2019_2020学年新教材高中数学第二课考点突破素养提升新人教A版必修2.doc

第二课
考点突破·素养提升
素养一　数学抽象
角度　复数的概念
【典例1】(1)若复数z=1+i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2+的虚部为 (　　)
A.0　 B.-1　 C.1　 D.-2
(2)实数k分别为何值时，复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件？
①是实数.②是虚数.③是纯虚数.④是0.
【解析】(1)选A.因为z=1+i，所以=1-i，
所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.
(2)(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.
①当k2-5k-6=0，即k=6或k=-1时，该复数为实数.
②当k2-5k-6≠0，即k≠6且k≠-1时，该复数为虚数.
③当即k=4时，该复数为纯虚数.
④当即k=-1时，该复数为0.
【类题·通】
复数相关概念的应用技巧
(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
特别提醒：求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.
【加练·固】
1.下列命题为假命题的是 (　　)
A.复数的模是非负实数
B.复数等于零的充要条件是它的模等于零
C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件
D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
【解析】选D.A中，任何复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=≥0总成立，所以A正确.
B中，由复数为零的条件z=0⇔⇔|z|=0，故B正确.
C中，若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，且z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，所以|z1|=|z2|；
反之，由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i时，|z1|=|z2|，故C正确.
D中，若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z1>z2，则a1>a2，b1=b2=0，此时|z1|>|z2|；若|z1|>|z2|，z1与z2不一定能比较大小，所以D错误.
2.对于复数a+bi(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)
A.a=0⇔a+bi为纯虚数
B.b=0⇔a+bi为实数
C.a+(b-1)i=3+2i⇔a=3，b=-3
D.-1的平方等于i
【解析】选B.当a=0且b≠0时，a+bi为纯虚数，故A错；B正确；
若a+(b-1)i=3+2i⇒a=3，b=3，故C错；
(-1)2=1，故D错.
3.复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3)，当x为何实数时，
(1)z∈R.
(2)z为虚数.
(3)z为纯虚数.
【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以
由②，得x=4，经验证满足①③式.
所以当x=4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，
所以
解得即<x<4或x>4时，z为虚数.
(3)因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，
所以得
无解.所以复数z不可能是纯虚数.
素养二　直观想象
角度　复数的几何意义
【典例2】(1)若复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是(　　)
A.-1 B.1 C.- D.
(2)复数z=(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】(1)选A.因为(a+i)2=a2-1+2ai，
又复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，
所以即a=-1.
(2)选A.z==
=[(m-4)-2(m+1)i]，其实部为(m-4)，虚部为-(m+1)，由得
此时无解.故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限.
【类题·通】
在复平面内确定复数对应点的步骤
(1)由复数确定有序实数对，即z=a+bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b).
(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b).
【加练·固】
1.若复数(-6+k2)-(k2-4)i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是______________. 
【解析】由已知得，所以4<k2<6.
所以-<k<-2或2<k<.
答案：(-，-2)∪(2，)
2.已知复数z1=2+3i，z2=a+bi，z3=1-4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若=2+，则a=______________，b=______________. 
【解析】因为=2+，
所以1-4i=2(2+3i)+(a+bi)，
即
所以
答案：-3　-10
素养三　数学运算
角度　复数的代数运算
【典例3】(2019·天津高考)i是虚数单位，则的值为________. 
【解析】==|2-3i|=.
答案：
【类题·通】
进行复数代数运算的策略
(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算.
①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)；
②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a+bi)2=a2+2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.
【加练·固】
1.若z=1+2i，则= (　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
【解析】选C.因为z=1+2i，则=1-2i，
所以z·=(1+2i)(1-2i)=5，
则==i.
2.已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.
(1)求.
(2)求的值.
【解析】(1)因为|3+4i|=5，
所以z=1+3i-5=-4+3i，所以=-4-3i.
(2)===2.

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