《材料力学》第6章简单超静定问题习题解.doc

第六章 简单超静定问题 习题解

[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图
解：把B支座去掉，代之以约束反力（↓）。设2F作用点为C，
F作用点为D，则：

变形谐调条件为：

（实际方向与假设方向相反，即：↑）
故：

轴力图如图所示。

[习题6-2] 图示支架承受荷载，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为，，。试求各杆的轴力。
解：以节点A为研究对象，其受力图如图所示。

………(1)

…………(2)
变形谐调条件：
设A节点的水平位移为，竖向位移为，则由变形协调图（b）可知：

设，则

………………(3)
(1)、(2)、(3)联立解得：；；（方向如图所示，为压力，故应写作：）。
[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受多少力。
解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用表示。
由其平衡条件可列三个方程：

…………(1)

………………(2)

…………(3)
由变形协调条件建立补充方程

。。。。。。。。。。（4）
(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：

[习题6-4] 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知，两根钢杆的横截面面积，试求两杆的轴力和应力。
解：以AB杆为研究对象，则：

…………(1)
变形协调条件：

…………………(2)
(1)、(2)联立，解得：

[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A端铰支，在B点和C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆BD和CE的横截面面积和，钢杆的许用应力，试校核该钢杆的强度。
解：以AB杆为研究对象，则：

………………(1)
变形协调条件：

…………………(2)
(1)、（2）联立，解得：
（压）；（拉）
故可记作：；
强度校核：
，符合强度条件。
，符合强度条件。

[习题6-6] 试求图示结构的许可荷载[F]。已知杆AD，CE，BF的横截面面积均为A，杆材料的许用应力为，梁AB可视为刚体。
解：以AB杆为研究对象，则：

……………(1)

………………(2)
变形协调条件：

…………….(3)
(1)(2)(3)联立，解得：
；
强度条件：

故：
[习题6-7] 横截面积为的短木柱，用四根的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载[F]。
解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：
                   （1）
由木柱与角钢间的变形相容条件，有
                                  （2）
由物理关系：
                   （3）
式（3）代入式（2），得
 （4）
解得： 
代入式（1），得：
（2）许可载荷
  由角钢强度条件

由木柱强度条件：

故许可载荷为：
[习题6-8] 水平刚性横梁AB上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，杆1和长度短了。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且，。试求装配后两杆的应力。
解：以AB梁为研究对象，则：

…………(1)
变形协调条件：

………...(2)
(1)、(2)联立，解得：
；

[习题6-9] 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离。已知上、下两段杆的横截面面积分别为和，材料的弹性模量。试作图示荷载作用下杆的轴力图。
解：设装配后，支座B的反力为（↓），则：

（D为60kN集中力的作用点）

变形协调条件：

。故：
； ； 。轴力图如下图所示。

[习题6-10] 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆的弹性模量为，线膨胀系数。试求当温度升高后，该杆各部分产生的应力。
解：变形协调条件：

[习题6-11] 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。若，试求固定端的支反力偶矩和，并作扭矩图。
解：把B支座去掉，代之以约束反力偶 ，
其矩为，转向为逆时针方向，则：

变形协调条件：
A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：

式中，，故：

（顺时针方向转动）

AB轴的轴力图如下：
[习题6-12] 图示一两端固定的钢圆轴，其直径。轴在截面C处承受一外力偶矩。已知钢的切变模量。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。
解：把B支座去掉，代之以约束反力
力偶，其矩为，逆时针方向
转动。，则：

变形协调条件：
A、B为两固定端支座，不允许其发生转动，故：

，故：

C截面左侧的最大切应力：

式中，抗扭截面模量

C截面右侧的最大切应力：

C截面的转角：

式中，
[习题6-13] 一空心圆管套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知杆A和杆B的极惯性矩分别和；两杆的材料相同，其切变模量为G。

解：解除Ⅱ端约束（逆时针方向转动），则由于B杆锚固时处于弹性变形阶段，所以解除约束II之后，Ⅱ端相对于截面C转了角。因为事先将杆B的C端扭了一个角，故变形协调条件为

[习题6-14] 图示圆截面杆AC的直径，A端固定，在截面B处承受外力偶矩，截面C的上、下两点处与直径均为的圆杆EF、GH铰接。已知各杆材料相同，弹性常数间的关系为。试求杆AC中的最大切应力。

解：把EF杆与GH杆切断，代之以约束反力。由轴AC的受力特点可知，这两个约束反力构成一力偶，设它的力偶矩为（顺时针方向转动）。

杆EF、GH的作用是阻止C截面转动，但因这这两根杆件是可变形固体，故C截面仍有转角。

变形协调条件为：

式中，，故：

。 故：

杆AC的最大切应力出现在AB段的圆轴表面：

[习题6-15] 试求图示各超静定梁的支反力。
[6-15（a）]
解：把B支座去掉，代之以约束反力，则变形协调方程为：

查附录IV，得：

故，

（↑）
由得： （↑）
由得：（逆时针方向转动）
[6-15(b)]
解：把B支座去掉，代之以约束反力，则变形协调方程为：

查附录IV，得：

故，

（负号表示方向向下，即↓）
由得： （↑）
由得：，（逆时针方向转动）

[6-15(c)]

解：把B支座去掉，代之以约束反力和，方向如图所示。则变形协调条件为：
；

查附录IV，得：

故，

……………………(1)

查附录IV，得：

故，

…………………(2)
(1)、（2）联立，解得：（↑）；（顺时针方向转动）。
根据对称结构在对物荷载作用下的性质可知，
（↑）；（逆时针方向转动）
[习题6-16] 荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为：和。
解：把连接梁AB与梁CD的垫块去掉，代之以约束反力（↑）和（↓）。显然，它们是一对作用力反作用力。。
查附录IV得：AB在B处的挠度：

CD在C处的挠度为：

变形协调方程：

（↓）。即，梁CD在C处所受的力。
梁AB在B处所受的合力为：（↓）。
[习题6-17] 梁AB因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC加固，如图所示。试求：
（1）二梁接触处的压力；
（2）加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小的百分数。
解：（1）求二梁接触处的压力
以AB为研对象，把C处的圆柱垫去掉，代之以约束反力（↑）；以AC为研究对象，作用在C处的力为（↓）。与是一对作用与反作用力，。
AB梁在C处的挠度：
。
查附录IV得：

故，
AC梁在C处的挠度：

变形协调方程：

（↑）
（2）求加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小的百分数
① 弯矩的变化情况
加固前：

加固后：

显然，AB梁的最大弯矩减小： （负弯矩只表示AB梁上侧受拉）
② B点挠度的变化情况
加固前：

加固后：

故，

B点挠度减小的百分数为：

[习题6-18] 图示结构中梁AB和梁CD的尺寸及材料均相同，已知EI为常量。试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。
解：（1）求多余未知力
把刚性杆EF去掉，代之以约束反力
（↓）和（↑）。它们是一对作用与反作用力。。
AB梁在E处的挠度为：

CD梁在F处的挠度为：

变形形协调方程：
]

由对称性可知，（↑）
（2）作CD梁的弯矩图
CF段的弯矩方程：

令 得：当时，弯矩取最大值。

FD段的弯矩方程：
由对称性可知：

CD梁的弯矩图如下图所示。

（3）作CD梁的剪力图

[习题6-19] 在一直线上打入个半径为的圆桩，桩间距均为。将厚度为的平钢板按图示方式插入圆桩之间，钢板的弹性模量为，试求钢板内产生的最大弯曲应力。
解：以AC为研究对象。把AC弯成目前形状时，在A、C必须向上的力；B桩相当于向下的集中荷载F（↓）。变形协调条件为：

根据对称性，A桩对钢板的作用力也是F。故AC段的最大弯矩出现在B处：

因为
所以
[习题6-20] 直梁ABC在承受荷载前搁置在支座A和C上，梁与支座B间有一间隙。当加上均布荷载后，梁在中点处与支座B接触，因而三个支座都产生约束力。为使这三个约束力相等，试求其值。
解：把B支座去掉，代之以约束反力
（↑）。则B的挠度为：

令

（↑）
[习题6-21] 梁AB的的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度时，试确定梁的约束反力，，，。
解：把A支座去掉，代之以约束反力和
变形协调方程为：

查附录IV得：

………………………………(1)

……………………(2)
(1)、(2)联立，解得：
（↑）；（逆时针方向）
由得：（↓）
由得：
（逆时针方向）
[习题6-22] 梁AB的左端固定而右端铰支，如图所示。梁的横截面高为。设梁在安装后其顶面温度为，而底面温度为，设，且沿截面高度成线性变化。梁的弯曲刚度为EI，材料的线膨胀系数为。试求梁的约束反力。
解：把B支座去掉，代之以约束反力。
由于温差所产生的挠度：

由于所产生的挠度：

变形协调条件：

（↑）
（↓）
由得：
（顺时针方向）
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