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江苏省启东中学2023-2024学年高二年级下学期数学第二次月考
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设函数在处可导，且，则（　　）
A． B． C．1 D．－1
2．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3．已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是(      )
A． B． C． D．
4．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（    ）
A． B． C． D．
5．某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（   ）  附:，.
A．3413 B．1587 C．8413 D．6826
6．的展开式中的系数为（   ）
A．-200 B．-120 C．120 D．200
7．已知随机变量的分布列如图：若，则（ ）

0
1

A． B． C．或 D．或
8．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．一组数据的第60百分位数为14
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4
10．已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ）
A． B．
C． D．
11．正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（    ）
A．直线与平面所成的角的正弦值为
B．若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为
C．若，则的最小值为
D．若点在上，点在上，则的长度最小值为

三、填空题
12．某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的方差为 ．
13．已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是 .
14．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．

四、解答题
15．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
16．某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
年收入（千元）
59
61
64
68
73
(1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.设，则，.
17．如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形.

(1)求证：平面PAC；
(2)若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.
18．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
19．现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态.
(1)求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率；
(2)若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率；
(3)将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）.求的数学期望（用表示）.

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．B
2．D
3．D
4．C
5．C
6．B
7．C
8．B
9．ACD
10．BD
11．BCD
12．
13．
14．
15．(1)证明见解析
(2)和
【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得
解得（舍去）或
的展开式的通式为
令，得
故展开式中没有常数项；
（2）令，则，
，
展开式中的有理项为和
16．(1)
(2)拟合效果符合要求，理由见解析
【详解】（1）根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得：
，，
设，则，所以，
则，.
所以，回归方程为.
（2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为.
因为，所以回归方程拟合效果符合要求.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，
所以，
又平面平面ABC，且平面平面，平面ABC，
所以平面PAC；
（2）由E，F分别是PC，PB的中点，连结AE，EF，所以，
由（1）知平面PAC.
又平面PAC，所以，所以，
所以在中，∠AFE就是异面直线AF与BC所成的角.
因为异面直线AF与BC所成角的正切值为，
所以，即，
又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，
又平面ABC，平面平面，所以，
所以在平面ABC中，过点A作BC的平行线即为直线l.
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

因为，所以，从而，
由已知E，F分别是PC，PB的中点，所以，
则，，，
所以，，
所以，，
因为，所以可设，平面AEF的一个法向量为，
则，
取，得，
又，则.
设直线PQ与平面AEF所成角为，则.
所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为.
18．(1)函数在上单调递增
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，
，
记，则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以，
所以函数在上单调递增；
（2）原不等式为，即，
即证在上恒成立，
设，则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
令，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，
且在上有，所以可得到，即，
所以在时，有成立.
19．(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）记事件A：两个粒子经过1号门后旋转，：两个粒子经过2号门后状态不变，
则，，所以
（2）记事件：两个粒子经过1号门后均旋转，则，
（3），，
，，
……
，
，
，
两式相减可得，
所以.

答案第5页，共5页