2019广州一模文科数学试题及答案文字版(2).doc

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学 眼尘编辑
2019年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
文科数学
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一、 选择题: 本题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）已知集合, , 则
A． B． C． D．

2. （ ）已知 a 为实数 , 若复数 ( a + i ) ( 1 - 2i ) 为纯虚数, 则 a =
A．-2 B． C． D．2

3. （ ）已知双曲线的一条渐近线过点 ( b , 4 ), 则 C 的离心率为
A． B． C． D．3

4. （ ）, 为平面向量 , 已知 = ( 2 , 4 )． ( 0 , 8 ), 则 , 夹角的余弦值等于
A． B． C． D．

5. （ ）若, 则下列不等式中一定成立的是
A． B．
C． D．

6. （ ）刘微是我国魏晋时期的数学家, 在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆
术”．所谓“割圆术”, 是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以
此求取圆周率的方法．如图所示, 圆内接正十二边形的中心为圆心 O．
圆 O 的半径为 2．现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子, 其中有 b 粒豆子
落在正十二边形内 , 则圆周率的近似值为
A． B． C． D．

7. （ ）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中 , 点 E, F 分别是棱 AB, BC 的中点 , 则直线 CE 与 D1F 所
成角的大小为
A． B． C． D．
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8. （ ）如图 , 一高为H且装满水的鱼缸 , 其底部装有一排水小孔 , 当小孔打开时 , 水从孔中匀速流
出 , 水流完所用时间为 T．若鱼缸水深为 h 时 , 水流出所用时间为 t , 则函数 h = f (t) 图象大致是

9. （ ）函数 的最大值是
A．2 B． C． D．

10. （ ）一个几何体的三视图如图所示 , 其中正视图和俯视图中的四边形是
边长为 2 的正方形 , 则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．

11. （ ）已知 F 为抛物线 的焦点 , 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点 , 且 | AF |
= 3 | BF | , 则 | AB | =
A．6 B．8 C．10 D．12

12. （ ）已知函数, 对任意 , , 都有 ．
则实数a的取值范围是
A． B． C． D．

二、 填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共20分．
13. 已知函数 , 若, 则____________

14. 已知以点 ( 1, 2 ) 为圆心的圆 C 与直线 x + 2y = 0 相切 , 则圆 C 的方程为_______________________

15. 已知关于 x, y 的不等式组表示的平面区域内存在点, 满足 , 则 m 的取值范围是_____________________________

16. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 b=2, c=3, C=2B, 则 △ABC 的面积为_____________
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三、 解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．
（一） 必考题: 共60分
17. (12分)已知 是等差数列 , 且 , .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 是等比数列 的前 3 项 , 求 k 的值及数列 的前n项和．

18. (12分)如图 , 在三棱锥 A-BCD 中 , △ABC 是等边三角形．∠BAD＝∠BCD = 90°, 点 P 是 AC 的中点 , 连接 BP , DP．
(1)证明: 平面 ACD ⊥ 平面 BDP ;
(2)若, , 求三棱锥 A-BCD 的体积．

19. (12分)某网络平台从购买该平台某课程的客户中 , 随机抽取了100位客户的数据 , 并将这100个数据按学时数．客户性别等进行统计 , 整理得到下表．
学时数
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
[30, 35)
[35, 40)
男性
18
12
9
9
6
4
2
女性
2
4
8
2
7
13
4
(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 , 结果保留小数点后两位)；
(2)从这100位客户中 , 对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人 , 再从这7人中随机抽取2人 , 求这2人购买的学时数都不低于15的概率；
(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”, 25学时以下者视为“非十分爱好该课程者”, 请根据已知条件完成以下2x2列联表 , 并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？

非十分爱好该课程者
十分爱好该课程者
合计
男性

女性

合计

100
附:

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

20. (12分)已知椭圆 的一个焦点为 F (1, 0) , 点 在 C 上．
(1)求椭圆 C 的力程;
(2)若直线 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 问 y 轴上是否存在点 M, 使得 △ABM 是以 M为直角顶点的等腰直角三角形 ？若存在 , 求点 M 的坐标;若不存在 , 说明理由．

21. (12分)已知函数 , , 其中 .
(1)讨论函数 与 的图象的交点个数；
(2)若函数 与 的图像无交点 , 设直线 与函数 和 的图象分别交于点 P, Q．证明: ．

（二） 选考题: 共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．
22. [必修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ( t 为参数)．以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 直线 C2 的极坐标方程为 ．
(1)写出曲线 C1 的普通方程和直线 C2 的直角坐标方程;
(2)若直线 C2 与曲线 C1 有两个不同交点 , 求a的取值范围．

23. [选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数
(1)当 a = 1 时, 求不等式 的解集:
(2)若 a > 0, 不等式 对 都成立, 求 a 的取值范围．

参考答案
一．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
C
B
D
C
D
B
C
B
B
A

二．填空题
13. 14. 15. 16.

三．解答题

9 / 9