北京四十四中2020—2021学年九年级上数学期中考试试题及答案.doc

北京四十四中2020—2021学年九年级上数学期中考试试题及答案
九年级数学试卷 （120分钟）
考试说明
1．本试卷共8 页，五道大题，29道小题，满分120分
2．作答时，将选择题答案写在机读卡上，写在本试卷上无效。
3．考试终止后，将本试卷和机读卡一并交回。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 已知,则下列比例式成立的是( )
A． B. C. D.
2. 在中， ，，则为（ ）
A． B． C． D．
3. 抛物线的顶点坐标是( )
A． B． C． D．
4. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( )
A． B．
C． D．
5. 如图，在△中，点、分别为边、上的点，且∥，若，，，则的长为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sinA的值为( )
A． B． C． D．2

7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=12，BC=5，
CD⊥AB于点D，那么的值是( )
A． B．
C． D．
8. 如图，⊙的半径为5，为弦，，垂足为，假如，那么的长是（ ）
A．4 B. 6
C. 8 D. 10

9． 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结
论中正确的是（ ）
A．a＞0 B．当x≥1时，y随x的增大而增大

C．c＜0 D．当 -1＜x＜3时，y＞0

10. 如图1，在矩形ABCD中，AB<BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F．设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）

图1 图2
A．线段EF B．线段BE C．线段CE D．线段DE

二、填空题（每题3分，共18分）
11. 两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是_________ 。
12. 请写出一个开口向上，同时与y轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________ 。

学校 班级 姓名 学号
13.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，
DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，
那么线段CE的长应等于 。
14.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作 OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为 。
15.如图，抛物线与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为_________ 。
16.如图，点A1、A2 、A3 、…，点B1、B2 、B3 、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．假如A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A 4=4OA1，…．
那么A2B2= ，
AnBn= 。（n为正整数）

三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17.运算：

18. 已知抛物线.
（1）用配方法把化为形式： ______；
（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x轴交点坐标是 ，
当x 时，y随x的增大而增大.

19.抛物线平移后通过点，，求平移后的抛物线的表达式．
解：

20.已知: 如图，在中，D是AB上一点， E是AC上一点，
且∠ADE =∠ACB.
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）若DE: CB=3:5 ，AE=4, 求AB的长.

21.如图，△ABC在方格纸中，
（1） 在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），
B点坐标为_____________；
（2） 以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，
A
B
C

画出放大后的图形△A′B′C′；
（3） 运算△A′B′C′的面积S=_________

学校 班级 姓名 学号
22. 假如关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点，求实
数a的值．
解：

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，
D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，同时点B，C，D在同一条直线上．若
测得CD＝30米，求河宽AB（结果精确到1米，取1.73，取1.41）．
解：

24. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）：
质量档次
1
2
…
x
…
10
日产量（件）
95
90
…

…
50
单件利润（万元）
6
8
…

…
24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．
解：

25.如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．
（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）连接DH，假如BC=12，BF=3，求的值．

26.已知抛物线C：.
抛物线
顶点坐标
与x轴交点坐标
与y轴交点坐标
抛物线C：

变换后的抛物线

（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C；
（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原先的2倍，
纵坐标变为原先的，可证明得到的曲线仍是
抛物线，（记为），且抛物线的顶点是抛物
线C的顶点的对应点，求抛物线对应的函数
表达式.

学校 班级 姓名 学号
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27.已知抛物线（）．
（1）求抛物线与轴的交点坐标；
（2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为2，求的值；
（3）若一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.

28. 阅读明白得：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直截了当写出的值为___________．

图1 图2 图3
解：

29．已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线通过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）假如点P和点Q同时动身，运动时刻为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大.若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图

北京市第四十四中学2020—2021学年度第一学期期中测试
九年级数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
B
C
B
A
A
C
D
D

二、填空题（每题3分，共18分）
11. 2:3 12. y=x2 -1 13.
14. 1 15. -2、1 16. 6、n(n+1)
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17. 解：
=
=0

18. 已知抛物线.
（1）用配方法把化为形式：
（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 （1,-9） ，抛物线的对称轴方程是 x=1 ，抛物线与x轴交点坐标是 (4,0),(-2,0) ，当x >1 时，y随x的增大而增大.

19.解一：设平移后抛物线的表达式为．
∵平移后的抛物线通过点，，
∴
解得
因此平移后抛物线的表达式为．
解二：∵平移后的抛物线通过点，，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线.
∴设平移后抛物线的表达式为．
∴．.
∴．
因此平移后抛物线的表达式为．

20.
（1）证明：∵∠A=∠A,∠ADE =∠ACB,
∴△AED∽△ABC.
（2）解:∵△AED∽△ABC，
∴= .
∵DE: CB=3:5 ，AE=4,
∴
∴.
21.(1) B点坐标为(2,1)
(2) 略
（3）16

22. （1）当时，函数的图象与x轴只有一个公共点成立
（2）当a≠0时，函数是关于x的二次函数．
∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，
∴ 关于x的方程 有两个相等的实数根
∴
整理，得 ．
解得 ．
综上，或．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23. 解：设河宽AB为x米
∵ AB⊥BC，
∴ ∠ABC=90°．
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴ AB=BC=x
∵ 在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴ BD=
∴ ．
解得41．
答：河宽AB约为41米．

24. 解：（1）．
（且x为整数）．
（2）∵
又∵且x为整数，
∴当时，函数取得最大值1210．
答：工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．

25. 证明：如图
∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，
∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，
BC=CD，GH=EF=FG．
又∵ 点F在BC上，点G在FD上，
∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴ ∠EFB =∠FDC．
∴ △EBF∽△FCD
（2）解：∵ BF=3，BC=CD=12，
∴ CF=9，．
由（1）得 ．
∴ ．
∴
．
∴ ．
26.
解：（1），．
画图象见图
（2）由题意得变换后的抛物线的相关点的坐标如下表所示：
抛物线
顶点坐标
与x轴交点坐标
与y轴交点坐标
变换后的抛物线

设抛物线对应的函数表达式为 ．（a≠0）
∵ 抛物线与y轴交点的坐标为，
∴ ．
解得 ．
∴ ．
∴ 抛物线对应的函数表达式为．
说明：其他正确解法相应给分．

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. 解：（1）令，则.
∵，
解方程，得 .
∴，.
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（，0）.
（2） ∵， ∴.
由题意可知，
解得，.
经检验是方程的解且符合题意.
∴
（3）∵一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根.
整理该方程，得 ，
∴，
解得 .
∴一次函数的解析式为.

28. 略

29. ．解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A（4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k=．
∴ 直线的解析式为 y=x-3．
由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C(0，-3) ．
∴ ，解得 m=．
∴ 抛物线解析式为 ………………………2分
（2）关于抛物线，
令y=0，则，解得x1=1，x2=4．
∴ B(1，0).
∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.
① 若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1），
∴ △AP1Q1∽△AOC.
∴ , ∴．解得t= ；
② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC，∴ △AP2Q2∽△AOC.
∴ , ∴ ．解得t=；
综上所述，当t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似．
（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）.
∴ S△ADF=DF·AE，S△CDF=DF·OE．
∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF=DF×(AE+OE) =×4 (DE+EF)
=2×()=．
∴ S△ACD=（0<x<4）．
又0<2<4且二次项系数，∴ 当x=2时，S△ACD的面积最大．
而当x=2时，y=．∴ 满足条件的D点坐标为D (2, )．