高等数学总习题及答案.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,10 十一月 2026,高等数学总习题及答案,第一章 习题课,本章内容小结,本章题型小结,作业问题,总复习题一,课堂练习,第一章 函数与极限,本章内容小结,函数,极限,连续,概念,性质,计算法,法则、准则,无穷小的性质,定义、左右极限,重要极限,等价代换,连续性,概念,性质,（函数,基本初等函数,初等函数）,基本结论,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,题型小结,极限的计算,有关函数概念的命题,求定义域；有界性、奇偶性、单调性分析、复合函数,等。,连续性的讨论,分段函数连续性的讨论；判别间断点的类型,其他,无穷小的比较；,方程的根的分析,等。,用定义证明极限；,不定式的极限；,分段函数的极限,等。,解:,设,从而 于是,要使 只要 于是取,当 时,问 等于多少,则当,时,1.习题,13，p38.3,是否唯一？,2.,习题,14，P42，6,分析：,有界,？,取,取,无界,解,：,不是无穷大,分析,是无穷大,2.,习题,14，P42，6,3.习题14，p42，7,证明：函数 在区间 上无界，但这函数不是 时的无穷大。,，,证明：,上总能找到点,.,),(,0,M,x,y,当,k,充分大时，,函数 在区间 上无界,3.习题14，p42，7,证明：函数 在区间 上无界，但这函数不是 时的无穷大。,当,k,充分大时，但,但函数不是 时的无穷大。,.,),(,1,M,x,y,无论正数 多小，总能找到这样的点 ，,使 但是,=,2,4.习题16，p56，4,(3),数列 的极限存在。,证明：,(),数列 有界。用数学归纳法，,(),数列 单调递增。,由极限存在准则,2,知：,你能求出,A,的值吗？,4.习题16，p56，4,(4),证明：,讨论：,当 时，,当 时，,对于上述两种不同的情况，分别应用夹逼准则，即可得出结论。,5.习题16，p56，4,(5),证明：,函数 表示不超过 的最大整数。,利用夹逼准则，得,利用消去零因子求极限,(9,),解：,利用消去零因子求极限,(10,),解一：,解二：,利用第一重要极限求极限,习题19，p69，3,(6,),解：,6.利用第二重要极限求极限,习题19，p69，4,(5),解：,7.利用无穷小代换求极限,习题19，p69，4,(6),解：,总习题一,3.选择以下题中给出的四个结论中有一个正确的结论：,设 ，则当 时，有（）,(,A,),与,x,是等价无穷小,(,B,),与,x,同阶但非等价无穷小,(,C,),是比,x,高阶的无穷小,(,D,),是比,x,低阶的无穷小,B,解：,5.,设,5.,设,解：,7、把半径为R的一圆形铁片，自中心处剪去中心角为a的一扇形围成一无底圆锥，试将这圆锥的体积表为a的函数,解：所求体积为V，则，圆锥的底圆半径,圆锥的高：,解：原式,9.,9.,(5),解：,0,9.(6),利用第二重要极限求极限,0,11.,解,：,0，,11.,证明,证明,：因,且,故由,数列极限的夹逼定理,：,14.,如果存在直线 ，使得当,时，曲线,y=f,(,x,)上的动点,M,(,x,y,),到直线,L,的距离,d,(,M,L,)0,则称,L,为曲线,y=f,(,x,),的渐近线。当直线,L,的斜率,K,0,时，称,L,为,斜渐近线,(1)证明：直线,L,:,y,=,kx,+,b,为曲线,y,=,f,(,x,)的渐近线的充要条件是,(2),求曲线 的斜渐近线。,x,o,L,M,P,C,N,y=,f,(,x,),y=,kx+b,y,y,x,o,L,M,P,C,N,y=,f,(,x,),y=,kx+b,(1),证明：先证,必要性,已知直线,L,:,y,=,kx,+,b,为曲线,y,=,f,(,x,),的渐近线,为了确定它，就必须求,出其中的常数,k,与,b。,为此，观察,曲线上动点,P,到渐近线的距离。,根据渐近线的定义，当 时，,从而由(1)式应有,或,又由,得到,于是，若曲线,y,=,f,(,x,)有斜渐近线,y,=,kx+b,则其中常数,k,与,b,，可由(4)式、(3)式来确定。,充分性,略。,由此可知，求曲线的斜渐近线问题就化为求,(4)、(3),两式的 极限问题。,解略。(,y,=2,x,+1),(2),求曲线 的斜渐近线。,1.举例说明“分段函数一定不是初等函数”这种说法是不对的？,解：,分段函数,就是初等函数。,Why,？,与,因为,是表示同一个函数。,又因,为初等函数，所以此函数为初等函数。,课堂练习,例2,用重要极限2；,而,解：,练习题,2、,