2020-2021学年人教版高中数学选修2-2第二章2.2.1知能演练轻松闯关.docx

1．分析法是从要证的结论动身，逐步寻求结论成立的(　　)
A．充分条件　　　　　　 B．必要条件
C．充要条件 D．等价条件
解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件．
2．要证明＋＜2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)
A．综合法 B．分析法
C．类比法 D．归纳法
解析：选B.从数据来看宜用分析法．
3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是(　　)
A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m⊂α
解析：选D.A：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C：这两个平面有可能平行或重合；D：是成立的，故选D.
4．已知a、b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的关系是(　　)
A．x＞y B．x＜y
C．x＞y D．不确定
解析：选B.∵x＞0，y＞0，要比较x，y的大小，只需比较x2，y2的大小，即比较与a＋b的大小，
∴a、b为不相等的正数，
∴2＜a＋b.
∴＜a＋b，
即x2＜y2，∴x＜y.
5．(2021·张家口高二检测)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：选C.要证明＜a，
只需证b2－ac＜3a2，
只需证(a＋c)2－ac＜3a2，
只需证－2a2＋ac＋c2＜0，
即证2a2－ac－c2＞0，
即证(a－c)(2a＋c)＞0，
即证(a－c)(a－b)＞0.
6．(2021·福州高二检测)已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，
则由题意知f(1)＜0，
即12＋(k－3)×1＋k2＜0，
则得－2＜k＜1.
答案：(－2,1)
7．(2021·济南高二检测)假如x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值为________．
解析：由x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝2，
得2－(x＋y)＝xy≤()2，
∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，
∴x＋y≥2－2或x＋y≤－2－2，
∵x＞0，y＞0，
∴x＋y的最小值为2－2.
答案：2－2
8．命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0”，则cos(α－β)等于________．
解析：条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－.
答案：－
9．设函数f(x)对于定义域R内任意实数都有f(x)≠0，且f(x＋y)＝f(x)·f(y)成立．
求证：对于定义域内的任意x都有f(x)＞0.
证明：∵f(x)在定义域R上任意实数都有f(x)≠0且f(x＋y)＝f(x)·f(y)，
∴对于任意x∈R，
有f(x)＝f(＋)＝f()f()＝f2()＞0，
故有f(x)＞0.
10．设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10.求证loga c＋logb c≥4lg c.
证明：由于a＞1，b＞1，故要证明loga c＋logb c≥4lg c，只要证明＋≥4lg c．又c＞1，lg c＞0，所以只要证明＋≥4，即≥4.
由于ab＝10，所以lg a＋lg b＝1，故只要证明≥4，①
由于a＞1，b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0，
所以0＜lg alg b≤()2＝，
即①式成立，所以原不等式成立．

1．要证－＜成立，a，b应满足的条件是(　　)
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0且a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
解析：选D.要证－＜，只需证(－ )3＜()3，即证a－3 ＋3 －b＜a－b，
只需证(－)＞0，只需证ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b.
2．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m－n|＝________.
解析：不妨设是x2－mx＋2＝0的一根，另一根为a，则m＝a＋，a＝2.
设x2－nx＋2＝0的两根为b，c，则n＝b＋c，bc＝2.
由，b，c，a成等比数列及a＝4可得b＝1，c＝2，从而m＝，n＝3，|m－n|＝.
答案：
3．已知非零向量a⊥b，求证：≤.
证明：∵a⊥b，∴a·b＝0.
要证≤，只需证|a|＋|b|≤|a－b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0成立，
即(|a|－|b|)2≥0，明显成立．
故原不等式得证．
4．(2021·武汉高二检测)已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA＝AD＝AB，E是线段PD上一点，G为线段PC的中点．

(1)当E为PD的中点时，求证：BD⊥CE；
(2)当＝2时，求证：BG∥平面AEC.
证明：

(1)过E作EH⊥AD，垂足为H，连接CH，则PA∥EH.
tan∠DBC＝＝，
tan∠HCD＝＝，
∴∠DBC＝∠HCD.

又∠HCD＋∠BCH＝90°，
∴∠DBC＋∠BCH＝90°，
∴BD⊥CH.
又PA∥EH，∴EH⊥平面ABCD，
∴EH⊥BD.
又EH∩CH＝H，
∴BD⊥平面ECH，
∴BD⊥CE.

(2)取PE的中点F，连接GF，BF.
∵G为PC的中点，
∴GF∥CE，
∴GF∥平面ACE.设BD交AC于点O，连接OE.
∵E为DF的中点，
∴BF∥OE，
∴BF∥平面ACE.
∵BF∩GF＝F，
∴平面BGF∥平面AEC.
又BG⊂平面BGF，∴BG∥平面AEC.