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代数式的求值技巧
代数式的求值
技术1、利用分类讨论方法
例1　已知＝7，＝12，求代数式x+y的值.
分析　先利用绝对值的意义，求出字母x和y的值，再分情况讨论求值.
解　因为＝7，＝12，所以x＝±7，y＝±12.
所以当x＝7，y＝12时，原式＝19；
当x＝－7，y＝－12时，原式＝－19；
当x＝7，y＝－12时，原式＝－5；
当x＝－7，y＝12时，原式＝5.
所以代数式x+y的值±19、±5.
技术2、利用数形结合的思想方法
例1　有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：试试代数式│a+b│－│b－1│－│a－c│－│1－c│的值.
分析　由于只知道有理数a，b，c在数轴上的位置，要想直接分别求出有理数a，b，c是不可能的，但是，我们可以利用数形结合的思想方法，从数轴上发现有理数a，b，c的符号，还可以准确地判定a+b、b－1、a－c、1－c的符号，这样就可以化去代数式中的绝对值的符号.
解　由图可知，a+b＜0，b－1＜0，a－c＜0，1－c＞0，
所以│a+b│－│b－1│－│a－c│－│1－c│＝－a－b－1+b－c+a－1+c＝－2.
技术3、利用非负数的性质
例1　已知(a－3)2+│－b+5│+│c－2│＝0.计算2a+b+c的值.
分析　在等式(a－3)2+│－b+5│+│c－2│＝0中有三个字母，要想分别求其值，可以利用平方和绝对值的非负性求解.
解　因为(a－3)2+│－b+5│+│c－2│＝0，又(a－3)2≥0，│－b+5│≥0，│c－2│≥0.
所以a－3＝0，－b+5＝0，c－2＝0，即a＝3，b＝5，c＝2，
所以当a＝3，b＝5，c＝2时，原式＝2×3+5+2＝13.
例2 若实数a、b满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求之值。
[解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1
=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2)
=(ab-1)2+(a-b)2
则有(ab-1)2+(a-b)2=0
∴
解得
当a=1，b=1时，=1+1=2
当a=-1，b=-1时，=1+1=2
技术4、利用新定义
例1　用“★”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a★b＝b2+1.例如，7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿；当m为实数时，m★(m★2)＝＿＿＿.

分析　由新定义的意义可知，运算的结果等于后一个数的平方加1，对于第二个小填空题，只要先做括号里即可.
解　因为a★b＝b2+1，所以5★3＝32+1＝10；m★(m★2)＝m★(22+1)＝m★5＝52+1＝26.故应分别填上10、26.
技术5、利用整数的意义
例1　四个互不相等的整数a、b、c、d，如果abcd＝9，那么a+b+c+d＝（ ）
A.0　　　B.8　　　　C.4　　　　D.不能确定
分析　抓住a、b、c、d是四个互不相等的整数，且abcd＝9，进行必要的推理，分别求出a、b、c、d的值，即可求解.
解　因为a、b、c、d是四个互不相等的整数，且abcd＝9，所以a、b、c、d只可以是+1、－1、+3、－3中的一个数，
所以a+b+c+d＝0.故应选A.
技术6、巧用变形降次
例1　已知x2－x－1＝0，试求代数式－x3+2x+2008的值.
分析　考虑待求式有3次方，而已知则可变形为x2＝x+1，这样由乘法的分配律可将x3写成x2x＝x(x+1)＝x2+x，这样就可以将3次降为2降，再进一步变形即可求解.
解　因为x2－x－1＝0，所以x2＝x+1，
所以－x3+2x+2008＝－x2x+2x+2008
＝－x(x+1)+2x+2008
＝－x2－x+2x+2008
＝－x2+x+2008
＝－(x2－x－1)+2007
＝2007.
技巧7. 整体代入法
当单个字母的取值未知的情况下，可借助“整体代入”求代数式的值。
【例1】（1）已知的值.
（2）已知的值.
解析：求代数式的值，一般直接将字母的具体值代入，但该题都无具体的值，一般采用整体代入法，观察已知与所求，进行对比分析，通过共同点与不同点来寻找解题方法.
解：（1）原式=3（）-3=3×2-3=3.
（2）原式=
方法技巧：整式化的思想，在解题中，有时起到化难为易，化繁为简的作用.
【例2】当abc=1时，求的值.

解析：当abc=1时，原式

方法技巧：分析代数式的特点，寻找解题问题的突破口.
【例3】已知a+b+c=0,求代数式的值.
解析：因为a+b+c=0,而代数式中没有a+b+c.想办法凑出这个式子是解题的关键；也可以变形为b+c= -a.从而

解法1：当a+b+c=0时，原式

解法2：当a+b+c=0时，原式

解法3：当a+b+c=0时，则有a+b= -c，b+c= -a，a+c= -b.

所以 原式

例4已知，则的值等于（ ）.
A．6 B．－6 C． D ．
解：由得，，即.
∴.故选A.
例5若，则 .
解：把与两式相加得，，
即，化简得，.故填3.

方法技巧：数学思想是数学的灵魂，整体化的思想，在初中数学中起着十分重要的作用，在以后的学习中，时刻留神，你会得到意想不到的效果.
技巧8. 参数代入
当题目所给的字母较多时，可以利用它们的关系，选定一个字母作为已知字母，其他字母都用含这个字母的的代数式来表示，再代入求值.
例1已知求的值.

解析：题目中没有明确给出a、b、c的具体数值，只有它们之间的比值关系，不妨引入参数k，设则a=2k，b=3k，c=4k，然如代入求值.
解：设则a=2k，b=3k，c=4k.

则 原式

方法技巧：本题也可视a(或b或c)为已知字母，则再代入求值，不妨请你动笔试一试.

技术9：比值求值法
比值求值法是指已知条件中等式的个数少于所含字母的个数时，通过方程(组)将已知条件中所含字母的比值求出，从而求出代数式的值。
例1 设a+2b-5c=0，2a-3b+4c=0(c≠0)，求的值。
[解] 把已知等式看作关于a，b的方程组

∵c≠0 ∴a：b：c=1：2：1
设a=k, 则b=2k , c=k.
∴=-
例2已知a=2b，c=5a(a)，求代数式的值.
给出的条件中无具体值，但给出了a、b、c之间的关系，我们可以用同一个字母来表示其它各个字母，然后约分.

解法1：

解法2：

方法技巧：这种代换的方法是一种常用的数学解题技巧，应熟练掌握.
技术10、倒数法
倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法.
例1：若的值为，则的值为（ ）.
A．1 B．－1 C．－ D．
解：由，取倒数得，，即.
所以，即.故选A.
例2 已知，求的值。
[解] 由已知，得
所以，
则

=
技术11、主元代换法
所谓主元法就是把条件等式中某一个未知数（元）视为常数，解出其余未知数（主元），再代入求值的一种方法.
例1 已知a=2b，c=3a，求a2+32b2－c2+3的值。
分析：将b作为已知，用b表示c后，运用化归的思想，归结为同一个字母，再代入求值。
解：因为a=2b，c=3a，所以c=6b
代入得：
原式= （2b）2+32b2－（6b）2+3=4b2+32b2－36b2+3=3
例2：已知，，则的值______.
解：把已知条件看作关于的方程组 解得
.故填1.
∴评注：当遇到有多个等式且有多个字母时，通常是选一个适当的字母看作“常数”，其它的字母用其表示，代入运算后，往往含字母的项会互相抵消。
技术12、配方法
通过配方，把已知条件变形成几个非负数的和的形式，利用“若几个非负数的的和为零，则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值.
例：若，且，则____
解：由，得.
所以，由非负数的性质得，，
即.又∵，∴. 原式=.故填14.
技术13：根与系数关系
例1一元二次方程的两个根分别是，则的值是（　 　）.
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：由根与系数的关系得，，.
原式.故填3.
例2如果是一元二次方程的两个根，那么的值是___________
解：由根与系数的关系得，；由方程根的定义得，，即.所以.故填4.
技术14、运用韦达定理逆定理求值法
运用韦达定理求代数式的值是将已知条件中式结构转化为两数之和，两数积的形式，根据它构造出一元二次方程，求出代数式的值。
例10 已知a、b、c为实数且a+b=5 c2=ab+b-9，求a+b+c之值。
[解] ∵a+b=5 c2=ab+b-9
∴
则b，a+1为t2-6t+c2+9=0两根
∵a，b为实数 ∴b，a+1为实数，
则t2-6t+c2+9=0有实根
∴△=36-4(c2+9)= -4c2≥0
c=0
则a+b+c=5+0=5
[评注] 运用该法一定要注意将已知条件转化成两数之积与二数之和这一形式，从而达到构造一元二次方程的目的。
思考:若a2-7a-5=0，b2-7b-5=0，求之值,思考如何构造。
技术15、“△”求值法
“△”法是指将已知条件中的某一参数作为变量，其余参数作为常量，构出一个一元二次方程，由二次方程必有实根得出△≥0，从而求出代数式的值。
例9 设a、b、c、d都是不为零的实数，且满足(a2+b2)d2+b2+c2=2(a+c)bd，求b2-ac的值。
[解] 将已知等式整理成关于d的二次方程
(a2+b2)d2-2b(a+c)d+(b2+c2)=0
△=4b2(a+c)2-4(a2+b2) (b2+c2)
=-4(b2-ac)2
∵d是实数，∴△≥0
即-4(b2-ac)2≥0 则b2-ac=0
[评析] 解决该题的绝妙之处是通过构造出现-4(b2-ac)2≥0这样一个数学式子，运用该法一定要出现“若一个非正数大于0，则这个非正数必为零”这样一个结论，否则，不能运用该法确定有关参数的数值。

技术16：特殊值法
有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单.
例1、已知－1＜b＜0, 0＜a＜1,那么在代数式a－b、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是
(A) a+b (B) a－b (C) a+b2 (D) a2+b
分析：取 ，，分别代入四个选择支计算得：(A)的值为0；(B)的值1；(C) 的值为；(D)的值为。

例2若，则的值为_______.
解：由知，
若令，则；若令，则.
所以
.故填1.
例3、设则
分析：恰好是当时的值。故取分别代入等式左边是0，右边是，所以=0。

技术17：:常值代换法
常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值.
例1已知ab=1，求的值
[解] 把ab=1代入，得

=
=
=1
[评注] 将待求的代数式中的常数1，用a·b代入是解决该问题的技巧。而运用分式的基本性质与运用法则，对代入后所得的代数式进行化简是解决该问题的保证。
技术18、因式分解求值法
因式分解法求代数式的值是指将已知条件和求值的代数式之一或全部进行因式分解，达到求出代数式的值的一种方法。
例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b之值
[解] ∵|a|+|b|=|ab|+1
∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0
(|a|-1)(|b|-1)=0
|a|=1 |b|=1
∴a=±1或b=±1.
则当a=1，b=1时，a+b=2
当a=1，b=-1时，a+b=0
当a=-1，b=1时，a+b=0
当a=-1，b=-1时，a+b=-2
[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。另一种途径是对待求的代数式进行因式分解，分解成含有已知条件的代数式，然后再将已知条件代入求值。
技术19、分解质因数求值法
此法是将有关信息进行分解重组，运用质因数的特有的性质，求出代数式中所含字母的值，从而达到求出代数式的值的一种方法。
例1 已知m、n为正整数，且12+22+92+92+m2=n2，求2m-n的值。
[解] ∵n2=m2+167
∴(n-m)(n+m)=1×167
又m、n为正整数，167是质数
∴
当m=83，n=84时，2m-n=2×83-84=82

课堂练习与作业：
1、已知，求的值；

2、若，求的值；

3、若，且，求的值；

4、已知，求代数式的值；

5、.已知，那么
的值等于（ ）
A 4 B 6 C 8 D 10

6. 如果，且，则（ ）
A B C 0 D 2

7. 如果、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为1，那么代数式的值等于（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3

8. 在代数式中，与的值各减少 25 %，则代数式的值（ ）
A 减少50 % B 减少75 % C 减少 D 减少

9. 当时，下面四个代数式的值最大的是（ ）
A B C D

10. 当时，代数式无意义，当时，其值为零；

11. 已知，则代数式的值为 ；

12. 若，则的值为 ；

13. 若已知，则
，；

14. 已知，那么

15. 已知，则的值为 ；

16. 设，则；

17. 规定，则的值为 ；

18. 如果且是关于的同解方程，则；

19. 已知，则；

20. 已知，求的值；
21. 已知，求代数式的值；

22. 已知，求的值；

23. 若，求的值；

24. 若，且，求的值；

25. 已知，求的值；

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