平面向量基本定理及相关练习(含标准答案).doc

平面向量2
预习：
1. 两个非零向量夹角的概念：已知非零向量和，作，则叫做向量和的夹角。
（1） 时，和同向；
（2） 时，和反向；
（3） 时，；
（4） 注意两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围是。
2. 两向量共线的判定
设，其中。
3. 我们都学过向量有关的哪些运算？
4. 力做的功：

讲授新课：
1. 平面向量的数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量和，他们的夹角为，我们把数量
记为：，即
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即。
2. 投影的概念：
叫做方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量。
3. 向量数量积（内积）的几何意义：
数量积等于的长度方向上的投影的乘积。
4. 两个向量数量积的性质：
设为两个非零向量
（1） =0
（2） 当和同向时，=
当和反向时，= -
特别地，
（3） ||
（4）
（5） 平面向量数量积的运算律：
已知向量，则
①=（交换律）
②
③
5. 平面两向量数量积的坐标表示：
已知两个非零向量，
两个向量数量积等于他们对应坐标的乘积的和，即。
6. 平面内两点间的距离公式：
（1）设；
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终边的坐标分别为，那么：（平面间两点的距离公式）。
7. 向量垂直的判定：
设，则
8. 两向量夹角的余弦：（）
=
例1.已知试判断的形状，并给出证明。

例2.在中，，且的一个内角为直角，求k的值。

例3.已知，则的夹角是多少？求与垂直的单位向量的坐标是多少？

例4.已知,若点在线段的中垂线上，则

例5、已知若与的夹角为锐角，求实数m的取值范围。

同步练习：
1、已知,向量与的位置关系为（ ）
A．平行 B．垂直 C．夹角为 D．不平行也不垂直
2、在中，，若为直角三角形，求实数的值。
3、已知,(1)若∥,求；(2)若与的夹角为60°，求；(3)若与垂直，求与的夹角．

4、已知，则与的夹角是
5、已知，求与的夹角。

6、已知四边形ABCD中= (6,1), =(x,y)，=(-2,-3),
(1)若∥,试探究 x与y间的关系式；
(2)满足(1)问的同时又有⊥,试求x,y的值及四边形ABCD的面积.

答案：
1. B
2. （-2或0）3.
4.45度
5.
6.（1）
（2）16

5 / 5