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二项式定理-讲义
二项式定理
1．二项式定理：
，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数.
③项数：共项，是关于与的齐次多项式
④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有项。
②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。
③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令
令
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···
②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，
变形式。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令，则，
从而得到：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。
如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为，设第项系数最大，应有，从而解出来。

题型一：二项式定理的逆用；
例：
解：与已知的有一些差距，

练：
解：设，则

题型二：利用通项公式求的系数；
例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？
解：由条件知，即，，解得，由
，由题意，
则含有的项是第项,系数为。
练：求展开式中的系数？
解：，令,则
故的系数为。

题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：若的二项展开式中第项为常数项，则
解：，令，得.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式展开式中的有理项？
解：，令,()得，
所以当时，，，
当时，，。

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若展开式中偶数项系数和为，求.
解：设展开式中各项系数依次设为
,则有①，,则有②
将①-②得：
有题意得，，。
练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。
解：，，解得
所以中间两个项分别为，，

题型六：最大系数，最大项；
例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。
练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。
练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于
练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。
练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？
解：由解出,假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有
练：在的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为

题型七：含有三项变两项；
例：求当的展开式中的一次项的系数？
解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为
它的系数为。
解法②：
故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.
练：求式子的常数项？
解：，设第项为常数项，则，得,, .

题型八：两个二项式相乘；
例：
解：

.
练：
解：

.
练：
解：

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
解：

题型十：赋值法；
例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若
,则等于多少？
解：若，有，，
令得，又,即解得，.
练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？
解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.
练：
解：

练：
解：

题型十一：整除性；
例：证明：能被64整除
证：

由于各项均能被64整除

1.在的二项展开式中，的系数为________

2. 的展开式的常数项是________

3. 的展开式中的系数是________

4. 的展开式中常数项为________

5 的展开式中的系数为_________

6. 的展开式中的系数等于8，则实数__________

7．在的二项展开式中，常数项等于 .
8. ( -)6的二项展开式中的常数项为________ .
9. 展开式中的系数为10， 则实数的值为 ．

10. 若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 ____ .

11. 在的展开式中，含的项的系数是____

12. 在的展开式中，的系数等于____

13. 在的展开式中，的系数等于____

14. 的展开式中常数项为____

15. 若，则____

16．设，则__________.

17.设，则

18. 若对于任意实数，都有，则 的值为 .

19.，且
，那么的展开式中的常数项为

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