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数列与函数极限(综合资料含答案)
83．数列、函数的极限（选II）
一、考试大纲扫描
1．了解数列极限和函数极限的概念．
2．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列及函数的极限．
3．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
二、知识梳理及方法提炼
1．数列极限
（1）数列极限的概念：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数，那么叫做数列的极限，记作。
（2）数列的极限运算：如果，那么
；；
注：在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：
(a)参及运算的每一个数列的极限都是存在的；
(b)参及运算的数列的个数必须是有限个；
（c）若参及运算的数列的个数是无限个，则先求和整理，再求极限。
（3）几个重要的极限
（C为常数）， ，
（4）无穷等比数列各项的和
在无穷等比数列中，如果，表示其前项和，那么我们称为这个无穷等比数列各项的和，且。
注：若一个等比数列的各项的和存在，则蕴含着其公比满足。
2.函数极限
（1）当时函数的极限:
当自变量取正值并且无限增大时,如果函数无限趋近于一个常数,就说当趋向于正无穷大时, 函数的极限是,记作,(或时, →)
当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数无限趋近于一个常数,就说当趋向于负无穷大时, 函数的极限是,记作,(或→-∞时, →)
注：自变量→+∞和→-∞都是单方向的，而→∞是双向的，故有以下等价命题

（2）当时函数的极限:
如果当从点左侧（即）无限趋近于时，函数无限趋近于常数。就说是函数的左极限，记作。
如果当从点右侧（即）无限趋近于时，函数无限趋近于常数。就说是函数的右极限，记作。
当自变量无限趋近于常数（但）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于时, 函数的极限是,记作,(或时, →a)
注：（）。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。
(b)及函数在点处是否有定义及是否等于都无关。
（3）函数极限的四则运算：
如果，，那么
； ； （b≠0）
3.函数的连续性
一般地，函数在点处连续必须同时满足下面三个条件：
（1）函数在点处有定义；
（2）存在；
（3），即函数在点处的极限值等于这一点的函数值。
4.数列极限常见题型
（1）分子和分母都是关于的多项式的极限，呈“”型，通常同除以的最高指数项；
（2）分子或分母中含有无理式求极限时，先对分子或分母进行有理化进行转化；
（3）所求极限式为项的和（或积），通常先求和（或积）化简，再求极限；
（4）型，分子分母同除以底数绝对值较大的项，然后利用极限四则运算求解。
5.函数极限常见题型
（1）当时，求函数的极限：
①若出现“”型，分子分母同除以的最高次幂，再利用（k>0）求极限；
②若出现“”型，先变形，再求极限，变形手段：通分、因式分解、有理化等；
（2）当时，求函数的极限:
①若在函数的定义域中，则只需将代入解析式中即可；
②函数在处没有定义，若是“”型，先变形，约去极限为0的因式，再求极限；若是“”型，先变形，再求极限。常见变形方法：因式分解、分子或分母有理化等。
6.极限的逆向问题，一般从极限入手，运用逆向思维，确定有关字母的取值或取值范围。
三、知识热身
1．函数的不连续点是（ C ）
A． B． C．或 D．
2．等于（ D ）
A． B．1 C． D．
3．=_____3______
4．______________
5．等于_____________
6下列极限式中正确的是___①③④___________
① ②
③=－1 ④（C为常数）
四、典型例题解析
例1.求下列数列的极限。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
分析：针对数列极限的常见形式，掌握必要的一些处理手段。（1）和（2）是“”型；
（3）型；（4）、（5）、（6）是无穷项求极限。
精讲：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

评析：掌握一些必要的数列极限求法，再具体情况具体分析，是我们能够有备无患的制胜法宝。
例2．求下列函数的极限。
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：此例针对函数极限常见形式，掌握一些必要的处理手段。（1）直接代入，（2）通分、约去零因子，（3）有理化、约去零因子，（4）通分，同除以最高次幂。
精讲：（1）
（2）
（3）
（4）
评析：数列是特殊的函数，通过本例，我们需要学会常见函数极限的处理手段。
例3.求满足下列条件的参数取值。
(1) 已知 求、的值。
（2）已知，求、的值。
（3）已知，若存在，求b的值。
（4）已知，求实数的取值范围。
分析：本例四个题目都是关于极限和连续的逆向问题，关键是掌握基本类型的求法，然后利用逆行思维进行求解。
精讲：（1）
欲使原式，则，即。
（2）因为，所以必含有因式，故另外一个因式必然为，即，所以
即。
（3）因为，所以，
，又存在，即，故。
（4）当时，，不合题意；
当时，，合题；
当时，，不合题意；
当时，不存在极限，不合题意；
综上：
评析：上述四个题目都是求极限的逆向问题，关键是掌握极限的定义，运用逆向思维，并酌情进行讨论。
例4.（1）判断函数在其定义域内的连续性。
（2）已知在区间上连续，求、的值。
分析：由于基本初等函数在其定义域中均连续，故考察函数是否连续，只需分析函数在分段点的极限值是否等于该点的函数值。
精讲：（1）因为在各段由初等函数构成，故只需考察点
又，，而，
即，故函数在处连续；
又，，而，
即，故函数在处连续；
综上函数在其定义域R上连续。
（2）原函数在各分段均由初等函数及其四则运算构成，故只需考察点。
因为，，
，
在处连续，则；
又，，故有。
五、能力提升
1. 的值为（ Ｃ　 ）
A．1 B．０　　　　Ｃ.-1 Ｄ．
提示：题目中去负数，故选Ｃ
2．等比数列的首项，前项和为，若，则等于（ B ）
A． B． C． D．
提示：，得到公比，从而利用无穷等比数列极限，求出答案B
3．（09四川高考）已知函数在点处连续，则的值为（ B ）
Ａ．２　　　　　Ｂ.3 C．４　　　　　　Ｄ．５
提示：根据连续定义找出左右极限，从而求出参数。
４．已知a、b、c是实数，且=2, =3，则的值是　６　
5．_____1_______
6．已知函数在点处连续，则______
7．求下列式子的极限
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）
（2）
（3）

（4）
（5）因为，所以

8．根据下列条件求值。
（1）为常数，，求的值；
（2）若存在且不为0，求k的值；
（3）为多项式，且，，求。
（4）已知函数在上连续，求实数的值。
解：（1）

因为，所以，所以
（2）

又因为存在且不为0，故
（3）因为，故设
又因为，而，
故有，即
（4）因为在各段由初等函数构成，故只需考察点
又，，故
又，，故
9．已知无穷等比数列的首项为a1，公比为q，且其所有项的和存在，
（1）若，求的范围；
（2）若，求公比的范围；
（3）若（－qn）=，求首项a1的取值范围.
解：因为无穷等比数列的所有项之和存在，所以，
（1）因为，即
所以
（2）因为，即，即
当时，；当时，
（3）因为，∴一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.
当q=1时，－1=,∴a1=3.
当0＜|q|＜1时，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q.
∴0＜|2a1－1|＜1.∴0＜a1＜1且a1≠.
综上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3.
10．已知数列有，对任意的，有。
（1）求的值； （2）判断数列是否为等差数列；
（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的都有且，则称为数列的“上渐近值”。令，求数列的
“上渐近值”。
解：（1）因为，所以当时，，即；
（2）是等差数列。
因为，，所以，
即 ①，同理则有 ②，
②—①有：，即，故是等差数列。
（3）由（2），是等差数列，且，所以，，
故，
故

又，
故的“上渐近值”为3。

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