排列组合常见题型及解题策略(详解).doc

排列组合常见题型及解题策略
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类
问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：（1）（2） （3）
【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.
【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军
看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有种不同的
结果。所以选A
二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
【例1】五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有
【解析】：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种
【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女
生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，
种， 其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，
再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）
【解析】：
【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出
顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【解析】：不同排法的种数为＝3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙
必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的
不同排法种数是
【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有＝20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是
赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会
的节目单的编排总数为 种.
【解析】：
【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二
盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,
所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模
型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A，○*○*○*○，在四个空中
分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每人左右两边都空位的排法有=24.
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
【解析】：先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个
空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有CA种方法.
注：题中*表示元素，○表示空.
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；
再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余
三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选
法，共有选法36种，选A.
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】 法一： 法二： 法三：
五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A） （B） （C） （D）
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
【解析】 ：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.
（2）答案：C
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故有种排法.
五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例1】.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
【解析】 ：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同插法？
【解析】 ：法一： 法二：
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C
在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
【解析】 ：法一： 法二：
六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，
第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格
的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其
它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，
选.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且
只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种
【解析】 答案：B
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4
张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。 故选（B）
【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( ) （A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种
【解析】 答案：B
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5） 分给5人每人至少1本。
【解析】 ：（1） （2） （3） （4） （5）
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝60种，若
1,1,3，则有＝90种，所以共有150种，选A
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840
【解析】 ：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ） （A）３０种　　（B）９０种 （C）１８０种　　　（D）２７０种
【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教
师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有
种不同的分配方案，选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2
个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 A．16 B．36 C．42 D．60
【解析】：按条件项目可分配为与的结构，∴ 故选D；
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 【解析】：答案：.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？ 【解析】：答案：
【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三
项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260 B、2025 C、2520 D、5040
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步
从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建
设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；
③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.
七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不
少于其编号数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球
分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少
一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有
不同的分配方案为种.
变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种
变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的
三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办
法有 种
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，
使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、、种方法。
3、由分步计数原理可得=720种
八．多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语
均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两
个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？

变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出
8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
答案 ：185
九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有
16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
 【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 种
（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种走法。
4）有3次（不可能）
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种走法；
6）有5次（不可能）
故总共有：1+6+15+15=37种。
变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144种 答案： （C）
十．排数问题（注意数字“0”）
【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，
个，合并总计300个,选.
（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
【解析】 ：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；
能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3
的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；
从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；
所以符合要求的取法共有种.
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果
只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。
(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。
(3)若恰用五种颜色染色，有种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有种染色方法。 由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
总体实施分步完成,可分为四大步:
①给S涂色有5种方法;
②给A涂色有4种方法(与S不同色);
③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法; 当C与A同色时,C有一种涂色方法
(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法
[规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域
是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
十二．“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十三． 几何中的排列组合问题:
【例1】 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横
坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条
【解析】：  圆上的整点有： 12 个
其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有 ，
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60