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计算方法公式总结
绪论
绝对误差 ，为准确值，为近似值。
绝对误差限 ，ε为正数，称为绝对误差限
相对误差 通常用表示相对误差
相对误差限或
有效数字

一元函数y=f（x）
绝对误差
相对误差
二元函数y=f（x1,x2）
绝对误差
相对误差

机器数系

注：1. β≥2，且通常取2、4、6、8
2. n为计算机字长
3. 指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U
4. 尾数部 ，定位部
5. 机器数个数
机器数误差限
舍入绝对 截断绝对
舍入相对 截断相对

秦九韶算法

方程求根

，，为f（x）=0的m重根。
二分法

迭代法
k=0、1、2……
为迭代序列，为迭代函数，

局部收敛

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛

牛顿迭代法

注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。

牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件

注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间[ε,M(ε)],其中,在这个区间内验证这四个条件。
如果知道根的位置，构造[ε，M（ε）]时应该包括根，即ε+常数

线性方程组求解
有两种方法：消去法和迭代法
高斯消去法
利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。
注意：第一行第一列为0，将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。
对角占优矩阵

则称A为按行严格对角占优矩阵
则称A为按列严格对角占优矩阵

则称A是对称正定的。
当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时，不用换行。
追赶法是高斯消元法的一种特例

列主元高斯消元法

当，即第k次消元把k~n行第k列绝对值最大的行（s行）调到第k行，再进行高斯消元。

迭代序列构造
第三个等式为迭代序列，B为迭代矩阵。
迭代收敛判别
充分条件：迭代矩阵范数小于1，
结论：Ax=b有唯一解x*

充要条件：迭代矩阵谱半径小于1,
Jacobi迭代法
其中（low）为下三角，为上三角，为对角线元素
迭代格式：

迭代矩阵
收敛性判据：

求出最大值小于1（J的谱半径小于1）即迭代格式收敛.
Gauss-Seidel迭代法
迭代格式

迭代矩阵：
常数矩阵：

收敛性判据：

求出最大值小于1（G的谱半径小于1）即迭代格式收敛.
结论：当A是严格对角占优的，则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收敛的
插值法
用插值多项式p（x）代替被插函数f(x)
插值多项式：，
n+1个点
插值区间：，插值点满足
求插值多项式P（x），即求多项式系数的过程为插值法
带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0，有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过n次的插值函数P（x）只有一个。
一次线性插值
Lagrange插值多项式

插值余项
非插值节点上Lagrange插值多项式为被插函数f(x)的近似值

带导数插值条件的余项估计

注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数

第二条性质用于可以证明阶数不大于n的f(x)的插值余项为0.
差商和Newton插值法

记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近 k元素的差商，第二项是第一个临近k个元素的差商。

牛顿插值多项式

通常记作Nn（x）
分段样条插值

分段二次样条插值
讨论n为奇偶情况时的三个点
余项估计式

三次样条插值函数

第一类边界条件（端点一阶导数已知）

D0等于第一个式子，dn等于第二个式子
自然边界条件（端点二阶导数已知 二阶导数和M0，Mn=0）

曲线拟合
最小二乘原理
函数关于n个点线性无关

注：线性无关的函数为才是最小二乘多项式

注：记住公式即可。
数值积分和数值微分

为求积节点，为求积系数。
插值求积公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截断误差

代数精度

当f(x)为不超过m次多项式时上式成立，f（x）为m+1多项式时上式不成立。则称为求积公式有m次代数精度。

梯形公式代数精度为1，Simpson公式代数精度为3，Cotes公式代数精度为5

截断误差
梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求积公式
求积公式代数精度为2n+1
[-1,1]上的两点Gauss公式（3次代数精度）

[-1,1]上的三点Gauss公式（5次代数精度）

记住，的关系，查表即可

复化梯形公式2阶，复化Simpson公式4阶，复化Cote公式6阶
计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可
给定精度ε，时

因而可以取为的近似值。
梯形
Simpson
数值微分

数值微分截断误差

中点公式：

常微分方程数值解法

Euler方法

欧拉公式（单步显式公式）求出的近似解

局部截断误差

Euler公式的局部截断误差（一阶精度）

后退Euler公式

梯形公式(二阶精度)

改进Euler公式（二阶精度）

截断误差（推导要求掌握，利用梯形和Euler公式的截断误差 ）