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几何最值及路径长（讲义）
一、知识点睛
1. 解决几何最值问题的通常思路
①分析定点、动点，寻找不变特征；
②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；
若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．
转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．

理论依据：
两点之间，线段最短（已知两个定点）
垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）
三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）
过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦

常用模型、结构示例：
①奶站模型

求PA+PB的最小值， 求|PA-PB|的最大值，
使点在线异侧 使点在线同侧
②天桥模型

固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为奶站模型解决
③折叠求最值结构

求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）
2. 解决路径长问题的思路
①分析定点、动点，寻找不变特征；
②猜测、验证，确定运动路径；
猜测常通过“起点、终点、特殊点”，
结合不变特征验证．
③设计方案，求出路径长．

二、精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为
(，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值
为___________．

第1题图 第2题图
2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两动点，且PQ=2，则当BP=_______时，四边形APQE的周长最小．

3. 如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值之差为__________．

第3题图 第4题图
4. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M，N两点分别是边AB，AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为，连接，则的最小值是___________．

5. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运动时，点A随之在OM上运动，且矩形ABCD的形状和大小保持不变．若AB=2，BC=1，则运动过程中点D到点O的最大距离为（ ）
A． B． C． D．

第5题图 第6题图
6. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________．

7. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点，则AM的最小值为___________．

第7题图 第8题图
8. 如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的最小值为___________．

9. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且
∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_________________．

第9题图 第10题图
10. 边长为2的正方形ABCD的两条对角线交于点O，把BA与CD分别绕点B和点C逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD随之变成四边形．设，交于点，若旋转了60°，则由点O运动到点所经过的路径长为___________．

11. 如图，木棒AB的长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，且与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿NO向下滑动到，B端沿直线OM向右滑动到，若，则木棒的中点P随之运动的路径长
为____________．

第11题图 第12题图
12. 如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是线段CD上一动点，分别以AP，PB为边向上、向下作正方形APEF和正方形PHKB．设正方形对角线的交点分别为O1，O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2的中点G运动的路径长
为_________．
13. 已知等边三角形ABC的边长为4，点D是边BC的中点，点E在线段BA上由点B向点A运动，连接ED，以ED为边在ED右侧作等边三角形EDF．设△EDF的中心为O，则点E由点B向点A运动的过程中，点O运动的路径长为_____________．

三、回顾与思考

【参考答案】
1． 2．4 3． 4．
5．A 6． 7． 8．
9． 10． 11． 12．
13．
6