湖南省益阳市资阳区迎丰桥镇九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程（3）教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

实际问题与一元二次方程
教学设计
课 标
要 求
能根据具体问题的实际意义，检验方程的根是否合理。
教
材
及
学
情
分
析

探究3的问题中，已知封面及正中央矩形的长宽比都是9:7，由此可以推出上、下、左、右边衬之比也为9:7。问题中的方程的两个根都是正数，但他们并不是问题的的解。必须根据他们的值得大小，来确定哪个更合乎实际。这种取舍更多地要考虑问题的实际意义，这是检验数学模型的解是否是实际的过程。
九年级的学生在以前学习了用一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解决实际问题，有一定的基础，在此基础上，进一步培养学生学习分析问题、找出等量关系来解决实际问题的能力。
课
时
教
学
目
标

1、探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.并能根据实际问题的意义检验结果的合理性.
2、经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.
3、通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.

重点
列一元二次方程解决实际应用问题
难点
寻找问题中的等量关系
提炼课题
如何找出题干中包含等量关系的语句，并将其转化为等量关系
教法学法
指导
启发式 讨论法 练习法
教具
准备
PPT
教学过程提要
环节
学生要解决的问
题或完成的任务
师生活动
设计意图
引
入
新
课

复习导入
1．通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？
2．上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”．
（1）直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
（2）正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？
（3）梯形的面积公式是什么？
（4）菱形的面积公式是什么？
（5）平行四边形的面积公式是什么？
（6）圆的面积公式是什么？

联系曾经学习过的方程应用衔接本节内容，明确本节课任务
教

学

过

程

分析问题，建立模型

探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

思考：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
分析：依据题意可知，封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7．设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
(27－9a)∶(21－7a)
＝9(3－a)∶7(3－a)
＝9∶7．
设上、下边衬的宽均为9x cm，则左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为(27－18x) cm，宽为(21－14x) cm．
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列方程
(27－18x)(21－14x)＝×27×21．
整理，得16x2－48x＋9＝0
解方程，得x＝，
即x1≈2.8，x2≈0.2．

淡化解方程，重点突出列方程

弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系

让学生更加熟练地列方程解应用题，并强化运用.把握面积问题的解题技巧,将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决
教

学

过

程

方法总结，知识内化

巩固新知

所以，9x1＝25.2 cm（不合题意，舍去），9x2＝1.8cm，7x2＝1.4cm．

因此，上、下边衬的宽均为1.8 cm，左、右边衬的宽均为1.4 cm．

思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
巩固练习
1、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．

2、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？

解法一：设道路的宽为x，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）则可列方程
(20－x)(32－2x)＝500，
整理，得
x2－36x＋70＝0．
解法二：20×32－2×20x－32x＋2x2＝500．

纳入知识系统，总结本节课内容，把握利用列一元二次方程解常见实际问题的题的技巧

使学生巩固提高，了解学生掌握情况

小

结

这节课你学到了什么？面积问题怎样建立数学模型？
板

书

设

计

21.3 实际问题与一元二次方程
解一元二次方程的一般步骤：
1、审: 2、设 :
3、列 4、解 :
5、验 ：检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去
6、答:
作

业

设

计

绩优学案P21
必做题：1—7
选做题：8
教

学

反

思