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探索性问题
一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等.
条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。
探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。
解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应注意知识的综合运用。
二、理解掌握
例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案：∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB2=AP·AC)
A
B
C
P

说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。
例二、如图， ☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分)
.
.
O
O1
A
B
P
T

结论1: PA=PB=PT 结论2:AT⊥BT.(或AT2+BT2=AB2)
结论3: ∠BAT=∠TBO1 结论4: ∠OTA=∠PTB
结论5:∠APT=∠BO1T 结论6:∠BPT=∠AOT
结论7:ΔOAT∽ΔPBT 　　 结论8:ΔAPT∽ΔBO1T
设OT=R, O1T=r, 结论9:PT2=Rr
结论10: AB=2√Rr 结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr
结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T点.
说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。本题是由初三几何书上的例题改编的，对基本图形的再认识，对图形间的内在关系的深刻挖掘，有助于透彻理解知识。
例三、已知二次函数ｙ＝１／２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过点Ａ（－３，６）、和ｘ轴交于点Ｂ（－１，０）和点Ｃ，抛物线的顶点为Ｐ.
（１）求这个函数的解析式；
（２）线段ＯＣ上是否存在点Ｄ，使∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＤ
分析：函数的解析式为ｙ＝１／２ｘ２－ｘ－３／２
＝１／２（ｘ－１）２－２，
各点坐标分别为：Ａ（-3，6）、Ｂ（-1，0）、Ｃ（3，0）、
Ｅ（-3，0）、Ｆ（1，O）、Ｐ（1，-2）.
设存在点Ｄ（a，0），使∠CAB=∠CPD.作AE⊥x轴于点E，则ΔAEC和ΔPFC都是等腰直角三角形，∴AC=6√2，PC=2√2，∠ACE=∠PCD=45°∵∠CAB=∠CPD ∴ΔABC∽ΔPDC∴AC:ＰＣ＝ＢＣ:ＤＣ，即６√２ : ２√２＝４ :(3-a)
解之得:a=5/3. ∴存在这样的点D(5/3,0),使∠CAB=∠CPD.
y
x
A
B
C
P
D
E
F
O

说明：本题是代数与几何结合的探索性题，涉及的知识点多，难点是寻求数与形的结合点，用到的数学思想方法多，如数形结合思想，方程思想，转化思想，待定系数法，配方法，采用观察、试验、猜想、比较等方法，把角相等转化为三角形相似，利用对应边成比例的关系得出方程，从而解决问题。与函数有关的探索题如果所求的点在图象上，有时还要代入解析式，利用方程组来解决问题。
三、巩固训练
1、已知AC、AB是☉O的弦，AB > AC,（如图）能否在AB 上确定一点E，使AC2=AE·AB
分析：作 AM=AC，连结CM交AB于点E，连结CB，可证ΔACE ∽Δ ABC，即可得出结论。
A
C
B
M
E
.
o

2、关于ｘ的方程x２-（5k+1）x+k２-2=0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和为4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
提示：设方程的两个实数根为x1、x2.
由根与系数关系，得x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2.
由题意知得方程,化简得 4k2-5k-9=0, ∴ k1=-1,k2=9/4(不合题意,舍去)
把k=-1代入根的判别式,Δ=20>0.
∴ 存在满足条件的k,k=-1.
3、已知一次函数Y=-X+6和反比例函数Y=k/x（k≠0）.(1)k满足什么条件时,这两个函数在(2)设(1)中的两个公共点分别为A、Ｂ，∠ＡＯＢ是锐角还是钝角？
答案：（1）k<9且k≠0：
（2）分两种情况讨论当0<k<9时，∠ＡＯＢ是锐角；当k<0时，∠ＡＯＢ是钝角。
四、拓展应用
1、如图,在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），
那么(1)当t为何值时，ΔQAP为等腰三角形？
（2)求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形 与ΔABC相似？
A
B
C
D
P
Q

解：（1）对于任时刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t。
当QA=AP时，ΔQAP为等腰三角形，即6-t=2t，解得t=2（秒），
∴当t=2秒时，ΔQAP为等腰三角形，
（2） 在ΔQAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，
∴SΔQAC=1/2QA·DC=1/2（6-t）·12=36-6t.
在ΔAPC中,AP=2t,BC=6,
∴SΔAPC =1/2AP·BC=1/2·2t·6=6t.
∴S四边形QAPC= SΔQAC + SΔAPC =(36-6t)+6t=36(厘米2)
（3）略解：分两种情况讨论： ①当QA :AB=AP:BC时，ΔQAP∽ΔABC，
可解得t=1.2（秒）
②当QA:BC =AP:AB时， ΔPAQ ∽Δ ABC，可解得t=3（秒）
∴ 当t=1.2秒或t=3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ΔABC相似.
2、如图，已知在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC，交AB于点F，连结FC（AB>AE）。
（1）ΔAEF与ΔECF是否相似。若相似，证明你的结论；若不相似，说明理由。
（2）设AB/BC=k，是否存在这样的k值，使得ΔAEF与ΔECF相似？
若存在，证明你的结论；
若不存在，说明理由。
A
B
C
D
E
F