,j,t,i,1,t,i,),，,j,=1,2,n,，,频率,f,i,=,n,i,/,n,，,i,=1,2,m,；,子区间,频数,频率,(127.5,131.5),6,0.06,(131.5,135.5),12,0.12,(135.5,139.5),24,0.24,(139.5,143.5),28,0.28,(143.5,147.5),18,0.18,(147.5,151.5),8,0.08,(151.5,155.5),4,0.04,111,(4).,以小区间,t,i-1,，,t,i,为底，,y,i,=,f,i,/,d,(,i=1,2,m,),为高作一系列小矩形（,面积为频 率,），组成了频率直方图，简称直方图。,112,由于概率可以由频率近似，因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。,用上述直方图刻画随机变量,X,的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画,X,的概率分布情况，应适当,增加观测数据的个数,同时将,数据分得更细,一些。当数据越来越多,分组越来越细时,直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线,这条曲线称为,随机变量,X,的概率密度曲线,，可用来准确地刻画,X,的概率分布情况。,113,2.3.2,概率密度函数,定义,2.3.1,若存在非负可积函数,f,(,x,),使随机变量,X,取值于任一区间,(,a,b,的概率可表示成,则称,X,为连续型随机变量，,f,(,x,),为,X,的概率密,度函数，简称,概率密度,或,密度,。,114,这两条性质是判定函数,f,(,x,),是否为某随机变量,X,的概率密度函数的充,要条件。,密度函数的性质,f,(,x,),与,x,轴所围,面积等于,1,。,（非负性）,（归一性）,115,若,x,是,f,(,x,),的连续点，则,=,f,(,x,),，,(3).,对,f,(,x,),的进一步理解：,故,X,的概率密度函数,f,(,x,)在,x,这一点的值,恰好是,X,落在区间,x,x,+,x,上的概率与区间长度,x,之比的极限。这里,如果把概率理解为质量，,f,(,x,)相当于物理学中的线密度。,定积分中值定理,平均概率,116,(4).,连续型随机变量取任意指定值的概率为,0.,即：,a,为任意给定值。,这是因为：,117,可见：,由,P,(,A,)=0,不能推出,A=,；,对连续型 随机变量,X,有,118,例,已知随机变量,X,的概率密度为,1),试确定,k,值,2),求,PX,0.1,解,：,119,2.3.3,常用的连续型分布,1.,均匀分布,若,X,f(x),则称,X,在,a,b,内服从,均匀分布。记作,XUa,b,对任意实数,c,d(acd0的,指数分布。,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布。,122,例,电子元件的寿命,X(,年）,服从参数为,3,的指数分布,(1),求该电子元件寿命超过,2,年的概率。,(2),已知该电子元件已使用了,1.5,年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,123,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。,3.,正态分布,正态分布是十九世纪初，由高斯,(Gauss),给出并推广的一种分布。故，也称,高斯分布,。,124,正态分布的定义,定义：,若随机变量,X,的,概率密度函数为,记作,f,(,x,)所确定的曲线叫作,正态曲线,。,(Normal),其中,和,都是常数，,任意，,0，则称,X,服从参数为,和,的正态分布。,1