第七章-应力状态和强度理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 应力状态和强度理论,7-1,应力状态的概念,7-2,平面应力状态,7-3,空间应力状态,7-4,材料的破坏形式,7-5,强度理论及其应用,7-1,应力状态的概念,一、一点的应力状态,通过受力构件内某一点的各个截面上的应力分布情况称为该点的,应力状态,。,研究应力状态的方法称为,应力分析,。,二、应力状态单元体,单元体：,研究一点的应力状态时，围绕该点截取的微小正六面体。,单元体上应力分布特点,：,平行截面上正应力数值相等符号相同，正交截面上剪应力数值相等符号相反。,原始单元体,：,三组平行截面上应力均为已知。,主平面：,剪应力为零的平面。,主应力：,主平面上的正应力。,主方向,：,主应力的方位。,主单元体：,三组正交平面都是主平面的单元体。,习惯上将主,单元体上的主应力按代数值从大到小排序并约定：,1,2,3,。,三、应力状态分类,单向应力状态：,单元体三个主应力中只有一个不为零的应力状态，又称为,简单应力状态,。,二向应力状态,：,单元体上三个主应力中有两个主应力不为零的应力状态。,将单向应力状态和二向应力状态称为,平面应力状态,。,三向应力状态,：,单元体上三个主应力均不为零的应力状态，又称为,空间应力状态,。,图中三组剪应力可以不必存在或不必同时存在。,将二向应力状态和三向应力状态称为,复杂应力状态,。,四、二向和三向应力状态实例,p,F,D,m,m,n,n,p,d,D,p,N,N,l,A,【,例,7-1】,求图示锅炉壁内,A,点的应力。,1,）求炉壁横截面上,应力,2,）求炉壁纵向截面应力,l,m,m,n,n,【,解,】,因炉壁很薄，由弹性力学知沿径向应力,0,故,炉壁处于二向应力状态。,【,例,7-2】,图示薄壁球形容器壁厚为,，内径为,D,，内压为,p,。,求容器壁内的主应力。,p,F,A,A,D,O,d,D,/2,【,解,】,由于对称性，通过直径的任意截面上只有正应力且它们大小相等，故所求正应力为主应力。,主应力：,1,2,，,3,0,。,7-2,平面应力状态,一、斜截面上的应力,1.,原始单元体上应力标注,建立空间直角坐标系，使其三轴分别与原始单元体三组正交平面的法线平行，分别称这三组正交平面为,x,截面,、,y,截面,、,z,截面,。,x,x,y,y,xy,xy,yx,yx,各截面上的应力分别记为,x,、,xy,、,y,、,yx,。,z,截面为主平面且,z,0,。,O,x,y,z,n,2.,应力公式推导,设任一原始单元体的任一斜截面,AC,的外法线,n,与,x,轴正向夹角为,，称截面,AC,为,截面。,单元体,ABC,处于平面共点力系平衡状态。故：,yx,y,xy,x,A,B,C,由剪应力互等定理知：,yx,=,xy,求解得,平面应力状态单元体任意斜截面上应力公式,：,x,、,xy,、,y,均必须代入相应的符号。,从,x,轴正向到斜截面的外法线,n,，,逆时针转取正值，顺时针转取负值。,拉向正应力取正值，压向取负值；使单元体绕其上任一点顺时针转的剪应力取正值，反之取负值。,3.,例题,【,例,7-3】,求图示单元体斜截面上的应力。,x,30,n,30MPa,40MPa,60MPa,【,解,】,x,=,30MPa,xy,=-,60MPa,y,=-,40MPa,=30,代入平面应力状态单元体任意斜截面上应力公式得：,二、应力极值及其作用面,正应力极值及其作用面,将任意斜截面上的正应力公式求一阶导数并令其等于零得到正应力的极值。,正应力极值平面是剪应力恒为零的平面，是主平面，正应力极值是,主应力,。,该式确定了两个相差,90,的角,，,0,和,(,0,90,),对应着两个互相垂直的主平面，确定了两个正交主平面的法线方向，也确定了两个正交的,主方向,。,求解得：,由图示三角函数图知：,代入任意斜截面上的正应力公式得,正应力极值,：,主应力,max,的方位与原始单元体上两箭头相对的剪应力,xy,、,yx,的合矢在同一象限内。,图示单元体主应力分别为：,1,=,max,，,2,=,min,，,3,=,z,=0,。,2,0,-2,xy,x,-,y,y,x,x,y,xy,xy,yx,yx,min,min,max,max,另一个主应力,min,的方位则与,max,的方位垂直。,剪应力极值及其作用面,将任意斜截面上的剪应力公式求一阶导数并令其等于零得到剪应力的极值。,求解得,:,剪应力极值平面与主平面成,45,角，可由此直接由主平面确定剪应力极值平面，两剪应力极值平面互相垂直。,由图示三角函数关系图知：,2,1,2,xy,x,-,y,y,x,x,y,xy,xy,yx,yx,代入任意斜截面上的剪应力公式得,剪应力极值,：,max,和,min,的合矢与原始单元体剪应力,xy,、,yx,的合矢在同一象限内。,剪应力极值平面上的正应力,剪应力极值平面上正应力一般不为零，而且大小相等，符号相同。,有时称剪应力极值为,主剪应力,，剪应力极值平面称为,主剪切面,。,max,max,min,min,1,max,min,例题,【,例,7-4】,求单向拉伸时单元体斜截面上应力、应力极值及其作用面、主应力。,【,解,】,x,=,xy,=,0,y,=,0,1),任意斜截面上的应力,2),应力极值及其作用面,3),主应力,min,max,【,例,7-5】,试求纯扭转,(,纯剪切,),时原始单元体上任意斜截面上的应力、应力极值及其作用面、主应力。,【,解,】,x,=,0,xy,=,y,=,0,1),任意斜截面上应力,2),应力极值,3),主应力,max,min,【,例,7-6】,试用应力分析方法定性比较塑性材料与脆性材料的拉伸、压缩和扭转破坏性能。,bt,b,bc,s,s,bt,b,s,s,45,最大正应力,0,最大剪应力,0,最大剪应力,45,最大正应力,45,断裂时,0,未断裂,0,断裂时,45,未断裂,b,bc,s,s,45,最大剪应力,0,最大正应力,45,最大剪应力,0,最大正应力,45,断裂时,0,未断裂,45,出现滑痕时,0,未出现滑痕,bt,b,s,s,0,最大正应力,45,最大剪应力,45,最大剪应力,0,最大正应力,0,断裂时,45,未断裂,45,出现滑痕时,0,未出现滑痕,总 结,结论,原因,现象,扭,转,结论,原因,现象,压,缩,结论,原因,现象,拉,伸,脆 性 材 料,塑 性 材 料,材料,实验,【,例,7-7】,求单元体的主平面、主应力、主剪切面、主剪应力、主剪切面上的正应力，并画出主单元体。,【,解,】,x,=,30MPa,xy,=,-60MPa,y,=,-50MPa,1),主平面：,2),正应力极值：,60MPa,30MPa,50MPa,4),主剪应力：,5),主剪切面上正应力：,6),画主单元体。,y,x,x,y,xy,xy,yx,yx,3,3,1,1,0,主应力,1,=62MPa,，,2,=0,，,3,=,-,82MPa,3),主剪切面：,*三、应力分析的图解法,1.,应力圆方程,从平面应力状态单元体任意斜截面上的应力公式中消去参数,2,得,应力圆方程,为：,它代表在以,为横坐标、,为纵坐标的平面直角坐标系中，以 为圆心、为半径的一个圆。圆周上的点 对应着原始单元体上的一个斜截面上的应力。,yx,y,2.,应力圆,(,莫尔圆,),画法,以,为横轴、,为纵轴作,-,直角坐标系，并规定适当的比例；,由原始单元体,x,截面、,y,截面上的应力,(,x,xy,),、,(,y,yx,),在,-,直角坐标系中作出对应的基准点,D,x,(,x,xy,),、,D,y,(,y,yx,),；,连接点,D,x,、,D,y,交,轴于点,C,，,C,即为应力圆的圆心 ；,以,C,为圆心、为直径作圆。,O,xy,x,D,x,D,y,(,x,+,y,)/2,C,yx,y,O,xy,x,D,x,D,y,(,x,+,y,)/2,C,2,0,2,1,2,B,1,B,2,3.,原始单元体上斜截面与应力圆的对应关系,原始单元体斜截面,角参考位置为,x,轴，应力圆上,D,(,),点参考位置为,D,x,(,x,xy,),点；,原始单元体上,截面上的应力与应力圆上,同方向,转动,2,圆心角对应点,D,(,),的应力相等；,左右顶点,A,1,、,A,2,对应着原始单元体的主应力，,D,x,(,x,xy,),点顺时针转动了,2,0,圆心角且,上下顶点,B,1,、,B,2,对应着原始单元体的主剪应力，,D,x,(,x,xy,),点逆时针转动了,2,1,圆心角且,A,2,A,1,D,yx,y,O,xy,x,D,x,D,y,(,x,+,y,)/2,C,2,0,2,1,2,B,1,B,2,A,2,A,1,D,正应力极值：,剪应力极值：,剪应力极值平面上的正应力：,7-3,空间应力状态,一、剪应力最大值及其作用面,设任意空间应力状态的单元体的三个主应力按其代数值大小规定,1,2,3,。,剪应力最大值面上的正应力,1,1,2,2,3,3,1,max,1,剪应力最大值,二、广义虎克定律,1.,主单元体广义虎克定律,x,x,y,y,z,z,空间应力状态主单元体可视为三个单向应力状态单元体的组合。,x,x,在,x,单独作用下主单元体沿三个方向的线应变：,y,y,在,y,单独作用下主单元体沿三个方向的线应变：,z,z,在,z,单独作用下主单元体沿三个方向的线应变：,将三个方向线应变叠加,(,i,=,x,y,z,),主单元体的广义虎克定律：,2.,复杂应力状态的广义虎克定律,最复杂的应力状态单元体可视为三个单向应力状态单元体和三个纯剪切应力状态单元体的组合，根据线性叠加原理可得到,复杂应力状态的广义虎克定律：,事实上，对于同一种各向同性材料，上述三个弹性常数,E,、,、,G,并不完全独立，其关系为：,7-4,材料的破坏形式,一、材料破坏的基本形式,脆性断裂,脆性材料,塑性屈服,塑性材料,金属材料具有两种抵抗破坏的能力：抵抗脆性断裂的极限抗力，抵抗塑性屈服的极限抗力。,一般来说，脆性材料对塑性屈服的极限抗力大于其脆性断裂的极限抗力，塑性材料对脆性断裂的极限抗力大于其对塑性屈服的极限抗力。,材料在受力后是否破坏，取决于构件的应力是否超过材料的极限抗力。,二、应力状态对材料破坏形式的影响,压应力本身不能造成材料的破坏，而是由它所引起的剪应力等因素在对材料的破坏起作用；,此外，变形速度和温度等对材料的破坏形式也有较大影响。,构件内的剪应力将使材料产生塑性变形；,在三向压应力状态下，脆性材料也会发生塑性变形；,拉应力则易于使材料产生脆性断裂；,三向拉伸应力状态使材料发生脆性断裂的倾向最大。,7-5,强度理论及其应用,一、强度理论的概念,简单应力状态下建立的强度条件不适合于复杂应力状态，需要建立复杂应力状态下材料失效所遵循的共同假说，即,强度理论,。,二、经典强度理论及其强度条件,强度条件,根据不同强度理论建立的复杂应力状态的,相当应力,。,它是主应力,1,、,2,、,3,的某种组合运算式，下标,i,(,i,=1,，,2,，,3,，,4),与相应的强度理论相对应；,根据简单拉伸或压缩试验确定的材料的,许用应力,。,1.,最大拉应力理论,(,第一强度理论,),该理论认为使材料发生脆性断裂的主要原因是其最大主应力,max,1,达到了某一极限值,u,。,该理论较适合于脆性材料，对于复杂应力状态特别是塑性材料的屈服破坏该理论不适合。,2.,最大伸长线应变理论,(,第二强度理论,),该理论认为使材料发生脆性断裂的主要原因是其最大线应变,max,1,达到了某一极限值,u,。,该理论考虑了三个主应力的共同影响，曾被广泛应用。但它不仅与塑性屈服破坏结果不符，还与脆性材料在双向拉伸或三向压缩试验结果不尽相同，故一般只用于脆性材料。,3.,最大剪应力理论,(,第三强度理论,),该理论认为使材料发生塑性屈服的主要原因是其最大剪应力,max,达到了某一极限值,u,。,该理论与许多试验结果比较吻合，特别适合于塑性材料。它不仅能说明塑性材料的屈服破坏，还能解释脆性材料的剪切破坏,(,如铸铁试样在压缩时沿,45,斜截面剪断,),，但该理论没有考虑主应力,2,的影响，与三向均匀拉伸试验结果不符，对脆性材料单向拉伸和压缩时极限应力值不同的问题也无法解释。,4.,形状改变比能理论,(,第四强度理论,),该理论认为使材料发生塑性屈服的主要原因是其形状改变比能达到了某一极限值,。,三、强度理论的应用,1.,强度理论选用的一般原则,既要考虑材料性质，又要考虑单元体所处应力状态。,一般情况下，脆性材料多发生脆性断裂，应选用第一或第二强度理论；,塑性材料多发生塑性屈服，选用第三或第四强度理论。,对脆性材料，在双向拉伸应力状态下，应选用第一强度理论；在三向拉伸应力状态下，无论是脆性材料还是塑性材料都会发生脆性断裂破坏，宜选用第一强度理论。但对塑性材料，由于单向拉伸试验得不到其脆断的极限应力，一般对,作相应的调整。,低碳钢等常用工程塑性材料在受力和结构较简单情况下，可选用第四强度理论；对于受力和结构均较复杂情况，宜选用第三强度理论。,在三向压缩应力状态下，不论是脆性材料还是塑性材料，常呈现塑性屈服，一般选用第四强度理论，此时脆性材料的许用应力,应作适当的调整。,2.,解题步骤,求危险点处原始单元体的正应力极值，确定主应力,1,、,2,、,3,；,选合适的强度理论，确定对应的相当,应力,eqi,；,建立强度条件，计算强度。,3.,例题,【,例,7-8】,一正方体钢块，体积为,10 10 10mm,3,，放在图示刚性槽内，钢块顶部受均匀压力作用，压力合力大小为,15kN,。已知钢块的泊松比,=0.33,，许用应力,=160MPa,，试校核钢块的强度。,x,x,y,y,【,解,】1),求单元体的主应力,取钢块内任一原始单元体，其应力分布情况如图示。,P,y,方向受压力,P,作用，则：,x,x,y,y,z,方向无外力，则,x,方向刚性槽约束，则,由广义虎克定律得：,因不计摩擦，故各截面无剪应力，所取单元体为主单元体，钢块承受的主应力为：,2),钢块是塑性材料，选用第三、第四强度理论校核强度,第三强度理论：,P,第四强度理论：,符合强度要求。,【,例,7-9】,从某塑性构件的危险点取出一单元体如图示。已知材料的屈服应力,s,=280,MPa,。试按第三、第四强度理论计算构件的工作安全系数。,【,解,】1,）写原始单元体上的应力,x,=,100MPa,，,xy,=,-40MPa,，,y,=,-80MPa,，,z,=,150MPa,2,）求,xy,平面正应力极值,3,）写主应力,1,=,150MPa,，,2,=,108.5MPa,，,3,=,-88.5MPa,40MPa,150MPa,100MPa,z,y,x,80MPa,4,）求安全系数,显然，第三强度理论较第四强度理论保守一些。,【,例,7-10】,试由单向拉伸许用正应力,导出纯剪切状态下的许用剪应力,。,【,解,】1,、确定单元体,纯剪切,时的主应力,由,【,例,7-5】3,）知：,2,、根据强度理论计算相当应力、写强度条件,1,）对于塑性材料，选用第三、第四强度理论,即,即,故,2,）对于脆材料，选用第一、第二强度理论,即,即,故,【,例,7-11】,写出平面,剪切弯曲,塑性梁的强度条件。,【,解,】1),确定单元体主应力。,x,=,xy,=,y,=,0,2),塑性材料，选用第三、第四强度理论,上述二式亦适用于,拉压,(,弯曲,)/,扭转、拉压,(,弯曲,)/,剪切,组合变形塑性梁强度计算。,【,例,7-11】,图示轴长为,l,，直径为,d,，受主动力,P,作用。,1,）画出,A,、,B,、,C,、,D,四点处单元体的应力状态；,2,）写出这四点与第,3,强度理论相对应的相当应力,eq,3,。,A,B,C,D,【,解,】1,）利用力的平移原理将,P,向,O,点简化。,m,=0.5,Pd,P,2,）,A,点的应力有弯曲引起的正应力,A,和扭转引起的剪应力,AN,。,应力状态单元体为,P,相当应力为,A,A,AN,3,）,B,点的应力有剪切引起的剪应力,BJ,和扭转引起的剪应力,BN,。,应力状态单元体为,4,）,C,点的应力有弯曲引起的正应力,C,和扭转引起的剪应力,CN,。,应力状态单元体为,A,B,C,D,m,=0.5,Pd,P,相当应力为,B,BJ,BN,C,C,CN,5,）,D,点的应力有剪切引起的剪应力,DJ,和扭转引起的剪应力,DN,。,应力状态单元体为,相当应力为,相当应力为,D,DJ,DN,A,B,C,D,m,=0.5,Pd,P,