证明或判断等差(等比)数列常用方法.doc

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证明或判断等差（等比）数列的常用方法
湖北省 王卫华 玉芳
翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．
一、 利用等差（等比）数列的定义
在数列中，若（为常数）或（为常数），则数列为等差（等比）数列．这是证明数列为等差（等比）数更最主要的方法．如：
例1．（2005北京卷）设数列的首项，且，
记．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）；
（Ⅱ），所以，
所以，
猜想：是公比为的等比数列．
证明如下：因为
所以是首项为，公比为的等比数列．
评析：此题并不知道数列的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。
例2．（2005山东卷）已知数列的首项，前项和为，且（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）略．
解：由已知可得时两式相减得:，即，从而，
当时，，所以，
又，所以，从而．
故总有，又，从而．
所以数列是等比数列．
评析：这是常见题型，由依照含的式子再类似写出含的式子，得到的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项的表达式，则较繁．
注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．
二．运用等差或等比中项性质
是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．
例3．（2005江苏卷）设数列的前项为，已知，且其中为常数．
（1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）略．
解：（1）由，得．
把分别代入 ，得
解得，，．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即
， ①
又． ②
②-①得，，
即． ③
又． ④
④-③得，，∴，
∴，又，
因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．
评析：此题对考生要求较高，通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．
例4．（高考题改编）正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．
证明：依题意，，且，
．
．
由此可得．即．
数列为等差数列．
评析：本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．
三．运算数学归纳法
这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡．
例5．(2004全国高考题)数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列．
证明：由，，知，
，猜测是首项为1，公比为2的等比数列．
下面用数学归纳法证明：令.
(1)当时，，成立．
(2)当时，，成立．
假设时命题成立，即．
那么当时，，命题成立．
综上知是首项为1，公比为2的等比数列．
例6．（2005浙江卷）设点和抛物线其中，由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离．
（1）求及的方程．（2）证明是等差数列．
解：（I）由题意得：．
设点是上任意一点，则
令则
由题意：即
又在上，
解得：，故方程为
(II)设点是上任意一点，则
令，
则．
由题意得g，即
又
即 （*）
下面用数学归纳法证明
①当时， 等式成立．
②假设当时，等式成立，即
则当时，由（*）知
又　　
即当时，等式成立．由①②知，等式对成立．是等差数列．
评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作．
四．反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：
例7．（2000年全国高考（理））设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．
证明：设的公比分别为，，，为证不是等比数列只需证．事实上，

，又不为零，，故不是等比数列．
评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列，只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 ．  
五．看通项与前项和法
若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列；若通项能表示成(均为不为0的常数，)的形式，则数列是等比数列． 若数列的前项和Sn能表示成 (a，b为常数)的形式，则数列等差数列；若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．
例8．(2001年全国题)若S是数列的前项和，,则是( 　　).
Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列
Ｃ．等差数列，而且也是等比数列 Ｄ.既非等比数列又非等差数列
解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B，大大节约了时间，同时大大提高了命中率．
六．熟记一些常规结论，有助于解题
若数列是公比为的等比数列，则
（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；
（2）若是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；
（3）数列是公比为的等比数列；
（4）是公比为的等比数列；
（5）在数列中，每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为；
（6），，等都是等比数列；
（7）若成等差数列时，成等比数列；
（8）均不为零时，则成等比数列；
（9）若是一个等差数列，则正项数列是一个等比数列．
若数列是公差为等差数列，则
（1）成等差数列，公差为（其中是实常数）；
（2），（为常数），仍成等差数列，其公差为；
（3）若都是等差数列，公差分别为，则是等差数列，公差为；
（4）当数列是各项均为正数的等比数列时，数列是公差为的等差数列；
（5）成等差数列时，成等差数列．
例9．（96年全国高考题）等差数列的前项和为30，前项和为100则它的前项和为（　　）
Ａ．130 Ｂ．170 Ｃ．210 Ｄ．260
解：由上面的性质得：成等比数列，
故，
，
．故选Ｃ．
评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．
　　从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．欢迎您的光临，word文档下载后可以修改编辑。双击可以删除页眉页脚。谢谢！
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