数学分析中近似计算的探讨本科毕业论文.doc

题 目： 数学分析中近似计算的探讨
姓 名：
学 号：
学 院： 数学与统计学院
专 业： 数学与应用数学
年级班级：
指导教师：

2015年 4月 18日

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论文题目:数学分析中近似计算的探讨
作者单位:数学与统计学院

2016年 4月 15日

目 录

摘要： 1
关键词： 1
引言 2
1.用微分法近似计算 3
2.利用泰勒公式求近似值 4
2.1 带有皮亚诺型余项的泰勒公式 4
2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 5
3.数列的极限近似计算 7
4.定积分的近似计算 8
4.1.矩形法 8
4.2梯形法 8
4.3抛物线法 8
5.方程的根的近似计算 10
6.幂级数展开式近似计算 11
结束语 12
参考文献 13

数学分析中近似计算的探讨
摘要：近似计算是一个比较常用且特殊的解决问题的方法，它在解决数学问题中有着重要的作用， 是获取果影响极小的结果的有力工具。在数学分析中，这种方法的运用很广泛，如在定积分中的应用、微分中的应用、函数幂级数的应用等.本文主要研究近似计算在数学分析中的应用以及用具体实例来说明对这种方法的运用. 
关键词：近似计算 数学分析 微分 函数 幂级数 定积分

Abstract：
Key words：

引言
近似计算是一种对计算的结果影响不大,但能很大程度的简化计算的过程。一直被广泛用于各个领域.在数学分析中,本文从在微分中、在定积分中、在求方程的解以及函数幂级数中的应用出发,然后分别简单介绍这几方面的一些有关内容及有关概念,并且针对近似计算在这些方面的应用列举出实例来加以解释说明这种方法的实用性,并且说明其与精确结果之间产生的误差。

1.用微分法近似计算
微分是在数学分析中的一个非常重要概念, 它所反映的是当函数自变量有非常微小变化时 , 函数大体上变化多少 ,利用微分和函数增量的关系可以进行一些近似计算。
根据微分的相关定义和其可微的充分必要条件知,当函数在点处的导数 且 非常小时,有

几因此得到如下个近似公式：
（1）
（2）
（3）
（1）(2)(3)式在近似计算中的作用：
若、容易计算时，那么
(1)式可用于近似计算函数在处的增量。
(2)式可用于近似计算函数在附近的函数值。
(3)式表明：只要充分接近函数可用线性函数 来替代。
运用上述（2）（3）公式近似计算时,选择,应有以下标准：
1.、容易计算；
2.的大小要远小于的绝对值。
例1 家里有一个铝制的半径为20cm圆片，在受热的情况下半径会增加0.03cm，求铝制圆片的面积约增加了多少?
解 铝制圆片的面积 由于的值很小，因此可以利用公式（1）得到的面积增量：

例2 求的近似值。
解 由于 ，因此取：,，
又由（2）式得

= 0.743
（sin 48°的真值为0.743144）
2.利用泰勒公式求近似值
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
2.1 带有皮亚诺型余项的泰勒公式
若函数在存在直至阶导数
特别的，若，则

其中，表示的n阶导数，多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。
2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
对于正整数，若函数在闭区间上阶连续可导，且在上阶可导。任取是一定点，则对任意成立下式：

拉格朗日（Lagrange）余项：

若，则

由以上可知泰勒公式的实质是使用一个n次多项式近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到n阶的导数。
在应用泰勒公式做计算时，往往使用带有拉格朗日型余项的泰勒展开，其余项可以具体的估计出用泰勒公式几似近似计算地表示一个函数时所产生的误差。由拉格朗日余项 可知，如果，为定值，则其余项不会超过,故可估计出近似的计算某数值的误差。
例 3 求的近似值（精确到 ）
解 由于，设将其在处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式
，其中
，令，则要使
，只需取n=3，则

例4 计算的近似计算（精度到）
解 设，则将其在处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式
，
其中
因为
所以有，，，

可见，为使精度达到，在上式子的泰勒展开式中取，此时 ，
所以
用泰勒多项式作近似计算，在精度要求不高，泰勒多项式的项数不多（如 10 项之内）的情形下，一般只考虑截断误差（由泰勒余项决定），不考虑各项的舍入误差，具体计算时，原始数据和中间数据所取的小数位数比精确度要求的小数位数多取一位，最后结果的小数位数和精确度的小数位数相同。
3.数列的极限近似计算
当一个数列收敛的时候，数列是存在极限的，有一部分数列的极限我们很容易求出，那还有一部分极限虽然存在我们却不能求出它的定值，那么这时我们就要借助近似计算进行求解.下面讲解一下定义法求解数列极限。
定义1 设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整数N,使得当时有
，
则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作
或
例5 证明
.
分析 由于
.
因此，对任给的，只要，便有
.
即当时， 成立，又由于故取
.
证 任给，取。据分析，当时有 成立。于是本题得证。
4.定积分的近似计算
在许多实际问题中，常常需要计算定积分的值。根据微分学基本定理，若‘被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只需要找到被积函数的一个原函数F(x)，就可以用牛顿-莱布尼茨公式求出定积分值。 在求定积分 的数值时，f( x) 的原函数不能用普通的初等函数表示出来。就是这样的积分．要计算这类积分，就只能借助于近似计算的思想和方法． 此时可引导学生由定积分的几何意义出发，找到适当的近似方法，下面介绍一些有关定积分近似计算的公式：
4.1.矩形法
定积分的几何意义是计算曲边梯形的面积，如果将区间[a,b]n等分，每个小区间上都是一个小的曲边梯形，用一个个小矩形代替这些小曲边梯形，然后把所有小矩形的面积加起来就近似等于整个曲边梯形的面积，这样便求出了定积分的近似值。这是矩形法的基本原理
（或）
4.2梯形法
将积分区间[a,b]n等分，用线段依次连接各分点，每段都形成一个小的直角梯形。如果用这些小直角梯形面积之和代替原来的小曲边梯形面积之和，就可求得定积分的近似值。这是梯形法的基本原理。

亦即：
4.3抛物线法
用对称轴平行于y轴的抛物线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧,从而算出定积分的近似值.这种方法称为抛物线法,也称为辛普森(Simpson)法.

即：
例4 计算定积分的近似值
解 将区间[0,1]分成十等分，各个分点上被积函数的值列表如下（取七位小数）：
表1 标题

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5

1
0.9900990
0.9615385
0.9174312
0.8620690
0.8000000

0.6
0.7
0.8
0.9
1

0.7352941
0.6711409
0.6097561
0.5524862
0.5

用矩形法计算：（取四位小数）

（或）
用梯形法计算：（取四位小数）

用抛物线法计算：（取七位小数）

用准确值

与上述近似值相比较，矩形法的结果只有一位有效数字是准确，梯形法的结果有三位有效数字是准确的，抛物线法的结果则有六位有效数字是准确的。可见抛物线法明显优于前两种。
5.方程的根的近似计算
定理1：若函数在在闭区间[a,b]上联系，且与异号，则至少存在一个点，使得，即方程，在上至少有一根。
如果我们可以求出有实根，但是不能直接求出根的具体值，这时候我们就要借助近似计算来近似计算。
满足：在[a,b]上连续，在[a,b]上及不变号.即：在[a,b]内有唯一实根。
牛顿切线法的基本思想：用切线近似代替曲线弧求近似方程根。
记纵坐标与 同号的端点为（） ，在此点做切线，其方 程为
令y=0得它与x轴的交点（），其中
再在点（）做切线，可得近似根。
如此继续下去，可得求近似根的迭代公式：
（n=1，2，...）
即牛顿迭代公式。
例5 用牛顿切线法求方程的近似解，误差不要超过0.01.
解 设 求得

可以检验为极大值点，为极小值点，并且，又因 且 所以方程有且只有一个根。
其中，因此，方程的根由于在[3，4]上，，如图所示
从点B（4，7）做切线与x轴相交于

误差计算： 而，其中m为在[3,4]上的最小值。
再在点做切线，求得

误差计算： 而。
因此达到所要求的精度。
6.幂级数展开式近似计算
以某个初等函数的幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项估计。我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及其对应的余项。

例6 求的近似值（精确到）
解 由于ln1.1=ln（1+），在幂级数展开式
中，取
得
因为第六项的值所以前五项的和作为积分的近似值，即：
结束语
近似计算是在解决复杂问题中常见且适用的一种方法,本文以对近似计算的简介及其与数学分析的联系为前提简要写出近似计算方法在数学分析中的应用.然后再用具体实例来说明在数学分析中这种方法在某些方面的应用.由于这种方法的简单、易懂,且能让人更容易接受、理解,因此这种方法在数学分析乃至整个数学领域占有了一个独特的位置
参考文献
[1] 刘燕，数学学习与研究，高等数学中近似计算思想的渗透，2012.11
[2] 张春红，黑龙江科学第5卷第7期，泰勒公式在近似计算及数值积分中的应用，2014.07
[3] 刘证，丁桂艳，鞍山科技大学学报，第26卷，第4期，关于定积分几种近似计算的误差估计，2003.08
[4] 尹德玉，陈为华，代美丽科技信息，2014年第11期
[5] 孙革，王元江，定积分的应用，大连理工大学出版，1989年
[6]
[7]
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