2019届江苏专用高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积讲义.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),5.2平面向量的数量积,1.,(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与的夹角,为,且tan,=7,与的夹角为45,.若=,m,+,n,(,m,n,R),则,m,+,n,=,.,A,组 自主命题,江苏卷题组,五年高考,答案,3,解析,本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识.,解法一:tan,=7,0,cos,=,sin,=,与的夹角为,=,=,m,+,n,|=|=1,|=,=,又与的夹角为45,=,=,又cos,AOB,=cos(45,+,)=cos,cos 45,-sin,sin 45,=,-,=-,=|,|,|cos,AOB,=-,将其代入得,m,-,n,=,-,m,+,n,=1,两式相加得,m,+,n,=,所以,m,+,n,=3.,解法二:过,C,作,CM,OB,CN,OA,分别交线段,OA,OB,的延长线于点,M,N,则=,m,=,n,由正弦定理得,=,=,|,|=,由解法一知,sin,=,cos,=,|,|=,=,=,|,|=,=,=,又=,m,+,n,=+,|=|=1,m,=,n,=,m,+,n,=3.,2.,(2014江苏,12,5分,0.49)如图,在平行四边形,ABCD,中,已知,AB,=8,AD,=5,=3,=2,则,的值是,.,答案,22,解析,解法一:,=(,+,)(+),=,=,-,+,=25-,64-,=13-,=2,故,=22.,解法二:以,A,为坐标原点,AB,边所在直线为,x,轴,建立直角坐标系,则,B,(8,0),设,DAB,=,则,D,(5cos,5sin,),因为=3,所以,P,(5cos,+2,5sin,),从而,=(5cos,+2,5sin,),=(5cos,-6,5sin,),因为,=2,所以(5cos,+2,5sin,)(5cos,-6,5sin,)=2,解得cos,=,因此,=8,5,=22.,解后反思,几何图形中的向量运算问题,正确选取基底是解题的关键.若几何图形是规则图形,则可建立坐标系,利用坐标运算更简单.,3.,(2016江苏,13,5分,0.073)如图,在,ABC,中,D,是,BC,的中点,E,F,是,AD,上的两个三等分点,=,4,=-1,则,的值是,.,答案,解析,解法一:,=,=(,+,)(,-,),=,-,同理,=,-,=,-,因为,E,F,是,AD,上的两个三等分点,所以,=9,=4,由-可得8,=5,即,=,.,由可得,=,+3,=-1+,=,.,解法二:由已知可得,=,+,=,+,=,-,=,(,-,)-,(,+,)=,-,=,+,=,+,=,-,=,(,-,)-,(,+,)=,-,=,+,=,+,=,(,-,)-,(,+,),=,-,=,+,=,+,=,(,-,)-,(,+,),=,-,因为,=4,所以,=4,则,=,-,=,-,-,+,=,-,(,+)=,4-,(,+)=-1,所以,+=,从而,=,-,=-,-,+,=-,(,+)+,=-,+,4=,=,.,4.,(2015江苏,14,5分)设向量,a,k,=,(,k,=0,1,2,12),则,(,a,k,a,k,+1,)的值为,.,答案,9,解析,由,a,k,=,(,k,=0,1,2,12)得,a,k,+1,=,(,k,=,0,1,2,11),故,a,k,a,k,+1,=,cos,sin,+cos,cos,sin,+cos,=cos,cos,+,sin,+cos,=cos,cos,+sin,sin,+sin,cos,+cos,sin,+cos,cos,=cos,+sin,+cos,=cos,+sin,+,cos,cos,-,sin,=cos,+sin,+,-,sin,=,+sin,+,cos,-,sin,=,+,sin,+,cos,+,cos,-,sin,=,+,sin,+,cos,=,+,sin,其中cos,=,sin,=,.,所以,(,a,k,a,k,+1,),=,+,+,+,sin,+,+,=12,=9,.,考点一长度与角度问题,1.,(2017课标全国理,13,5分)已知向量,a,b,的夹角为60,|,a,|=2,|,b,|=1,则|,a,+2,b,|=,.,B组,统一命题,省(区、市)卷题组,答案,2,解析,本题考查向量数量积的计算.,由题意知,a,b,=|,a,|,b,|cos 60,=2,1,=1,则|,a,+2,b,|,2,=(,a,+2,b,),2,=|,a,|,2,+4|,b,|,2,+4,a,b,=4+4+4=12.,所以|,a,+2,b,|=2,.,2.,(2016课标全国理,3,5分)已知向量,=,=,则,ABC,=,.,答案,30,解析,cos,ABC,=,=,所以,ABC,=30,.,3.,(2016北京,9,5分)已知向量,a,=(1,),b,=(,1),则,a,与,b,夹角的大小为,.,答案,解析,cos=,=,=,a,与,b,夹角的大小为,.,4.,(2015重庆改编,6,5分)若非零向量,a,b,满足|,a,|=,|,b,|,且(,a,-,b,)(3,a,+2,b,),则,a,与,b,的夹角为,.,答案,解析,(,a,-,b,)(3,a,+2,b,),(,a,-,b,)(3,a,+2,b,)=0,3|,a,|,2,-,a,b,-2|,b,|,2,=0,3|,a,|,2,-|,a,|,b,|cos-2|,b,|,2,=0.,又|,a,|=,|,b,|,|,b,|,2,-,|,b,|,2,cos-2|,b,|,2,=0.cos=,.0,=,.,5.,(2015湖北,11,5分)已知向量,|=3,则=,.,答案,9,解析,=0,即(-)=0,=,=9.,6.,(2014江西,14,5分)已知单位向量,e,1,与,e,2,的夹角为,且cos,=,向量,a,=3,e,1,-2,e,2,与,b,=3,e,1,-,e,2,的夹角为,则cos,=,.,答案,解析,a,b,=(3,e,1,-2,e,2,)(3,e,1,-,e,2,)=9+2-9,1,1,=8.,|,a,|,2,=(3,e,1,-2,e,2,),2,=9+4-12,1,1,=9,|,a,|=3.,|,b,|,2,=(3,e,1,-,e,2,),2,=9+1-6,1,1,=8,|,b,|=2,cos,=,=,=,.,评析,本题考查了向量的基本运算和夹角公式.计算失误是造成错解的主要原因.正确得出|,a,|、,|,b,|是求解的关键.,考点二数量积的综合应用,1.,(2017课标全国文,13,5分)已知向量,a,=(-2,3),b,=(3,m,),且,a,b,则,m,=,.,答案,2,解析,a,b,a,b,=0,又,a,=(-2,3),b,=(3,m,),-6+3,m,=0,解得,m,=2.,2.,(2017课标全国理改编,12,5分)已知,ABC,是边长为2的等边三角形,P,为平面,ABC,内一点,则,(,+)的最小值是,.,答案,-,解析,设,BC,的中点为,D,AD,的中点为,E,则有,+=2,则,(,+)=2,=2(,+,)(,-,),=2(,-,).,而,=,=,当,P,与,E,重合时,有最小值0,故此时,(,+,)取最小值,最小值为-2,=-2,=-,.,方法总结,在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用,=,-,可快,速求出最值.,一题多解,以,AB,所在直线为,x,轴,AB,的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则,A,(-1,0),B,(1,0),C,(0,),设,P,(,x,y,),取,BC,的中点,D,则,D,.,(,+,)=2,=2(-1-,x,-,y,),=2,=2,.,因此,当,x,=-,y,=,时,(,+,)取得最小值,为2,=-,.,3.,(2017北京文,12,5分)已知点,P,在圆,x,2,+,y,2,=1上,点,A,的坐标为(-2,0),O,为原点,则,的最大值为,.,答案,6,解析,解法一:,表示,在方向上的投影与|的乘积,当,P,在,B,点时,有最大值,此时,=2,3=6.,解法二:设,P,(,x,y,),则,=(2,0)(,x,+2,y,)=2,x,+4,由题意知-1,x,1,x,=1时,取最大值6,的最大值为6.,4.,(2017天津理,13,5分)在,ABC,中,A,=60,AB,=3,AC,=2.若,=2,=,-,(,R),且,=-4,则,的值为,.,答案,解析,本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积.,如图,由,=2,得,=,+,所以,=,(,-,)=,-,+,-,又,=3,2,cos 60,=3,=9,=4,所以,=,-3+,-2=,-5=-4,解得,=,.,思路分析,根据,=2,得,=,+,利用,=-4以及向量的数量积建立关于,的方,程,从而求得,的值.,一题多解,以,A,为原点,AB,所在的直线为,x,轴建立平面直角坐标系,如图,因为,AB,=3,AC,=2,A,=60,所以,B,(3,0),C,(1,),又,=2,所以,D,所以,=,而,=,-,=,(1,)-,(3,0)=(,-3,),因此,=,(,-3)+,=,-5=-4,解得,=,.,5.,(2017浙江改编,10,5分)如图,已知平面四边形,ABCD,AB,BC,AB,=,BC,=,AD,=2,CD,=3,AC,与,BD,交,于点,O,.记,I,1,=,I,2,=,I,3,=,则,I,1,I,2,I,3,的大小关系为,.(用“”连接),答案,I,3,I,1,I,2,解析,解法一:因为,AB,=,BC,AB,BC,BCO,=45,.过,B,作,BE,AC,于,E,则,EBC,=45,.因为,AD,45,又,BCO,=45,BOC,为锐角.,从而,AOB,为钝角,所以,DOC,为钝角.故,I,1,0,I,3,0.,又,OA,OC,OB,1),=-,2,(,2,1),从而,I,3,=,1,2,=,1,2,I,1,又,1,2,1,I,1,0,I,3,I,1,0,I,3,I,1,0,n,m,.,从而,DBC,45,又,BCO,=45,BOC,为锐角.,从而,AOB,为钝角.故,I,1,0,I,3,0.,又,OA,OC,OB,1),=-,2,(,2,1),从而,I,3,=,1,2,=,1,2,I,1,又,1,2,1,I,1,0,I,3,0,I,3,I,1,I,3,I,1,I,2,.,6.,(2015山东改编,4,5分)已知菱形,ABCD,的边长为,a,ABC,=60,则,=,.,答案,a,2,解析,=(,+,),=,+=,a,2,+,a,2,=,a,2,.,7.,(2014天津改编,8,5分)已知菱形,ABCD,的边长为2,BAD,=120,点,E,F,分别在边,BC,DC,上,BE,=,BC,DF,=,DC,.若,=1,=-,则,+,=,.,答案,解析,以,为基向量,则,=(,+,)(,+,)=,+,+(1+,),=4(,+,)-2(1+,)=1.,=(,-1),(,-1),=-2(,-1)(,-1)=-,由可得,+,=,.,评析,本题考查平面向量的基本定理,数量积等相关内容,难度中等.,8.,(2016天津改编,7,5分)已知,ABC,是边长为1的等边三角形,点,D,E,分别是边,AB,BC,的中点,连接,DE,并延长到点,F,使得,DE,=2,EF,则,的值为,.,答案,解析,建立如图所示的平面直角坐标系.,则,B,C,A,所以,=(1,0).,易知,DE,=,AC,FEC,=,ACE,=60,则,EF,=,AC,=,所以点,F,的坐标为,所以,=,所以,=,(1,0)=,.,疑难突破,利用公式,a,b,=|,a,|,b,|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利,用坐标运算求解.确定点,F,的坐标是解题的关键.,评析,本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积,考查运算求解能力和数形结合思想.,9.,(2016浙江理,15,4分)已知向量,a,b,|,a,|=1,|,b,|=2.若对任意单位向量,e,均有|,a,e,|+|,b,e,|,则,a,b,的,最大值是,.,答案,解析,对任意单位向量,e,均有,|,a,e,|+|,b,e,|,|,a,e,+,b,e,|=|(,a,+,b,),e,|,|,a,+,b,|,当且仅当,a,+,b,与,e,共线时,等号成立.,a,2,+2,a,b,+,b,2,6,又|,a,|=1,|,b,|=2,a,b,即,a,b,的最大值为,.,10.,(2015天津,14,5分)在等腰梯形,ABCD,中,已知,AB,DC,AB,=2,BC,=1,ABC,=60,.动点,E,和,F,分别,在线段,BC,和,DC,上,且,=,=,则,的最小值为,.,答案,解析,如图,以,A,为原点,AB,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,则,B,(2,0),C,D,.,由,=,得,E,由,=,得,F,.,从而,=,=,+,+,+2,=,当且仅当,=,时,取等号,.,11.,(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系,xOy,中,已知向量,m,=,n,=(sin,x,cos,x,),x,.,(1)若,m,n,求tan,x,的值;,(2)若,m,与,n,的夹角为,求,x,的值.,解析,(1)因为,m,n,所以,m,n,=,sin,x,-,cos,x,=0.,即sin,x,=cos,x,又,x,所以tan,x,=,=1.,(2)易求得|,m,|=1,|,n,|=,=1.,因为,m,与,n,的夹角为,所以cos,=,=,.,则,sin,x,-,cos,x,=sin,=,.,又因为,x,所以,x,-,.,所以,x,-,=,解得,x,=,.,1.,(2014大纲全国改编,4,5分)若向量,a,、,b,满足:|,a,|=1,(,a,+,b,),a,(2,a,+,b,),b,则|,b,|=,.,C,组 教师专用题组,答案,解析,由题意得,-2,a,2,+,b,2,=0,即-2|,a,|,2,+|,b,|,2,=0,又|,a,|=1,e,|,b,|=,.,2.,(2013湖南理改编,6,5分)已知,a,b,是单位向量,a,b,=0.若向量,c,满足|,c,-,a,-,b,|=1,则|,c,|的取值范围是,.,答案,-1,+1,解析,以,a,和,b,分别为,x,轴和,y,轴正向的单位向量建立直角坐标系,则,a,=(1,0),b,=(0,1),设,c,=(,x,y,),则,c,-,a,-,b,=(,x,-1,y,-1),|,c,-,a,-,b,|=1,(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=1,即(,x,y,)是以点,M,(1,1)为圆心,1为半径的圆上的点,而|,c,|=.所以|,c,|可以理解为圆,M,上的点到,原点的距离,由圆的性质可知,|,OM,|-,r,|,c,|,|,OM,|+,r,即|,c,|,-1,+1.,评析,本题主要考查向量的模,向量的坐标运算以及与圆有关的最值问题,考查学生逻辑推理能,力和数形结合思想的应用能力.解析法是解决本题的最佳选择,而把|,c,|的取值范围转化成与圆有,关的最值问题是解决本题的关键.,3.,(2013浙江理,17,4分)设,e,1,e,2,为单位向量,非零向量,b,=,xe,1,+,ye,2,x,y,R.若,e,1,e,2,的夹角为,则,的,最大值等于,.,答案,2,解析,|,b,|=,当x=0时,由于,b,0,所以,y,0,此时,=0;当,x,0时,=,=,=,=2,当,=-,时,取等号.故,的最大值为2.,评析,本题考查向量的长度与角度问题以及函数的最值问题.考查学生的概念应用能力、转化,与化归能力和运算求解能力.,4.,(2014课标改编,3,5分)设向量,a,b,满足|,a,+,b,|=,|,a,-,b,|=,则,a,b,=,.,答案,1,解析,由|,a,+,b,|=,得,a,2,+,b,2,+2,a,b,=10,由|,a,-,b,|=,得,a,2,+,b,2,-2,a,b,=6,-得4,a,b,=4,a,b,=1.,一、填空题(每题5分,共25分),1.,(2017无锡普通高中高三上学期期中)已知向量,a,b,满足|,a,|=2,|,b,|=1,|,a,-2,b,|=2,则,a,与,b,的夹角为,.,三年模拟,A组 2015,2017年高考模拟,基础题组,(时间：25分钟 分值：35分),答案,解析,(,a,-2,b,),2,=4-4,a,b,+4=12,所以,a,b,=-1,即|,a,|,b,|cos=2cos=-1,所以cos=-,又,0,所以,a,与,b,的夹角为,.,2.,(2016江苏南京、盐城一模,11)如图,在,ABC,中,AB,=,AC,=3,cos,BAC,=,=2,则,的值为,.,答案,-2,解析,=(,+,),=,=,=,(,-,)=,-,|,|,2,+,+,|,|,2,=-6+1+3=-2.,3.,(2016江苏徐州质检,11)如图,半径为2的扇形的圆心角为120,M,N,分别为半径,OP,OQ,的中点,A,为弧,PQ,上任意一点,则,的取值范围是,.,答案,解析,建立如图所示的直角坐标系,连接,AO,设,AOQ,=,则,A,(2cos,2sin,)(0,120,).,由已知得,M,N,(1,0),则,=,=(1-2cos,-2sin,),所以,=,(1-2cos,)+,(-2sin,)=,-2sin(,+30,),因为0,120,所以30,+30,150,故,sin(,+30,),1,所以,.,4.,(2015江苏常州一模,11)已知向量,a,=(1,1),b,=(-1,1),设向量,c,满足(2,a,-,c,)(3,b,-,c,)=0,则|,c,|的最大值为,.,答案,解析,设,c,=(,x,y,),则2,a,-,c,=(2-,x,2-,y,),3,b,-,c,=(-3-,x,3-,y,),由(2,a,-,c,)(3,b,-,c,)=0,得,x,2,+,y,2,+,x,-5,y,=0,即,+,=,由数形结合易知,|,c,|的最大值是,.,5.,(2015江苏苏州一模,11)如图,在,ABC,中,已知,AB,=4,AC,=6,BAC,=60,点,D,E,分别在边,AB,AC,上,且,=2,=3,点,F,为,DE,的中点,则,的值为,.,答案,4,解析,由题意得,DA,=,AE,=2,BAC,=60,ADE,为等边三角形,DE,=2,ADE,=60,=(,+,),=,+,=,+,=2,2,+,2,2=4.,二、解答题(共10分),6.,(2016江苏启东中学阶段测试,17)已知向量,a,b,c,满足,a,+,b,+,c,=0,且,a,与,b,的夹角等于150,b,与,c,的,夹角等于120,|,c,|=2,求|,a,|,|,b,|.,解析,由,a,+,b,+,c,=0得,解之得|,a,|=2,|,b,|=4.,填空题(每题5分,共30分),1.,(2017江苏南通第二次调研测试,13)在平行四边形,ABCD,中,AD,=1,BAD,=60,E,为,CD,的中点.,若,=,则,AB,的长为,.,B,组 2015,2017年高考模拟,综合题组,(时间：30分钟 分值：30分),答案,解析,由题意得,=(,+,)(+),=(,+,),=-,+,+,=-,|,|,2,+,|,|+1=,解得|,|=,.,思路分析,由条件可得到,=,+,=-,+,将这两个式子代入,=,得出-,|,|,2,+,|,|+1=,解该方程即可求出,AB,的长.,2.,(2017江苏苏北四市期中,13)已知,AB,为圆,O,的直径,M,为圆,O,的弦,CD,上一动点,AB,=8,CD,=6,则,的取值范围是,.,答案,-9,0,解析,以,O,为原点,AB,所在的直线为,x,轴,线段,AB,的垂直平分线为,y,轴建立平面直角坐标系,如图,所示,因为圆,O,的直径为,AB,AB,=8,不妨令,A,(4,0),B,(-4,0),设,M,(,x,y,),则,=(4-,x,-,y,),=(-4-,x,-,y,),所以,=(4-,x,-,y,)(-4-,x,-,y,)=(4-,x,)(-4-,x,)+(-,y,),2,=,x,2,+,y,2,-16,又,M,是圆,O,的弦,CD,上一动点,且,CD,=6,所以16-9,x,2,+,y,2,16,即7,x,2,+,y,2,16(其中最小值在,CD,的中点取得),所以,的取值范围是-9,0.,思路分析,与圆有关的向量问题,可以考虑用解析法求解.以,O,为原点,AB,所在的直线为,x,轴,线段,AB,的垂直平分线为,y,轴建立平面直角坐标系,设出点,M,(,x,y,),然后用,x,y,表示出,从而求其范,围.,3.,(2016江苏苏锡常镇四市二模,9)在平面直角坐标系,xOy,中,设,M,是函数,f,(,x,)=,(,x,0)的图象上,任意一点,过,M,点向直线,y,=,x,和,y,轴作垂线,垂足分别是,A,B,则,=,.,答案,-2,解析,设,M,(,x,0,y,0,)为函数,f,(,x,)=,(,x,0)的图象上任意一点,由题设知,B,(0,y,0,),A,从,而,=,=(-,x,0,0),故,=,因为,M,(,x,0,y,0,)为函数,f,(,x,)=,(,x,0)的图,象上任意一点,所以,x,0,y,0,=,+4,从而有,=,=,=-2.,4.,(2016江苏淮海中学二模,11)如图,正六边形,ABCDEF,的边长为2,P,是线段,DE,上的任意一点,则,的取值范围为,.,答案,0,6,解析,以,A,为坐标原点,AB,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,利用正六边形的性质及已知,得,B,(2,0),F,(-1,),设,P,(,x,2,)(0,x,2),则,=(,x,2,),=(-3,),所以,=-3,x,+6,因为0,x,2,所以,的取值范围为0,6.,5.,(2015江苏泰州二模,11)若函数,f,(,x,)=,sin,和,g,(,x,)=sin,的图象在,y,轴左、右两侧,最靠近,y,轴的交点分别为,M,、,N,已知,O,为原点,则=,.,答案,-,解析,令,f,(,x,)=,g,(,x,)得,sin,=sin,化简得2sin,=0,x,+,=,k,k,Z,即,x,=,k,-,k,Z.则,M,N,=-,.,6.,(2015江苏南通二模,11)在平行四边形,ABCD,中,=,=3,则线段,AC,的长为,.,答案,解析,=,(,-,)=0,即,=0,又在平行四边形,ABCD,中,=,=,=,(,-,)=,=3,AC,=,.,填空题,(2017江苏南通、扬州、泰州高三第三次模拟)如图,在直角梯形,ABCD,中,AB,DC,ABC,=90,AB,=3,BC,=,DC,=2.若,E,F,分别是线段,DC,和,BC,上的动点,则,的取值范围是,.,C,组 2015,2017年高考模拟,创新题组,答案,-4,6,解析,以,B,为坐标原点,AB,所在直线为,x,轴,建立直角坐标系,则由已知可得,A,(-3,0),D,(-2,2),B,(0,0),C,(0,2),由已知可设,E,(,m,2),F,(0,n,),则=(3,2),=(-,m,n,-2),所以,=(3,2)(-,m,n,-2)=2,n,-3,m,-4,由已知可得-2,m,0,0,n,2,设2,n,-3,m,-4=,z,利用线性规划画出图形如图,可得-4,z,6,所以,的取值范围为-4,6.,