二项式定理(习题含答案).doc

二项式定理
一、 求展开式中特定项
1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】C
【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．
3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】10
【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为，
4、二项式的展开式中的常数项为 ．
【答案】112
【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.
5、的展开式中常数项等于________．
【答案】．
【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填．
6、设，则的展开式中常数项是 ．
【答案】
332，的展开式的通项为，所以所求常数项为．
二、 求特定项系数或系数和
7、的展开式中项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．
8、在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是 ．
【答案】15
【解】的通项，令可得．则中的系数为15.
9、在的展开式中含的项的系数是 ．
【答案】-55
【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为．
10、已知，那么展开式中含项的系数为 ．
【答案】135
【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．
11、已知，则等于（ ）
A．－5 B．5 C．90 D．180
【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．
12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．
【答案】，．
【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为．
13、如果，那么的值等于（ ）
（A）－1 （B）－2 （C）0 （D）2
【答案】A
【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A．
14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为
【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，
15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于
【答案】0
解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，
所以展开式中所有项的系数和等于0.
16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．
【答案】
【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270.
17、设，若，则 ．
【答案】0.
【解析】由，
令得：，即
再令得：，即
所以
18、设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为 .
【答案】150
解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．
再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得 4n﹣2n=240，即 22n﹣2n﹣240=0.
解得 2n=16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4.
（5x﹣）n的展开式的通项公式为 Tr+1=？（5x）4﹣r？（﹣1）r？=（﹣1）r？？54﹣r？．
令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，
19、设，则 ．
【答案】
【解析】，
所以令，得到，
所以
三、 求参数问题
20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B.
21、二项式的展开式中的系数为15，则 （ ）
A、5 B、 6 C、8 D、10
【答案】B
【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B．
22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2
【解析】∵，∴当，即时，．
23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ）
A．或1 B．或1 C．2或 D． 【答案】B．
【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，
∴或，故选B．
24、设，当时，等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C． 【解析】令，
则可得，故选C．
四、 其他相关问题
25、20152015除以8的余数为( )
【答案】7
【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．
试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，
故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，