适用于数值流形法分析的混凝土徐变递推公式.pdf
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1、第 2 7卷 第7期 2 0 1 0年 7月 长 江科 学 院 院 报 J o u r n a l o f Y a n g t z e R i v e r S c i e n t i fi c Re s e a r c h I n s t i t u t e Vo 1 2 7 N o 7 J u 1 2 0 1 0 文章 编号 : 1 0 0 1 5 4 8 5 ( 2 0 1 0 ) 0 7 0 0 5 6 0 4 适用于数值流形法分析的混凝土徐变递推公式 林 绍忠 , 明峥嵘 ( 1 长江科学院 非连续变形分析实验室, 武汉4 3 0 0 1 0 ; 2 北京博奇电力科技有限公司 武汉分公
2、司, 武汉4 3 0 0 7 1 ) 摘要: 目前大体积混凝土结构温度应力仿真计算主要采用有限元法。对于复杂结构, 有限元法仿真计算存在计算 规模大 、 前处理难度大等问题。数值流形法具有网格剖分和 自适应分析方便等优点, 可为温度应力仿真计算提供 有力的分析手段。混凝土徐变可以松驰温度应力, 在温度应力仿真计算中一般都要考虑徐变的影响。有限元法中 采用的徐变递推公式是基于数值积分点的应力状态, 但数值流形法的单元应力呈多项式函数分布, 这种递推公式 已不适用。为此, 推导了适合于数值流形法的徐变递推公式及等效荷载计算公式, 并编制了数值流形法仿真计算 程序, 通过数值算例验证了公式的正确性。
3、 关键词: 数值流形法; 混凝土结构; 徐变递推公式; 温度应力; 仿真计算 中图分类号 : r V 3 1 5 ; 0 2 4 2 文献标识码 : A 1 概述 2 流形元位移 函数和温度 函数 数值流形法 ( 简称流形法 ) 是石根华博士提 出的一种新的数值计算方法。该方法采用 2套相互 独立的网格反映数值解精度的数学网格和反映 几何边界和材料分区的物理网格 , 将研究区域划分 成有限个相互重叠的集合 ( 称为物理覆盖 ) , 在各个 覆盖上独立定义局部覆盖函数 , 通过权函数加权平 均得到整个求解域上的总体函数。由于数学 网格和 物理网格的相互独立性 , 可以采用规则的数学网格 对物理区
4、域进行切分形成流形元 , 这种切分过程只 涉及相对简单的几何运算 , 速度 比较快。覆盖函数 可以是多项式或级数形式 , 随着 阶数的提高或级数 项的增加 , 精度得以提高, 自适应分析方便。和有限 元一样 , 流形元是基本的计算单元, 但可具有更复杂 的形状。鉴于流形法所具有 的优点 , 文献 2 将其 应用于大体积混凝土结构的温度场及温度应力仿真 计算 , 但没有考虑混凝土徐变的影响。混凝土是徐 变体 , 考虑徐变后 , 温度应力得到松弛 , 因此在温度 应力仿真计算 中一般都要考虑混凝土徐变的影响。 但 目前有限元法中采用的徐变递推公式是基于数值 积分点的应力状态 , 而流形法多采用单纯
5、形积分进 行精确积分, 其单元应力呈多项式函数分布, 这种递 推公式已不再适用, 需要重新推导。 2 1 覆盖函数 目前, 流形法一般采用有限元 网格作为数学网 格。覆盖函数定义在数学 网格的结点上 , 类似于有 限元的结点位移 , 但可以是常数、 多项式函数或其它 形式级数 。覆盖 函数与物理边界无关, 如果物体只 占数学网格的一部分 , 覆盖 函数仍然是相 同的。设 定义在物理覆盖上的覆盖函数为多项式函数 , r , Y, ,1 V i ( , y , z ) = ( , y , z ) D 。 ( 1 ) t w ( , Y , ) J 式中: D = 1 1 , , 加 。 。 为覆盖
6、 函数的系数( 广义位 移) ; ( , , ) 是多项式基底 , 如 1 , , Y , 等。对于 完全 阶覆盖函数 , 项数 m=( +1 ) ( , v +2 ) ( N+ 3 ) 6 。传统有限元法中, 结点位移 “ , , W 是常量, 即采用 0阶覆盖函数 。 2 2单元位 移函数 设流形元 e 是 n个物理覆盖的交集 , 则该单元 的位移函数为 f II ( x ,,y ,, z l : nY ,Y , l : ( , , ) = ( , , ) ( ) = 【 ( x , y , ) J , )J 收稿 日期 : 2 0 0 9 0 9 一 I 5 作者简介 : 林绍忠 ( 1
7、 9 6 0 一 ) , 男 , 福建福安人 , 教授级高级工程师 , 工学博士 , 主要从事水工结构数值分析研究 , ( 电话 ) 0 2 7 8 2 8 2 0 0 0 7 ( 电子信 箱) L i n s z m a i l c r s r i C II 。 第 7期 林绍 忠 等 适用 于数值 流形法分析的混凝 土徐变遂推公式 5 7 ( , Y , z ) O 。 ( 2 ) i =lj =1 式中: ( , y , z )= F T ; N , =F ; = , T 。 以上公式 中, 为权 函数 , F 是其 系数列 阵, 是多项式基底集。采用有 限元 网格作为数学网 格时 ,
8、即是有 限元 的形 函数 , n为有 限元 的结点 数。流形法 中数学 网格与物理 网格不要求重合 , 因 此可以采用形态简单的有 限元来构造显式权 函数 , 如平面的三角形单元 、 矩形单元 和三维的 四面体单 元和长方体单元。 记 曰 为几 何 矩 阵, 对 于 三维 实 体 , 其 子矩 阵 3 B = A 。A 为 63选择矩阵 , 其各列仅有 一 个值为 1的非零元素 ; N =( F 。 c ) 。 , 是 对 ( 下标 O L =1 , 2 , 3分别表示 , Y , z ) 的偏导数 , 符号“。 ” 表示矩 阵的 H a d a ma r d乘积运算 ; c 为列 阵, 是对
9、基底集 偏导产生 的常数 ; = , , , ,f 是偏导后的多项式基底集。 2 3单 元温 度 函数 与位移函数的定义一样 , 在物理覆盖 C , 上的温 度覆盖函数为多项式函数 , m f t ( , Y , z )= 。 ( , Y , ) t , 。 ( 3 ) = 1 式中: 为待定系数 ; t , ( , ) , , ) 为多项式基底集 ; m 为温度场覆盖函数多项式的项数。在计算温度应力 时 , 可采用相同的数学网格 , 位移场和温度场覆盖函 数阶数可不一样 , 但位移场覆盖函数 的阶数必须不 低于温度场的阶数。 同理 , 单元 内的温度场可表示为 t ( , Y , z )=N
10、T。 ( 4 ) 式中: N= l 1 , l 2 , , l , , l 】 , _ , 2 , , ; T= t t , t t , t , , t ; N U=F , T| =i c T 。 3混凝 土徐变递推公式 3 1 混凝 土增 量应 力应 变关 系 从 r 到 = + 的时段 内增量应力一 应 变关 系为 + l =D + l ( A e + l 一 + 1 一 : + 1 ) 。( 5 ) 式中: + 。 为应力增量 ; D川 为弹性矩阵, 其中弹 模取该时段的中点弹模; + 。 为徐变增量; s : + 。 = r J + l A; A= , O , , 0 , 0, 0 )
11、 ; A t 川 温度增量。 3 2徐变递推公式 混凝土徐变度可表示为 C ( r , r )= C ( tr ) ( 1一e 一 )+ C 2 ( r ) ( 1一e ) 。 式中 : 丁为 混 凝 土 龄 期 , r 为 加 荷 龄 期 ; C ( r ) , C ( 丁 ) 根据试验确定。 采用有限元法分析时 , 徐变递推公式为 ( 6 ) l , 2 , ; + l a oq + l q + 1 +O Ly q + l q + 1 , f, + I= 6 q g +c 叫 , + 。=6 , ( 7 ) 2 = c l 1 , 2 = c l 1 。 式中: n 删+ 1 =1 一e
12、- k l A T q + l ; n I =1一e - k 2 A r q ; b = e -kl A q;b y q=e- k 2 A r q ;c 岬 =C l ( g ) ; c 7 q =C 2 ( r q ) ; = D E , E 为中点弹模。 在有限元法中, 以单元高斯积分点作为表征点 , 对于具体的高斯积分点 , 就是该点的应力 , 式 ( 7 ) 可以直接应用。但在流形法 中, 特别是在高阶流形 法 中, 应力 以多项式 形式表示 , 式 ( 7 ) 不能 直接采 用 , 应重新推导。为公式表达方便 , 记 B = Bl l , Bl 2 , , 曰l , , l , 曰
13、2 , , ; ( 8 ) = D , D , , A D , , D , JD 一, D 。 ( 9 ) 则 q + 1 = 曰 D + l , + l = ANA T + 1 。 ( 1 0 ) 以式 ( 7 ) 为基础 , 经推导得到适合于流形法的 徐变递推公式 : D ) = AD = 0, = A : 0, D 7 = 6 D l+ D , D q = 6 7 D l+ c q D q, ,= 6 T l+c AT q , q = 6 T 十C y q AT , s ; + l=B ( n + i , J + y q + l A D q )一 A N( r 上 州 + l z l叫+
14、0 q + l q ) , D =E Df + l 一( n 。 D D ) , A T + =E + A T q + l 一( 0 + , +n + , ) 。 ( 1 1 ) 应力计算公式为 + l: ( D, 一ANA T , q + 1 )。 ( 1 2 ) 4 温度和徐变等效荷载 文献 2 给出了温度等效荷载公式 , 文献 3 给 出了初应变等效荷载的一般公式。这里给出同时考 5 8 长江科 学院院报 2 0 1 0丘 虑温度和徐变的等效荷载公式。初应变表达式为 o = s gt + l+Ae q c+ l=A NAT g + 1+B( a o q + l A D g+ n + 1
15、A D g )一AN( + l g +a y q + l g )= B( 0 g + l A D唧 +8 y g + 1 A D q )+A N( A T g + l 一 口 + 1 q一口 y g + l q )=B X +ANY。 ( 1 3 ) 式中: X = ( 口 q + 1 A D q +n q + 1 A D q ); 【 y = ( + 一0 + 一 坩 + ) 。 ( 1 4 ) 将 按式( 9 )中的 A D那样分块 , y中元素按 中元素那样 歹 U , 贝 0 n m n m t = + A Y 。 ( 1 5 ) 等效荷载矩阵的子块为 : J T t o d v :
16、R + R 。 ( 1 6 ) 式中: n m n m R = J T D B d v X k , =2 Y , g o -, X k , k = = 1 k= i I= l ( 1 7 ) K0 -k t 为流形元刚度矩阵的子块 , 见文 3 ; R = y f B T D A d v = k= I I= 1 n胁 3 y A D A N i , d v = k: 1 f:1 a = 1 3 n A D + 。A y F J T d v ( F 。 C jo ) 。 =1 k= l l : 1 。 ( 1 8 ) 其第 r 个元素为 3 ( 冠 ) =( ) ; ( 1 9 ) n 1 n
17、= D q + IA 2 E f T ,T d v ( F 。 ) F 。 f : 1 k = l ( 2 0 ) 式 ( 2 0 ) 中的被积 函数为多项式基底的乘积 , 可 以直接用单纯形积分法 进行精确积分。 5 算 例 如图 1 , 混凝土块体平面尺寸为 2 0 m 2 0 i n , 底 面基岩约束。分两层浇筑 , 每层厚0 5 m, 间隙期 7 d , 顶面为气温边界, 其他边界为绝热边界。在混凝 土水化热温升和环境温度作用下 , 同时考虑徐变影 响, 计算 温度应力。每个浇筑层为一流形元 , 见图 2 。作为比较, 用有限元法进行计算 , 每个浇筑块划 分为5层单元, 见图3 。
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