圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案.doc

（2015年天津卷） 19. （本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.
(I)求直线FM的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线外一点的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB的交点为Q。
（1）求证：抛物线切点弦的方程为；
（2）求证：.

2. 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且
（1）动点N的轨迹方程；
（2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.

3. 如图，椭圆的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支上（轴上方）一点，连AP交C1于C，连PB并延长交C1于D，且△ACD与△PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.

4. 已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

5. 已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈R)
（Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

(1)求点P的轨迹方程；
(2)若,求点P的坐标.

7. 已知为椭圆的右焦点，直线过点且与双曲线的两条渐进线分别交于点，与椭圆交于点.
（I）若，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。
（II）若（为坐标原点），，求椭圆的离心率。

8. 设曲线（为正常数）与在轴上方只有一个公共点。
（Ⅰ）求实数的取值范围（用表示）；
（Ⅱ）为原点，若与轴的负半轴交于点，当时，试求的面积的最大值（用表示）。

15年高考题答案
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究 曲线的性质，考查运算求解能力，以及用函数与方程思想解决问题的能力。满分14分.
（I）解：由已知有，又由，可得.
设直线的斜率为，则直线的方程为.由已知，有+，解得.
（II）解：由（I）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去y，整理得，解得，或.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.有，解得，所以椭圆的方程为.
（III）解：设点P的坐标为，直线FP的斜率为，得，即，
与椭圆方程联立消去，整理得.又由已知，得，解得，或.
设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得

1. （1）略　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x
y
O

（2）为简化运算，设抛物线方程为，点的坐标分别为，点，直线，

一方面。要证
化斜为直后
只须证：
由于　　
另一方面，由于所以切点弦方程为：
所以　　　　　　　　　
从而　　　　　
即　　　　　　　　　　
2. （1）设动点N的坐标为（x,y），则 …………………2分
，因此，动点的轨迹方程为 ……4分
（2）设l与抛物线交于点A（x1,y1）,B(x2,y2)，当l与x轴垂直时，
则由， 不合题意，
故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由…6分
由点A，B在抛物线
又y2=4x, y=kx+b得ky2－4y+4b=0,……………………8分
所以……10分
因为解得直线l的斜率的取值范围是.………………………………………………………………12分
3. 由题意得C为AP中点，设，
把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得
解之得：
故直线PD的斜率为，直线PD的方程为
联立，故直线CD的倾斜角为90°
4. 解法一：
（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实
半轴长
又半焦距 c=2，故虚半轴长
所以 W 的方程为,
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为,
当 AB⊥x轴时,从而从而
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得

故
所以
.
又因为,所以,从而
综上,当AB⊥轴时, 取得最小值2.
解法二:
(Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则
令
则且所以

当且仅当,即时””成立.
所以的最小值是2.
5. (1)当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

即是0<k<2或2<k<4

（Ⅲ）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m

方程（2）的△>0，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为
6. (1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=，
所以椭圆的方程为
(2)由得
①
因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，
②
将①代入②，得

故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.
由(1)知，点P的坐标又满足，所以
由方程组 解得
即P点坐标为

7. 解：（I），是直线与双曲线两条渐近线的交点，
， 即………………2分
双曲线的焦距为4，……………………4分
解得， 椭圆方程为…………5分
（II）解：设椭圆的焦距为，则点的坐标为
，
直线的斜率为，直线的斜率为，
直线的方程为…………………………………………7分
由 解得 即点
设由， 得
即 ……10分。
点在椭圆上，………………………………12分
，

椭圆的离心率是。
8. （Ⅰ）由， ……①
设，则问题（Ⅰ）转化为方程①在区间上有唯一解：
①若，此时，当且仅当，即适合；
②若，则；
③若，此时，当且仅当，即时适合；若，此时，但，从而。
综上所述，当时，或；当时，。
（Ⅱ）的面积是。因为，所以有两种情形：
①当时，，由唯一性得。显然，当时，取得最小值，从而取得最大值，所以有；
②当时，，，此时。因此，有
当，即时，；当，即时，。