高中数学模块复习2数列讲义新人教版B.ppt

,-,*,-,1,.,1,.,1,正弦定理,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,第,2,课时,数列,知识网络,要点梳理,思考辨析,知识网络,要点梳理,思考辨析,1,.S,n,与,a,n,的关系,2,.,等差数列与等比数列的定义式,当,n,2,时,数列,a,n,满足,a,n,-a,n-,1,=d,(,常数,),等差数列,;,_,等比数列,.,3,.,等差、等比数列的通项公式,(1),等差数列,:,a,n,=,a,1,+,(,n-,1),d,a,n,=,a,m,+,(,n-m,),d,.,(2),等比数列,:,a,n,=,a,1,q,n-,1,(,q,0),a,n,=,a,m,q,n-m,(,q,0),.,4,.,等差数列、等比数列的性质,若,m+n,=,p+q,则,(1),在等差数列中,a,m,+a,n,=,a,p,+a,q,.,(2),在等比数列中,a,m,a,n,=,a,p,a,q,.,知识网络,要点梳理,思考辨析,5,.,等差中项与等比中项,(1),若,a,b,c,成等差数列,则,2,b=,a+c,.,(2),若,a,b,c,成等比数列,则,b,2,=,ac,.,6,.,等差数列、等比数列的前,n,项和公式,7,.,等差数列、等比数列前,n,项和的性质,(1),等差数列中,S,n,S,2,n,-S,n,S,3,n,-S,2,n,仍成,等差数列,.,(2),等比数列中,S,n,S,2,n,-S,n,S,3,n,-S,2,n,仍成,等比数列,.,知识网络,要点梳理,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),数列,a,n,和集合,a,1,a,2,a,3,a,4,a,n,是一回事,.,(,),(2),一个确定的数列,它的通项公式只有一个,.,(,),(3),若数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,对任意的,n,N,+,都有,a,n,=S,n,-S,n-,1,.,(,),(4),等差数列的单调性是由公差决定的,.,(,),(5),等差数列的前,n,项和公式是常数项为,0,的二次函数,.,(,),(6),若对任意,n,N,+,都有,2,a,n+,1,=a,n,+a,n+,2,成立,则数列,a,n,一定为等差数列,.,(,),知识网络,要点梳理,思考辨析,答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),专题归纳,高考体验,专题一,求数列的通项公式,【例,1,】,(1),等差数列,a,n,是递增数列,前,n,项和为,S,n,且,a,1,a,3,a,9,成等比数列,.,求数列,a,n,的通项公式,.,(2),已知在数列,a,n,中,a,1,=,1,且,a,n+,1,-a,n,=,3,n,-n,求数列,a,n,的通项公式,.,(3),已知在数列,a,n,中,前,n,项和,S,n,与,a,n,的关系是,S,n,=n,(2,n-,1),a,n,求,a,n,.,思路点拨,:,(1),本题已知,a,n,是等差数列,可建立首项和公差的方程,通过解方程来求得首项和公差,再代入通项公式得其解,.,(2),由于本题给出了数列,a,n,中连续两项的差,故可考虑用累加法求解,.,(3),此题已知,S,n,与,a,n,的关系,应想到使用,S,n,法,然后得到相邻两项比的等式满足,a,n,=a,n-,1,f,(,n,),这种模型,因此使用迭乘法求解,.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,反思感悟,数列的通项是数列的重要内容之一,只要有数列的通项公式,许多问题便可迎刃而解,.,如果一个数列是等差数列或等比数列,那么可直接写出其通项公式,而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解,.,专题归纳,高考体验,变式训练,1,(1),设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,=,2,n,2,b,n,为等比数列,且,a,1,=b,1,b,2,(,a,2,-a,1,),=b,1,.,求数列,a,n,和,b,n,的通项公式,.,(2),在数列,a,n,中,a,1,=,1,a,n+,1,=a,n,+,1,求数列,a,n,的通项公式,.,解,:,(1),当,n=,1,时,a,1,=S,1,=,2;,当,n,2,时,a,n,=S,n,-S,n-,1,=,2,n,2,-,2(,n-,1),2,=,4,n-,2,当,n=,1,时也适用,故,a,n,的通项公式为,a,n,=,4,n-,2,.,设,b,n,的公比为,q,则,b,2,(,a,2,-a,1,),=b,1,qd=b,1,又,d=,4,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题二,等差数列、等比数列的判定与证明,【例,2,】,数列,a,n,满足,a,1,=,1,na,n+,1,=,(,n+,1),a,n,+n,(,n+,1),n,N,.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题三,数列求和的常用方法,思路点拨,:,(1),可以两项并一项处理,然后转化为特殊数列求和,.,(2),本题通项公式为,是一个指数式和一个一次式的和组成的,可以选择拆项分组求和法,.,(3),运用取倒数配常数法,(,根据目标,);,先利用错位相减法求,T,n,再利用分类讨论思想确定,的取值范围,.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,反思感悟,数列的求和问题是数列中的重要问题,需要掌握一些简单数列的求和方法,并应用数列求和解决一些数列问题,数列的求和常用的方法有,:(1),公式法,(,即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解,);(2),并项转化求和法,;(3),倒序相加法,;(4),错位相减法,;(5),裂项相消法,;(6),分组转化法,(,即把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化为等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列的求和公式求解,),.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题四,数列与数学思想,【例,4,】,(1),等差数列,a,n,的首项为,a,1,=,14,前,n,项和为,S,n,若,S,3,=S,5,则当,n=,时,S,n,最大,.,(2),已知在等差数列,a,n,中,a,1,+a,5,=,26,a,1,+a,5,-S,3,=,5,则,a,20,=,S,20,=,.,(3),某等差数列前,4,项之和为,-,4,最后,4,项之和为,36,且所有项的和为,36,则此数列共有,项,.,(4),已知等比数列,a,n,是一个公比为,q,的递增数列,且,a,5,=a,a,9,=,则该数列的首项,a,1,0,.,(,填,“,”,或,“,”),专题归纳,高考体验,思路点拨,:,(1),本题利用了等差数列前,n,项和具有的二次函数性质,等差数列前,n,项和的最值问题经常借助求解二次函数最值的方法来解决,.,(2),等差,(,比,),数列的有关问题大都可以通过建立关于,a,1,d,(,q,),的方程组求解,.,(3),解题时,分析已知条件与所求问题的联系,把,a,1,+a,2,+a,3,+a,4,以及,a,n,+a,n-,1,+a,n-,2,+a,n-,3,看成一个整体,灵活运用整体思想,.,(4),当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论,.,在本题中,由于等比数列的增减性与,a,1,q,相关,所以应对,q,的取值进行讨论,.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,答案,:,(1)4,(2)115,1 160,(3)9,(4),0,解得,q=,2,.,所以,b,n,=,2,n,.,由,b,3,=a,4,-,2,a,1,可得,3,d-a,1,=,8,.,由,S,11,=,11,b,4,可得,a,1,+,5,d=,16,联立,解得,a,1,=,1,d=,3,由此可得,a,n,=,3,n-,2,.,所以,数列,a,n,的通项公式为,a,n,=,3,n-,2,数列,b,n,的通项公式为,b,n,=,2,n,.,专题归纳,高考体验,(2),设数列,a,2,n,b,2,n-,1,的前,n,项和为,T,n,由,a,2,n,=,6,n-,2,b,2,n-,1,=,2,4,n-,1,有,a,2,n,b,2,n-,1,=,(3,n-,1),4,n,故,T,n,=,2,4,+,5,4,2,+,8,4,3,+,+,(3,n-,1),4,n,4,T,n,=,2,4,2,+,5,4,3,+,8,4,4,+,+,(3,n-,4),4,n,+,(3,n-,1),4,n+,1,上述两式相减,得,-,3,T,n,=,2,4,+,3,4,2,+,3,4,3,+,+,3,4,n,-,(3,n-,1),4,n+,1,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,11,.,(2016,课标全国卷,理,17),S,n,为等差数列,a,n,的前,n,项和,且,a,1,=,1,S,7,=,28,.,记,b,n,=,lg,a,n,其中,x,表示不超过,x,的最大整数,如,0,.,9,=,0,lg 99,=,1,.,(1),求,b,1,b,11,b,101,;,(2),求数列,b,n,的前,1 000,项和,.,解,:,(1),设,a,n,的公差为,d,据已知有,7,+,21,d=,28,解得,d=,1,.,所以,a,n,的通项公式为,a,n,=n.,b,1,=,lg,1,=,0,b,11,=,lg,11,=,1,b,101,=,lg,101,=,2,.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,13,.,(2017,山东高考,文,19),已知,a,n,是各项均为正数的等比数列,且,a,1,+a,2,=,6,a,1,a,2,=a,3,.,(1),求数列,a,n,的通项公式,;,(2),b,n,为各项非零的等差数列,其前,n,项和为,S,n,.,已知,S,2,n+,1,=b,n,b,n+,1,求数列,的前,n,项和,T,n,.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,考点四,数列创新探究题型,14,.,(2017,江苏高考,19),对于给定的正整数,k,若数列,a,n,满足,:,a,n-k,+a,n-k+,1,+,+a,n-,1,+a,n+,1,+,+a,n+k-,1,+a,n+k,=,2,ka,n,对任意正整数,n,(,nk,),总成立,则称数列,a,n,是,“,P,(,k,),数列,”,.,(1),证明等差数列,a,n,是,“,P,(3),数列,”;,(2),若数列,a,n,既是,“,P,(2),数列,”,又是,“,P,(3),数列,”,证明,a,n,是等差数列,.,证明,:,(1),因为,a,n,是等差数列,设其公差为,d,则,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d,从而,当,n,4,时,a,n-k,+a,n+k,=a,1,+,(,n-k-,1),d+a,1,+,(,n+k-,1),d=,2,a,1,+,2(,n-,1),d=,2,a,n,k=,1,2,3,所以,a,n-,3,+a,n-,2,+a,n-,1,+a,n+,1,+a,n+,2,+a,n+,3,=,6,a,n,因此等差数列,a,n,是,“,P,(3),数列,”,.,专题归纳,高考体验,(2),数列,a,n,既是,“,P,(2),数列,”,又是,“,P,(3),数列,”,因此,当,n,3,时,a,n-,2,+a,n-,1,+a,n+,1,+a,n+,2,=,4,a,n,当,n,4,时,a,n-,3,+a,n-,2,+a,n-,1,+a,n+,1,+a,n+,2,+a,n+,3,=,6,a,n,.,由,知,a,n-,3,+a,n-,2,=,4,a,n-,1,-,(,a,n,+a,n+,1,),a,n+,2,+a,n+,3,=,4,a,n+,1,-,(,a,n-,1,+a,n,),.,将,代入,得,a,n-,1,+a,n+,1,=,2,a,n,其中,n,4,所以,a,3,a,4,a,5,是等差数列,设其公差为,d.,在,中,取,n=,4,则,a,2,+a,3,+a,5,+a,6,=,4,a,4,所以,a,2,=a,3,-d,在,中,取,n=,3,则,a,1,+a,2,+a,4,+a,5,=,4,a,3,所以,a,1,=a,3,-,2,d,所以数列,a,n,是等差数列,.,