2025届山西省太原市高三11月期中诊断考-数学试题（含答案）.docx

更 多 试 题 及 答 案 关 注 公 众 号 《 高 三 答 案 》

-

2
024-2025 年第一学期高三年级期中试题
参考答案及评分建议
一．选择题：
D
B
C
A
B
C
A
B
二．选择题： 9.BC
10.AC
11. BCD
1
3
三．填空题: 12.145
13. ( ,1)
14.
2
3
四．解答题：
1
5.解：（1）由题意得 A ={x |1< x £ 2}，\B ={y| y >0}，\ AI B = (1,2]； ………6 分
a
（2）由题意得
f (x) = 2x
+
的定义域为 R ，且 f (x) 是奇函数，
2
x
1
\
f (0) =1+ a = 0 ，\a = -1，\ f (x) = 2x
-
，
………9 分
2
x
1
3
15
4
Q
f (x) = 2x
-
在 (1,2]上单调递增， f (1) = ， f (2) =
，
2
x
2
3
15
\当 xÎ I
A B 时，f (x) 的值域为 ( , ] .
………13 分
2
4
ì
-
=
a q q2 -1) =12,
ï
a
a
(
1
6.解（1）设{an}的公比为 q ，则 í
4
2
1
ï
a3 a1q2 8,
=
=
î
ì
a1 = 32,
ì
a1 = 2,
q = 2
ï
解得 í
或 í
（舍去），\an = 2n (nÎ N* ；
)
………6 分
1
ïq = -
î
î
2
b = n - 4) 2 (nÎ N* ) ，
(
´
n
（
\
\
①
2）由（1）可得
n
Sn = (-3)´2 + (-2)´22 +L+ (n -5)´2n-1 + (n - 4)´2n ，①
2Sn = (-3)´22 + (-2)´23 +L+ (n -5)´2n + (n - 4)´2n+1 ，②
-②，整理得
S = n -5) 2
n
(
´
n+1
+10
，
………10 分
所以对于任意的
nÎ N* ，不等式(n -5)´2n+1 +10 £ l(n - 4)´2n +10 恒成立，
即不等式 (l - 2)n + (10 - 4l) ³ 0对于任意的
nÎ N* 恒成立，
………12 分
ì
l - 2 ³ 0,
8
3
解得 2 £ l £
，
\
\
í
l - 2 +10 - 4l ³ 0,
î
8
实数 l 的取值范围是[2, ].
………15 分
3
3
1
p
1
7.解：（1）由题意得 f (x) =
sin 2x - cos 2x = sin(2x - ) ，
………3 分
，
2
2
6
p
p
p
p
5p
p
\
f (A) = sin(2A- ) =1，Q0 < A < ，\- < 2A-
<
，\ A =
6
2
6
6
6
3
第 1页（共 4 页）高三数学

-

3
Q
2 sin B = 3sin C ，由正弦定理可得 2b = 3c ，即b = c ，
………5 分
2
7
Q
\
（
a = 7 ，由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccos A = c2 = 7，
4
c = 2 ，b = 3 ；
………7 分
………9 分
p
p
2）由题意得 g(x) = f (x + ) = sin(2x + ) = cos 2x ，
3
2
p
p
\
\
g(B) = cos 2B = 0 ，Q0 < B < ，\0 < 2B <p ，\B =
，
………10 分
………13 分
2
4
3p
m×n = cos AcosC + sin Asin C = cos(A-C) = cos(2A - ) ，
4
Qp
< A < ，\- < 2A-
p
p
3p
<
p
，\
2
3p
< cos(2A - ) £1，
4
2
4
4
4
2
4
2
\
m×n 的取值范围为(
,1].
………15 分
2
1
8.（1）证明：连接OA ，Q AB = PA ，ÐPAB = 60° ，
△ PAB 是正三角形，\PB = AB = PA ，
同理可得 PC = AB ，\PB = PC ，
z
\
P
Q
Q
Q
O 是 BC 的中点，\OP ^ BC ，
………2 分
M
AB = AC ，\OA ^ BC ，
C
1
O
Q
AB ^ AC ，\OA = OB = BC ，
A
y
2
B
x
Q
OP ^ BC ，\PB2 = OP2 + OB2 ，
\
Q
（
PA
2
= PB2 = OP2 + OB2 = OP2 + OA2 ，\OP ^ OA ，
………4 分
………6 分
OAI BC = O ，\OP ^ 平面 ABC ；
2）由（1）得OP ^ OA，OP ^ OB ，OA ^ OB ，以O 为原点，OA,OB,OP 所在直线
分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB = 2 ，则 A(1,0,0) ，
B( 0,1,0) ，C(0,-1,0)， P(0,0,1) ，QBQ = AP ，\Q(-1,1,1)，
显然OP= (0,0,1)是平面 ABC 的一个法向量，
………8 分
ì
ì- 2y = 0,
ï
m
m
^
^
BC,
m =
(x, y, z)是平面
BCQ
的一个法向量，则
设
í
\í
î- + = 0,
x
z
ï
î
BQ,
取 z =1，则 x =1, y = 0 ，\m = (1,0,1) ，
………10 分
m×OP
1
2
\
cos < m,OP >=
=
=
，\二面角 A- BC -Q 的大小为135°；……12 分
2
2
|
m||OP|
（
3）假设存在点 M ，设 BM = lBQ(0 £ l £1) ，则 BM = lBQ = (-l,0,l) ，
第 2页（共 4 页）高三数学

\
AM = AB + BM = (-1- l,1,l) ，
直线 AM 与平面 BCQ 所成角的正弦值为
m× AM
………13 分
7
Q
，
7
-1
1
\| cos < m, AM >|=|
|=|
|=
，
………15 分
………17 分
|
m || AM |
2
(1+ l)2 +1+ l2
7
1
3
BM
BQ
1
\
l = 或 l = - （舍去），\
=
.
2
2
2
1
9.（1）证明：由题意得曲线 y = f (x) 在点 (a , f (a )) 处的切线方程为
n
n
y - f (a ) = f ¢(a )(x - a ) ，即 y - ean = ean (x - an ) ，
n
n
n
令 y = 0，解得 x = an -1，则 an+1 = an -1，即 an+1 - an = -1 (nÎ N
* ) ，
所以数列{a }是以 a 为首项、-1为公差的等差数列；
………5 分
n
1
f (a )
1
（
2）由（1）可得 an+1 - an = -1 (nÎ N
* ) ，所以
n+1 = ean+1 -an
=
，
f (an )
e
1
所以数列{ f (a )}是以 f (a ) 为首项、 为公比的等比数列，
n
1
e
e
a -3 (e4 -1)
1
=
e
a1 -3
(e2
+1)(e +1)
=
(e2 +1)(e +1)
，
其前 4 项的和为
e -1
所以实数 a1 = 3 ；
………10 分
1
x
3
+ x +1-ex
2
（
3）原不等式等价于 m
³
在 (0,+¥)上恒成立，
x
2
1
x
3
+ x +1-ex
(x - 2)(x2 + 2x + 2- 2ex )
2
令 h(x)
=
， x > 0 ，则 h¢(x) =
，
x
2
2x3
令t(x) = x2 + 2x + 2- 2ex ， x > 0 ，则t¢(x) = 2(x +1-ex ) < 0 ，
所以t(x)在(0,+¥) 上递减，所以t(x) < t(0) = 0 ，
令 h¢(x) < 0 ，则 x > 2 ；令 h¢(x) > 0 ，则 0 < x < 2，
7
- e2
所以 h(x) 在(0,2) 上递增，在 (2,+¥)上递减，所以 h(x) £ h(2) =
，
4
所以实数 m 的取值范围为[7 - e2
,+¥) .
………17 分
4
注：以上各题其它解法请酌情赋分.
第 3页（共 4 页）高三数学