适用于数值流形法分析的混凝土徐变递推公式.pdf

第 2 7卷 第7期 2 0 1 0年 7月 长 江科 学 院 院 报 J o u r n a l o f Y a n g t z e R i v e r S c i e n t i fi c Re s e a r c h I n s t i t u t e Vo 1 2 7 N o 7 J u 1 2 0 1 0 文章 编号 ： 1 0 0 1 5 4 8 5 ( 2 0 1 0 ) 0 7 0 0 5 6 0 4 适用于数值流形法分析的混凝土徐变递推公式 林 绍忠 ， 明峥嵘 ( 1 长江科学院 非连续变形分析实验室， 武汉4 3 0 0 1 0 ； 2 北京博奇电力科技有限公司 武汉分公司， 武汉4 3 0 0 7 1 ) 摘要： 目前大体积混凝土结构温度应力仿真计算主要采用有限元法。对于复杂结构， 有限元法仿真计算存在计算 规模大 、 前处理难度大等问题。数值流形法具有网格剖分和 自适应分析方便等优点， 可为温度应力仿真计算提供 有力的分析手段。混凝土徐变可以松驰温度应力， 在温度应力仿真计算中一般都要考虑徐变的影响。有限元法中 采用的徐变递推公式是基于数值积分点的应力状态， 但数值流形法的单元应力呈多项式函数分布， 这种递推公式 已不适用。为此， 推导了适合于数值流形法的徐变递推公式及等效荷载计算公式， 并编制了数值流形法仿真计算 程序， 通过数值算例验证了公式的正确性。 关键词： 数值流形法； 混凝土结构； 徐变递推公式； 温度应力； 仿真计算 中图分类号 ： r V 3 1 5 ； 0 2 4 2 文献标识码 ： A 1 概述 2 流形元位移 函数和温度 函数 数值流形法 ( 简称流形法 ) 是石根华博士提 出的一种新的数值计算方法。该方法采用 2套相互 独立的网格反映数值解精度的数学网格和反映 几何边界和材料分区的物理网格 ， 将研究区域划分 成有限个相互重叠的集合 ( 称为物理覆盖 ) ， 在各个 覆盖上独立定义局部覆盖函数 ， 通过权函数加权平 均得到整个求解域上的总体函数。由于数学 网格和 物理网格的相互独立性 ， 可以采用规则的数学网格 对物理区域进行切分形成流形元 ， 这种切分过程只 涉及相对简单的几何运算 ， 速度 比较快。覆盖函数 可以是多项式或级数形式 ， 随着 阶数的提高或级数 项的增加 ， 精度得以提高， 自适应分析方便。和有限 元一样 ， 流形元是基本的计算单元， 但可具有更复杂 的形状。鉴于流形法所具有 的优点 ， 文献 2 将其 应用于大体积混凝土结构的温度场及温度应力仿真 计算 ， 但没有考虑混凝土徐变的影响。混凝土是徐 变体 ， 考虑徐变后 ， 温度应力得到松弛 ， 因此在温度 应力仿真计算 中一般都要考虑混凝土徐变的影响。 但 目前有限元法中采用的徐变递推公式是基于数值 积分点的应力状态 ， 而流形法多采用单纯形积分进 行精确积分， 其单元应力呈多项式函数分布， 这种递 推公式已不再适用， 需要重新推导。 2 1 覆盖函数 目前， 流形法一般采用有限元 网格作为数学网 格。覆盖函数定义在数学 网格的结点上 ， 类似于有 限元的结点位移 ， 但可以是常数、 多项式函数或其它 形式级数 。覆盖 函数与物理边界无关， 如果物体只 占数学网格的一部分 ， 覆盖 函数仍然是相 同的。设 定义在物理覆盖上的覆盖函数为多项式函数 ， r ， Y， ，1 V i ( ， y ， z ) = ( ， y ， z ) D 。 ( 1 ) t w ( ， Y ， ) J 式中： D = 1 1 , ， 加 。 。 为覆盖 函数的系数( 广义位 移) ； ( ， ， ) 是多项式基底 ， 如 1 ， ， Y ， 等。对于 完全 阶覆盖函数 ， 项数 m=( +1 ) ( ， v +2 ) ( N+ 3 ) 6 。传统有限元法中， 结点位移 “ ， ， W 是常量， 即采用 0阶覆盖函数 。 2 2单元位 移函数 设流形元 e 是 n个物理覆盖的交集 ， 则该单元 的位移函数为 f II ( x ，,y ，, z l ： nY ，Y ， l ： ( ， ， ) = ( ， ， ) ( ) = 【 ( x , y ， ) J ， )J 收稿 日期 ： 2 0 0 9 0 9 一 I 5 作者简介 ： 林绍忠 ( 1 9 6 0 一 ) ， 男 ， 福建福安人 ， 教授级高级工程师 ， 工学博士 ， 主要从事水工结构数值分析研究 ， ( 电话 ) 0 2 7 8 2 8 2 0 0 0 7 ( 电子信 箱) L i n s z m a i l c r s r i C II 。 第 7期 林绍 忠 等 适用 于数值 流形法分析的混凝 土徐变遂推公式 5 7 ( ， Y ， z ) O 。 ( 2 ) i =lj =1 式中： ( ， y ， z )= F T ； N ， =F ； = ， T 。 以上公式 中， 为权 函数 ， F 是其 系数列 阵， 是多项式基底集。采用有 限元 网格作为数学网 格时 ， 即是有 限元 的形 函数 ， n为有 限元 的结点 数。流形法 中数学 网格与物理 网格不要求重合 ， 因 此可以采用形态简单的有 限元来构造显式权 函数 ， 如平面的三角形单元 、 矩形单元 和三维的 四面体单 元和长方体单元。 记 曰 为几 何 矩 阵， 对 于 三维 实 体 ， 其 子矩 阵 3 B = A 。A 为 63选择矩阵 ， 其各列仅有 一 个值为 1的非零元素 ； N =( F 。 c ) 。 ， 是 对 ( 下标 O L =1 ， 2 ， 3分别表示 ， Y ， z ) 的偏导数 ， 符号“。 ” 表示矩 阵的 H a d a ma r d乘积运算 ； c 为列 阵， 是对基底集 偏导产生 的常数 ； = ， ， ， ，f 是偏导后的多项式基底集。 2 3单 元温 度 函数 与位移函数的定义一样 ， 在物理覆盖 C ， 上的温 度覆盖函数为多项式函数 ， m f t ( ， Y ， z )= 。 ( ， Y ， ) t ， 。 ( 3 ) = 1 式中： 为待定系数 ； t ， ( ， ) ， ， ) 为多项式基底集 ； m 为温度场覆盖函数多项式的项数。在计算温度应力 时 ， 可采用相同的数学网格 ， 位移场和温度场覆盖函 数阶数可不一样 ， 但位移场覆盖函数 的阶数必须不 低于温度场的阶数。 同理 ， 单元 内的温度场可表示为 t ( ， Y ， z )=NT。 ( 4 ) 式中： N= l 1 ， l 2 ， ， l ， ， l 】 ， _ ， 2 ， ， ； T= t t ， t t ， t ， ， t ； N U=F ， T| =i c T 。 3混凝 土徐变递推公式 3 1 混凝 土增 量应 力应 变关 系 从 r 到 = + 的时段 内增量应力一 应 变关 系为 + l =D + l ( A e + l 一 + 1 一 ： + 1 ) 。( 5 ) 式中： + 。 为应力增量 ； D川 为弹性矩阵， 其中弹 模取该时段的中点弹模； + 。 为徐变增量； s ： + 。 = r J + l A； A= ， O ， ， 0 ， 0， 0 ) ； A t 川 温度增量。 3 2徐变递推公式 混凝土徐变度可表示为 C ( r ， r )= C ( tr ) ( 1一e 一 )+ C 2 ( r ) ( 1一e ) 。 式中 ： 丁为 混 凝 土 龄 期 ， r 为 加 荷 龄 期 ； C ( r ) ， C ( 丁 ) 根据试验确定。 采用有限元法分析时 ， 徐变递推公式为 ( 6 ) l ， 2 ， ； + l a oq + l q + 1 +O Ly q + l q + 1 ， f， + I= 6 q g +c 叫 ， + 。=6 ， ( 7 ) 2 = c l 1 ， 2 = c l 1 。 式中： n 删+ 1 =1 一e - k l A T q + l ； n I =1一e - k 2 A r q ； b = e -kl A q；b y q=e- k 2 A r q ；c 岬 =C l ( g ) ； c 7 q =C 2 ( r q ) ； = D E ， E 为中点弹模。 在有限元法中， 以单元高斯积分点作为表征点 ， 对于具体的高斯积分点 ， 就是该点的应力 ， 式 ( 7 ) 可以直接应用。但在流形法 中， 特别是在高阶流形 法 中， 应力 以多项式 形式表示 ， 式 ( 7 ) 不能 直接采 用 ， 应重新推导。为公式表达方便 ， 记 B = Bl l ， Bl 2 ， ， 曰l ， ， l ， 曰 2 ， ， ； ( 8 ) = D ， D ， ， A D ， ， D ， JD 一， D 。 ( 9 ) 则 q + 1 = 曰 D + l ， + l = ANA T + 1 。 ( 1 0 ) 以式 ( 7 ) 为基础 ， 经推导得到适合于流形法的 徐变递推公式 ： D ) = AD = 0， = A ： 0， D 7 = 6 D l+ D ， D q = 6 7 D l+ c q D q， ，= 6 T l+c AT q ， q = 6 T 十C y q AT ， s ； + l=B ( n + i ， J + y q + l A D q )一 A N( r 上 州 + l z l叫+0 q + l q ) ， D =E Df + l 一( n 。 D D ) ， A T + =E + A T q + l 一( 0 + ， +n + ， ) 。 ( 1 1 ) 应力计算公式为 + l： ( D， 一ANA T ， q + 1 )。 ( 1 2 ) 4 温度和徐变等效荷载 文献 2 给出了温度等效荷载公式 ， 文献 3 给 出了初应变等效荷载的一般公式。这里给出同时考 5 8 长江科 学院院报 2 0 1 0丘 虑温度和徐变的等效荷载公式。初应变表达式为 o = s gt + l+Ae q c+ l=A NAT g + 1+B( a o q + l A D g+ n + 1 A D g )一AN( + l g +a y q + l g )= B( 0 g + l A D唧 +8 y g + 1 A D q )+A N( A T g + l 一 口 + 1 q一口 y g + l q )=B X +ANY。 ( 1 3 ) 式中： X = ( 口 q + 1 A D q +n q + 1 A D q )； 【 y = ( + 一0 + 一 坩 + ) 。 ( 1 4 ) 将 按式( 9 )中的 A D那样分块 ， y中元素按 中元素那样 歹 U ， 贝 0 n m n m t = + A Y 。 ( 1 5 ) 等效荷载矩阵的子块为 ： J T t o d v ： R + R 。 ( 1 6 ) 式中： n m n m R = J T D B d v X k ， =2 Y , g o -, X k ， k = = 1 k= i I= l ( 1 7 ) K0 -k t 为流形元刚度矩阵的子块 ， 见文 3 ； R = y f B T D A d v = k= I I= 1 n胁 3 y A D A N i ， d v = k： 1 f：1 a = 1 3 n A D + 。A y F J T d v ( F 。 C jo ) 。 =1 k= l l ： 1 。 ( 1 8 ) 其第 r 个元素为 3 ( 冠 ) =( ) ； ( 1 9 ) n 1 n = D q + IA 2 E f T ，T d v ( F 。 ) F 。 f ： 1 k = l ( 2 0 ) 式 ( 2 0 ) 中的被积 函数为多项式基底的乘积 ， 可 以直接用单纯形积分法 进行精确积分。 5 算 例 如图 1 ， 混凝土块体平面尺寸为 2 0 m 2 0 i n ， 底 面基岩约束。分两层浇筑 ， 每层厚0 5 m， 间隙期 7 d ， 顶面为气温边界， 其他边界为绝热边界。在混凝 土水化热温升和环境温度作用下 ， 同时考虑徐变影 响， 计算 温度应力。每个浇筑层为一流形元 ， 见图 2 。作为比较， 用有限元法进行计算 ， 每个浇筑块划 分为5层单元， 见图3 。 A ， 2点( 见图1 ) 应力计算 结果见表 1 。可以看 出， 在较粗 的数学 网格情况下 ， 流形法通过提高覆盖函数的阶数可获得迅速逼近细 网格的有限元解 ， 在 1阶时已取得了较好的精度。 图 1混凝土块 Fi g 1 A c o nc r e t e bl oc k i n t he t e s t 图 2 流形元 网格 Fi g 2 M a n i f o l d e l e me n t me s h 图 3 有 限元 网格 Fi g 3 Fi nit e e l e me n t m esh 表 1 A， B点应力 Ta b l e 1 S t r e s s t r y a t p o i n t A a n d B MP a 6 结 语 流形法具有 网格剖分和 自适应分析方便等优 点 ， 为大体积混凝土结构温度应力仿真计算提供 了 有力的分析手段。为考虑徐变影响， 本文推导了适 用于流形法分析的徐变递推公式及等效荷载公式。 算例验证了这些公式 的正确性 。至此 ， 笔者开发的 高阶流形法计算程序 已可用于大体积混凝土结构温 度场和温度应力仿真计算 ， 其 中可以考虑常规荷载 作用和混凝土徐变的影响。 参考文献： 1 石根华数值流形方法与非连续变形分析 M 裴觉 民， 译 北京： 清华大学出版社， 1 9 9 7 ( S H I G e n h u a N u me r i a l Ma ni f o l d Me t h o d a n d Di s c o n t i n l l o u s De f o r ma t i o n 暑 0一 吕 0一 第 7期 林绍忠 等 适用于数值流形 法分析 的混凝 土徐 变递 推公式 5 9 A n a l y s i s M T r a n s l a t e d b y P e i J a e m i n B e ij i n g ：T s i n g h u a U n i v e r s i t y P r e s s ， 1 9 9 7 ( i n C h i n e s e ) ) 林绍忠， 明峥嵘， 祁勇峰 用数值流形法分析温度场及温 度应力 J 长江科学院院报 ， 2 0 0 7 ， 2 4 ( 5 ) ： 7 2 7 5 ( L I N S h a o z h o n g ，M I N G Z h e n g r o n g ，Q I Y o n g f e n g T h e r m a l fie l d a n d t h e r ma l s t r e s s a n a l y s i s b a s e d o n nu me r i c a l ma n i f o l d Me t h o d J J o u rna l o f Y a n g t z e R i v e r S c i e n t i fi c R e s e a r c h i n s t i t u t e ， 2 0 0 7 ， 2 4 ( 5 ) ： 7 2 7 5 ( i n C h i n e s e ) ) 林绍忠， 祁勇峰， 苏海东 基于矩阵特殊运算的高阶流形 元单元分析 J 长江科学院院报， 2 0 0 6 ， 2 3 ( 3 ) ： 3 6 3 9 ( L I N S h a o z h o n g ，Q I Y o n g f e n g ，S U H a i d o n g E l e me n t a n a l y s i s o f h i g h o r d e r n u me r i c a l ma n i f o l d me t h o d b a s e d o n s p e c i a l ma t ri x o p e r a t i o n s J J o u r n a l o f Y a n g t z e R i v e r S c i e n t i fi c R e s e a r c h I n s t i t u t e ， 2 0 0 6 ， 2 3( 3 ) ： 3 63 9 ( i n C h i n e s e ) ) 林绍忠 单纯形积分的递推公式 J 长江科学院院报 2 0 0 5 ， 2 2 ( 3 ) ： 3 2 3 4 ( L I N S h a o z h o n g R e c u r s i v e f o r m u l a f o r s i m p l e x i n t e g r a t i o n J J o u r n a l o f Y a n gt z e R i v e r S c i e n t i tl e R e s e a r c h I n s t i t u t e ， 2 0 0 5 ， 2 2 ( 3 ) ： 3 23 4 ( i n C h i n e s e ) ) Re c u r s i v e Fo r m u l a e o f Co n c r e t e Cr e e p S u i t a b l e f o r Nu me r i c a l M a n i f o l d M e t h o d An a l y s i s L I N S ha o z h o n g ，MI NG Zh e n g r o n g ( 编辑 ： 周晓雁) ( 1 D D A C e n t e r ， Y a n g t z e R i v e r S c i e n t i fi c R e s e a r c h I n s t i t u t e ，Wu h a n 4 3 0 0 1 0， C h i n a ； 2 Wu h a n B r a n c h o f B e i j i n g B o o t e s E l e c t r i c P o w e r S c i e n c e& T e c h n o l o g y C O ，L T D ， Wu h a n 4 3 0 0 7 1 ， C h i n a ) Abs t r a c t：Cu r r e n t l y，t h e t h e r ma l s t r e s s a n a l y s i s s i mul a t i n g t h e c o n s t r u c t i o n p r o c e s s o f ma s s c o n c r e t e s t r u c t u r e s D r i ma r i l y a d o p t s t h e fi n i t e e l e me n t me t h o d( F E M) B u t mu c h c o mp u t a t i o n i s r e q u i r e d a n d d i f f i c u h i e s i n me s h g e n e r a - t i o n a r e e nc o u n t e r e d i n c o n d uc t i n g FEM a n a l y s i s o f c o mp l i c a t e d s t ruc t u r e s F o r c o n v e n i e n c e i n a d a p t i v e a n a l y s i s a n d m e s h d i v i s i o n ， t h e n u m e r i c a l m a n i fo l d m e t h o d( N M M)p r o v i d e s a n e w e f f e c t i v e a p p r o a c h f 0 r t h e t h e r m a l s t r e s s a n a l y s i s T h e e f f e c t s o f t h e c o n c r e t e c r e e p s ho u l d b e g e n e r a l l y c o n s i d e r e d i n t h e t h e r ma l s t r e s s a n a l y s i s a s t h e c o n - c r e t e c r e e p c a n r e d u c e t h e r ma l s t r e s s e s Th e r e c u r s i v e f o r mu l a e o f t h e c o n c r e t e c r e e p wi d e l y u s e d i n FEM ，wh i c h we r e d e r i v e d b a s e d o n t h e s t r e s s e s a t n ume r i c a l l y i nt e g r a t e d p o i n t s o f fin i t e e l e me n t s a r e n o t s u i t a b l e f o r NMM a n a l y s i s du e t o t h e s t r e s s e s o f ma n i fol d e l e me n t s a r e e x p r e s s e d i n t h e p o l y n o mi a l f o r m ，e s p e c i a l l y i n h i g h o r d e r NMM Ac c o r di ng t o t h e r e c u r s i v e f o rm u l a e o f c o n c r e t e c r e e p u s e d i n FEM r e e u r s i v e for mu1 a e 0 f c 0 n c r e t e c r e e p a nd f o r mu l a e o f c o r r e s p o n d i n g e qu i v a l e n t l o a ds s u i t a b l e for NMM a n a l y s i s a r e d e d u c e d On t he b a s i s 0 f t h e d e r i v e d f o r mu l a e，a p r o g r a m o f h i g h o r d e r NMM f o r t h e t h e r ma l fi e l d a n d t he t h e rm a l s t r e s s a n a l y s i s i s de v e l o pe d a n d v e r i fl e d b y a n e x a mp l e Ke y wo r ds ： NMM ；n l a s s c o nc r e t e s t r uc t u r e；r e c u r s i v e f o rm u l a e o f c r e e p：t h e r ma l s t r e s s：s i mu l a t i o n a n a l y s i s 盒 叠 奎 盎 盎 盎 盒 客 盎 客 盘 客 盎 盒 客 C W8 2 0混凝 土抗冲耐磨材料在汤渡河水库除险加 固工程 中成功应用 汤渡河水库大坝位于黄柏河下游段。总库容 3 6 8 2万 1 1 1 ， 属中型水库 ， 工程等别为三等 ， 枢纽永久性水 工建筑 物级 别 3级 。汤 渡河 大坝 为定 圆心、 等外 半径 单 曲混凝 土 浆砌 毛石 重力 拱坝 ， 坝 顶 轴线 弧 长 1 6 6 7 3 m， 采用无闸门控制坝顶溢流方式泄洪 ， 溢流坝段堰顶高程1 2 1 0 0 m， 非溢流坝段高程1 3 3 0 m。本 次水库除险加 固工程主要为大坝加固、 泄洪工程加固等。 C W8 2 0系混凝土抗冲耐磨材料是长江科学院主要针对三峡“ 千年工程 ” 的提出， 在脂肪族聚脲材料的基 础上 ， 添加无机纳米材料和活性稀释剂 ， 制备 出的一种高耐久性 、 高性能和环保 的新型混凝土表面防护材料 ， 包括底层抗冲磨界面剂和面层抗碳化耐磨涂料两部分。具有无气味 、 环保以及高耐候性 、 高抗 冲磨性 、 高韧 性、 高粘结性、 高抗渗性， 能提高混凝土抗冲磨、 抗渗、 抗碳化、 抗冻融、 抗化学侵蚀等耐久性能， 对混凝土裂缝 具有修复能力 ； 施工完后的涂层具有光滑、 坚硬 、 平整 、 美观等优点 ， 是水利、 水电、 水运工程结构物表面抗冲 耐磨保护及防腐保护的高性能特种材料。该材料还先后在三峡工程下游坝面、 丹江 口上游坝面 、 溪洛渡导流 洞底板抗冲磨部位等工程中进行了生产性试验 ， 取得了较好效果。 ( 摘自 长江水利科技网 )