八年级数学“分式及其基本性质与运算”复习华东师大版知识精讲.doc

初二数学“分式及其基本性质与运算”复习华东师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
“分式及其基本性质与运算”复习

二. 重点、难点：
1. 重点：
（1）了解分式、有理式、最简分式、最简公分母等概念，掌握分式的基本性质，会熟练地进行通分和约分。
（2）掌握分式的加、减、乘、除与乘方的运算法则，会进行简单的分式运算.
2. 难点：
（1）在分式的混合运算中，灵活选择运算律，掌握一些常用的运算技巧；
（2）掌握分式求值中的几种技巧和方法。

三. 知识梳理：
1. 分式的概念：
设A、B是两个整式，A÷B就可以写成的形式，如果B中含有字母，则叫做分式，其中A为分子，B为分母。当分母B≠0时，分式有意义；当A＝0，且B≠0时，分式的值为0；当A>0，且B>0，或A<0，且B<0时，；当A>0，且B<0，或A<0，且B>0时，。
2. 分式基本性质：
分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，即(M为不为0的整式)。它是分式通分和约分的根据。
3. 分式的约分：
把分式的分子、分母中的公因式约去叫约分。
公因式是分子与分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂。
4. 分式的通分：
将几个异分母的分式化成同分母的分式叫分式的通分。最简公分母是各分母系数的最小公倍数，相同因式的最高次幂，所有不同因式的积。
5. 分式乘法：
将分子、分母分别相乘，即。
分式除法：将除式分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即。
6. 分式乘方：
(b≠0)。
分式开方：
(a≥0，b>0)。
7. 分式的加减：
（1）同分母分式相加减：；
（2）异分母分式相加减：。
8. 分式混合运算：分式混合运算的顺序为：分式的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号内的。
运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等，运算结果必须是最简分式或整式。
注：前两节的知识框架总结如下：

【典型例题】
例1. 若分式的值等于零，则x＝_______；若分式的值等于0，则x＝_______。
分析：根据分式的值为零的条件来解答，即：如果是一个分式，则＝0
解：由x－2＝0，得x＝2. 当x＝2时x＋1≠0，所以x＝2；
由（x－2）（x＋1）＝0，得x－2＝0或x＋1＝0，所以x＝2或x＝－1。当x＝－1时， =0，所以只取x＝2。

例2. 当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　）
A. B. C. D.
分析：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。即若是一个分式，则有意义B≠0。
解：当x＝0时，x2＝0，所以选项A不是；当x＝－时，2x＋1＝0，所以选项B不是；因为x2≥0，所以x2＋1＞0，即不论x为何实数，都有x2＋1≠0，所以选项C是；当x＝±1时，｜x｜－1＝0，所以选项D不是。故选C。

例3.
分析：分式的混合运算，与实数的混合运算相似，一般是先算乘除，后算加减，有括号应先算括号里面的。本题注意整体思想的运用。
解：原式=
=.

例4. 化简
分析：如果直接通分，运算非常复杂.观察到分母中两因式之差等于分子，可逆用分式的通分法则，把每个分式拆成两分式之差，消去一些项使分式运算变简单。
解：原式＝
＝
＝

例5. 计算
分析：若先算括号里面的，运算就比较复杂，考虑到后面除以，可以用平方差公式分解因式后化简。
解：原式=
=
=

例6. 计算
分析：如果按照法则进行，先算括号里面的，过程就比较繁琐，而用乘法分配律进行计算.运算就简单多了。
解：原式=
=
=
注：当碰到有括号的运算时，要根据具体的式子，观察分析是先算括号里面的还是使用乘法分配律。

例7. 已知，则M＝_________。
分析：两个相等的分式，如果分母相等，那么，它们的分子也一定相等；反之，如果分子相等，它们的分母也一定相等（分子不为0）。
解：
=
∵，∴Ｍ=x2

例8. 已知x为整数，且为整数，求所有符合条件的x值的和。
分析：显然在原式形式下无法确定满足条件的x的值， 需先经过化简计算才能使问题得到解决，这是解决分式问题常用的做法。
解：原式=
=
=
=
显然，当x-3=2，1，-2或-1，即x=5，4，2或1时，的值是整数，所以满足条件的数只有5，4，2，1四个，所以符合条件的x的值的和是：5+4+2+1=12。

例9. 已知=8，求和的值。
分析：本题充分运用了a与的倒数关系，注意运用以下的关系式：

灵活运用这一变形便可巧妙地解决这类求值问题。
解：在=8的两边都加上2，得
所以有=
类似地：=8的两边都减去2，得
所以有=
变式题：已知，求的值。
由得：
∴

例10. 若x，y，z满足，，求分式的值。
分析：可将其中的字母z看做已知数，用含有的z的代数式分别表示xy，再将其代入分式计算，最后约去z，从而求出分式的值。这里我们用整体思想来解答。
解：由题意得：
化简得：
解得：
∴原式＝＝－4009

例11. 甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现在要求甲生产出168个这种零件，要求乙生产出144个这种零件，他们两个人谁能先完成任务呢？
分析：先用含x的代数式分别表示甲和乙生产168个和144个零件各需要的时间，再比较时间的大小从而得出结果.需要注意的是，本题要用到求差比较两数大小与分类的思想。
提醒：①利用求差来比较两个数的大小，是比较大小的一种常用方法。
②求差的结果无法直接与0比较大小时，则必须讨论各种可能出现的情况。
解：设乙每小时生产x个零件，则甲每小时生产（x+8）个零件。
则乙生产144个这种零件需小时，甲生产168个这种零件需小时。
∴

∵x>0，∴x(x+8)>0
∴当x>48时，乙先完成任务；
当x=48时，两人同时完成任务；
当x<48时，甲先完成任务。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题：
1. 分式的值等于零，则（　　）
A. x＝－2 B. x＝0 C. x≠－2 D. x≠0
2. 使分式有意义的条件是（　　）
A. x≠0 B. x≠1 C. x≠±1 D. x≠0且x≠1
3. 分式的最简公分母是（　　）
A. （m＋n）（m2－n） B. （m2－n2）2
C. （m＋n）2（m－n） D. m2－n2
4. 如果把分式中的x和y都扩大m倍（m≠0），那么分式的值（　　）
A. 扩大m倍 B. 扩大2m倍 C. 不变 D. 缩小m倍
5.在分式，，中，最简分式有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二. 填空题：
1. 当x＝_______时，分式没有意义。
2. 如果＝0，则x＝_______。
3. （）2＝_______。
4. 不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数都为正数的最简结果是________________。

三. 解答题：
1. 计算下列各题
（1）（1＋）÷（1＋）；
（2）（）·.
2. 先化简，再求值
（1＋）÷，其中a＝－2.

3. 阅读下列材料：
“∵…，
∴…＋
=…＋
=…
=”
解答下列问题：
（1）在和式…中，第5项为_______，第n项为_______。
（2）上述求和的方法是通过逆用_______法则，将和式中的各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可以_______，从而达到求和的目的。
4. A、B两位采购员同去一家饲料公司各自购买两次饲料，两次饲料价格有变化，但两位饲料员的购货方式不同，其中，采购员A每次购买1000kg；采购员B每次用去800元，如果不管购买多少饲料，问选用谁的购货方式合算。

【试题答案】
一. 选择题.
1. B 2. D 3. D 4. C 5. B

二. 填空题：
1. ±1 2. 8 3. 4.

三. 解答题：
1. （1）； （2）1.
2. a＋1 －1
3. （1） （2）分式减法，两两消掉
4. 解：第一次的饲料单价为x元/kg，第二次的饲料单价为y元/kg。
则采购员A两次购买饲料的平均价为：
采购员B两次购买饲料的平均价为：
而
由题意知：x>0，y>o，x≠y.
∴ ∴
即采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B的平均单价。
∴选用采购员B的购货方式合算。
（提示：要知谁的购货方式合算，比较他们各自购买饲料的平均单价即可。）