名师指导：圆和旋转压轴题解题技巧详细解析.doc

(完整word)名师指导：圆和旋转压轴题解题技巧详细解析
如何短时间突破期中数学压轴题
还有不到一个月的时间就要进行期中考试了,期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚.
个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法,希望能够帮到大家。
一、旋转：
纵观08年—-13年各区的期中数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转,在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。
旋转模型：

1、三垂直全等模型
三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

2、手拉手全等模型
手拉手全等基本构图：

3、等线段、共端点
（1) 中点旋转（旋转180°）（2） 等腰直角三角形（旋转90°)

（3) 等边三角形旋转(旋转60°) (4） 正方形旋转(旋转90°)

4、半角模型
半角模型所有结论：在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N。求证：

(1） BE+DF=EF;
（2) S△ABE+S△ADF=S△AEF；
(3） AH=AB；
（4) C△ECF=2AB;
(5） BM2+DN2=MN2；
(6） △DNF∽△ANM∽△AEF∽△BEM；相似比为1:（由△AMN与△AEF的高之比AO:
AH=AO：AB=1：而得到）；
（7） S△AMN=S四边形MNFE;
(8） △AOM∽△ADF，△AON∽△ABE；
(9） ∠AEN为等腰直角三角形，∠AEN=45°。(1. ∠EAF=45°；2。AE:AN=1：）

解题技巧：
1。遇中点，旋180°，构造中心对称

例:如图，在等腰中，，,在四边形中，，，为的中点，连接，．
⑴在图中画出关于点成中心对称的图形；
⑵求证:；
⑶当___________时，．

［解析］⑴如图所示;
⑵在⑴的基础上,连接
由⑴中的中心对称可知,，
∴，，，
∵
，
，
∴,
∴，∴，
∵，∴．
⑶．

2.遇90°.旋90°，造垂直；

例:请阅读下列材料：
已知：如图1在中，，,点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
⑴ 猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
⑵ 当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

［解析] ⑴
证明:根据绕点顺时针旋转得到
∴
∴,，，
在中
∵
∴
∴
即
∴
又∵
∴
∴
即
∴
∴
∴

⑵关系式仍然成立
证明:将沿直线对折，得，连
∴
∴，
，
又∵,∴
∵

∴
又∵
∴
∴，

∴
∴在中
即

3。遇60°,旋60°，造等边;
例：已知：在△ABC中,BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题：
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=;
(2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD=；
（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ACB的度数。

图1 图2 图3
解：(1）；…………………………………………1’
（2）； …………………………………………2’
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A，点C落在点E。联结AE,CE,
∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB= a，
∴△CDE为等边三角形,
∴CE=CD.…………………………………………4’

当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE〈AE+AC=a+b；
当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值,CD=CE=a+b；
此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°,∴∠ACB=120°，……………………7'
因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b。

4.遇等腰,旋顶角。
综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。
图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角模型。

二、圆
1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；
(1）特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。
构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型:
①利用垂径定理;②直接作垂线构造直角三角形；

③构造所对的圆周角；④连接圆心和切点；

（2）另外,在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角,等量代换转移进直角三角形中.
在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：

2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时;
(1）因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度,常见情形如下；

(2）圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度,常见的圆中相似情形如下：

注：圆中的中档题目，学校会留很多，在此就不放了,来两道有意思的题目.
8．如图，AB是直径，弦CD交AB于E，，．设，．
下列图象中，能表示y与x的函数关系是的（ )
1
2
2
1
O
x
y
1
2
2
1
O
x
y
1
2
2
1
O
x
y
3/2
1/2
1
2
2
1
O
x
y

A． B． C． D．
答案：A

8。 如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于、两点,点为⊙上一动点，于.当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为
A． B． C． D．
答案:B

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