2022-2022学年高中数学课时跟踪检测六空间向量的运算北师大版选修2-.doc

课时跟踪检测（六） 空间向量的运算
一、基本能力达标
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是(　　)
①(－)－；
②(＋)－；
③(－)－2；
④(－)＋.
A．①②　　　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
解析：选A　(－)－＝－＝，(＋)－＝＋＝.故选A.
2.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A．2· B．2·
C．2· D．2·
解析：选B　2·＝－2a2cos 60°＝－a2,2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2,2·＝·＝－a2,2·＝·＝－·＝－a2，故选B.
3.如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则＋(＋)＝(　　)
A． B．
C． D.
解析：选A　＋(＋)＝＋＝.
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝·＝·＝0，则△BCD为(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：选B　＝＋，＝＋，＝＋，
∴cos〈，〉＝
＝＞0，∴〈，〉为锐角，
同理cos〈，〉＞0，∴∠BCD为锐角，
cos〈，〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．
5．如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点E，P为空间任意一点，若＋＋＋＝x，则x＝________.
解析：过E作MN∥AB分别交BC，AD于点M，N.
∴＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝2(＋)＝4.
答案：4
6.如图所示，在一个直二面角α－AB－β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
解析：∵＝＋＋＝－＋，∴＝(－＋)2＝＋＋－2·＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.
答案：2
7．在四面体O－ABC中，棱OA，OB，OC两两互相垂直，且||＝1，||＝2，||＝3，G为△ABC的重心，求·(＋＋)的值．
解：∵＝＋＝＋(＋)
＝(＋＋)，
∴·(＋＋)＝(＋＋)2
＝(||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·)＝(1＋4＋9)＝.
8.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：(1)证明： ＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，
∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝ ＝ ＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
二、综合能力提升
1．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝(　　)
A．＋＋
B.＋＋
C.＋＋
D.＋＋
解析：选D　如图所示，＝，＝＋，＝，＝＋，＝，＝，所以＝＝＋＋，故选D.
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　)
A．60°　　　　　　　　 B．120°
C．30° D．90°
解析：选B　a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝
＝＝，
|b|＝＝＝
＝＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
3．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
解析：＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.
答案：60°
4.如图，正四棱锥P­ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
(2)求|＋|的值．
解：(1)证明：∵＝＋，
∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||·cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.
(2)∵＋＝＋＋，
∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a.
5.如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈， 〉．
解：设＝a，＝b， ＝c，正四面体的棱长为1，
(1)证明：因为＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)， ＝(a＋c－5b)， ＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)
＝(18a·b－9|a|2)
＝＝0，
所以⊥，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c
＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝ ＝.
又||＝ ＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.