粒子碰撞物理学第二章(2016).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,粒子同固体相互作用物理学,第二章 离子在固体中的碰撞和散射,2.1,原子间的相互作用势,要合理方便地研究离子同原子间的弹性碰撞问题，首先要取一个简化的、合理的相互作用势,V(r),，这是十分必要的。,历史上不同的相互作用势函数模型：,1.,硬球模型（刚性球）,V(r)=,，,r2R,0,硬球势函数虽然是一种不符合实际的作用势，然而这种近似却为理论计算 带来极大的方便。,2.,库仑相互作用势：,这适用于两个刚性的，没有结构（可看作点电荷）的带电粒子之间的相互作用，比如两个不带电子的原子核之间的碰撞，如质子。在某些特殊场合下，也用可来近似处理。,假如实际情况可以归结为以上两种情况，那问题解决起来就很简单了。但离子和原子的结构并不是那么简单，它们有复杂的结构，是多维度的，而且每种原子的结构还都不一样，这就使得精确讨论这个问题变得很复杂了，难以入手了。,2.1,原子间的相互作用势,3.Born-Mayer,势：,常数,A,和,可用弹性模量和晶格常数等物理量来确定。,2.1,原子间的相互作用势,4.,玻恩（,Born,）屏蔽库仑势：,考虑到原子结构，也就是考虑到核外电子结构对库仑势的屏蔽作用，所以引入屏蔽因子。使用范围介于原子,K,层半径和点阵间距之间。,并不是一个很好的势函数。,2.1,原子间的相互作用势,5,、托马斯,费米势（,ThomasFermi,）：,加入了修正函数，比较适用于能量在,10,4,10,5,eV,的各种注入离子。,2.1,原子间的相互作用势,6,、林哈德势（,Lindhard,）：,同样采用了修正函数，取不同的,S,值（,S=1,2,3,4,，,）可适用于不同的作用距离。,也称作负幂势，其缺点是不能用一个单一的解析式表达所有范围内的势函数。,2.1,原子间的相互作用势,7,、韦尔森（,Welson,）势：,适用于高能和低能离子注入，属于比较精确的分析势。,以上这些作用势都是一定程度的近似表达法。目前还未找到一个很确定的相互作用势来适合于所有离子原子对之间的通用相互作用势。也就是说，这些相互作用势中的任一种势都不可能在离子的全部能区，全部范围内都适用。,由于固体中原子的间距是很小的，因此检验这些相互作用势的实验做起来相当困难。所以只能间接地用离子的散射实验，以及注入离子在固体中的统计分布和计算机模拟来修正这些作用势（加不同的修正系数）。因为一般来讲，仅对表达式中系数做一定的修正，这比建立一个新的表达式方便容易得多。,2.1,原子间的相互作用势,例如，以测得的入射离子在固体中的统计分布为实验根据，确定入射离子的初始条件（包括能量和位置参数），然后确定离子原子间相互作用势和原子结构即可计算出离子在固体中的最终分布（就像咱们下面几节课要做的一样）。,将多次碰撞进行统计平均，然后与实验比较，根据二者的差别反述来修正相互作用势，比如对修正系数或修正函数进行修正，多次的反复修正直到理论与实际的相互作用势和统计分布参数符合到满意为止。,2.2,弹性散射和微分散射截面,我们先从硬球模型入手来讨论弹性散射和微分散射截面。可以说采用相互作用势的硬球模型来讨论离子同固体的相互作用问题在一定程度上也是有它合理性的。,在离子注入中，入射离子和靶原子之间发生碰撞的最远距离，不超过晶体靶中原子点阵间距的一半（大约是,1,3,之间）。而最小的碰撞间距不会小于,0.1,，整个间距很小。如果我把这个间距忽略掉，那么可以设想，有一个半径为,R,0,的硬球来代替被碰撞的原子。即把每个原子当成一个半径为,R,0,的理想弹性硬球。弹性碰撞只发生在,r=2R,0,处，在,r2R,0,处则不发生相互作用，这种碰撞称为硬球碰撞。实验上在弹性相互作用时，硬球模型是一种相当合理的近似，且处理方法又很简便。我们在这里用这种模型来引入微分散射截面这个概念。当然在实际的离子注入过程中，入射离子跟靶原子之间的实际相互作用势比这要复杂的多，以此推出的结论自然也会有些不一样。,E,0,v,0,碰撞参数,E,1,T=E,2,在图上，考虑两个半径为,R,0,的硬球碰撞，入射球的质量和能量分别为,M,1,和,E,0,，而开始处于静止状态，被碰撞原子的质量为,M2,，碰撞时两球心间距为,2R,0,，碰撞前入射球前进线与被碰撞原子之间的距离为,P,，我们称之为碰撞参数（这是一个很重要的物理参量）。碰撞的结果，入射球由原来的运动方向被偏离了,角，而将能量,T=E,2,移交给被碰球，也就是靶原子，使其偏移,角。对于给定的子弹和靶原子核而言，决定传输能量,T,的因素，是入射离子的初始能量,E,0,，碰撞参数,P,和碰撞中起作用的几种力学性质。对于弹性碰撞，利用经典力学理论就可以算出,T,与,P,，,E,的函数关系。,根据动量守恒，平行于中心连线的动量分量为：,垂直于中心线的动量：,利用上式可得到：,等式两边各乘以,M,1,/2,进而可得出：,E,1,=kE,0,碰撞后两者的速度分别为,V1,和,V2,，从能量守恒出发，有,其中,（为入射离子弹性碰撞后与碰撞前能量之比，称为运动学因子，在离子束分析技术中，我们要经常用这个参数。）,一束均匀而平行的离子束射向静止的原子，根据硬球模型，只有那些碰撞参数在,P,2R,0,的入射离子发生散射，因而面积,4,R,0,2,决定了碰撞总截面。,具有碰撞参数为,P,的所有离子都将会偏离,角，进入一个以被碰撞原子为中心，半角为,的锥体面上，同理，以被碰撞参数为,P+dp,入射的离子，将进入半角为,+d,的锥面上。,dp,取极限小时，可以认为处于,p+dp,面积元的所有入射离子有相同的碰撞参数,P,。这个环形的面积元我们就称之为碰撞参数为,P,，散射角为,的微分散射截面,d,。它的物理意义是粒子碰撞的散射角为,的几率。,由于,T,取决于,角，所以能量传递,T+dT,也由,+d,决定，因此上述微分截面也可称为,T+dT,范围内能量传递微分截面。,2.3,散射角与散射截面,这一节我们来求两体碰撞过程中的散射角,及一般的散射截面。,讨论这类碰撞问题，比较方便的做法是同时应用两个坐标系：实验室系和质心系。在碰撞之前，在实验室系内，入射粒子以,v0,运动，靶原子,M2,可当作静止不动。碰撞以后，两个粒子分别以速度,V1,和,V2,向,和,方向散射。（如图所示）,用质心系描写的碰撞情况画在右图。由于质心系是零动量系，两个粒子先是相对而来，速度分别为,v,0,-v,c,和,-v,c,。碰撞以后又相背而去。根据动量和能量守恒定律可知，两个粒子碰撞后的速度数值将分别保持不变。因此质心系内的计算相对简单。算出结果以后，再把各个速度转换到实验室系去就行了。,转换时用到的速度矢量相加关系画在上图中，从中可推算出以下有用的结果：,把每个粒子相对于质心速度的速度矢量相加，不难导出碰撞后入射粒子和被碰原子的实验室系里的速度：,由此可得出入射离子散射后保留能量,E,1,而被撞原子的能量,E2,则为：（也就是传递给被撞原子的能量）,从这式子可以看出，当质心系散射角从零增加到,时，入射离子能量从,E,0,减少到,E,0,1-4M,1,M,2,/(M,1,+M,2,),2,，传递给被撞原子的能量则从,0,增加到（最大值）：,这是对头碰撞的情况，散射角最大，能量传递最大,。,这样,可见，要求出碰撞后的能量损失，也就是能量传递，必须先求出散射角,，下面我们将详细推导出它的表达式。,在质心系中，入射离子和被撞原子相对于质心的速率分别为：,于是在质心系中，两粒子相互作用始点或终点处，相对于质心的动能之和,还可以求出质心的动能：,质心动能与,Ec,之和为系统总动能，该值恰好等于入射离子的初始动能，这就是能量守恒。,我们再回到质心系中：,下面是质心系中入射离子和被撞原子的轨迹,我们用极坐标来处理这个问题，坐标原点为质心，,角为角坐标，,M1,和,M2,与质心的距离分别为,r1,和,r2,，这里他们分别满足：,r,是两原子间距离，,Rm,是原子间接近的最小距离，此时连线垂直于极轴，,M1,的径向和横向速度分别为：,1,和,r,1,，,M2,的速度分别为,2,和,r,2,，在没有外力约束的情况下，系统的总能量是守恒的，且在,r=,时，,V(r)=0,根据能量守恒定律,将,r1,和,r2,代入，可得,再根据角动量守恒定律，有,将代入，得,（利用了 和式）,对两边积分即可求出散射角：,（积分起始点为什么这么取？）,积分后，可得,这就是我们最后得到的质心系中散射角的表达式，求出与,P,对应的,值后，可以根据,T(),关系,【T()=T,max,sin,2,/2】,求出对应的,T,，而后可求出散射截面,(E,T),来。,但由这个式子可以看出，要算出,进而算出能量损失，还需要知道两粒子间的相互作用势，下面我们选取一个非屏蔽的库仑势来求一下散射角,。,代入库仑势,B,称为碰撞直径，它是两个以速度,v,0,作相对运动的同号荷电离子的最小逼近距离（取,p=0,可得）。,利用上式，即可以求出,因此，在入射粒子行进的过程中，,p,相同的靶原子从入射离子得到的能量,T,是相同的。,将这个式子变形，求导，我们还可以得到散射截面与,T,的关系：,我们已经知道，一个入射粒子打进固态材料中，它在固体中穿行时在整个路径上都必将与固体中的原子发生一系列的碰撞和散射等相互作用，同时在这个过程中，通过一定的方式，逐渐损失掉自身的能量，这些能量或者传递给靶原子了，或者转换成其它形式的能量了。,至于离子采取什么方式损失，或者说交换掉自己带的能量，,取决于入射粒子和靶的组合情况,，还,取决于粒子所带能量的高低,。,2.4,阻止本领,运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制（或者说方式），可以有以下几种类型：,（,1,）原子核碰撞,（,2,）激发和电离,（,3,）光子产生和发射,（,4,）核反应,运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制,（,1,）原子核碰撞,入射离子通过弹性碰撞把能量传给靶原子核，使靶原子获得能量反冲。由于是同靶原子核碰撞的能量损失，所以也叫核能量损失或弹性能量损失。这一种机制主要是低速入射粒子的能量损失的主要方式。,（,2,）激发和电离,入射的离子通过与靶内电子的相互作用，而把能量传给靶电子，从而使一些靶原子达到激发态或者电离态。入射粒子用于激发或电离的这部分能量损失通常也叫电子能量损失，或者称为非弹性能量损失。这种损失能量的机制是高速入射粒子损失能量的主要方式。,（,3,）光子产生和发射,在入射离子的速度高到达到相对论速度的情况下，入射粒子会在穿过介质时减速而发射光子，从而把损失的能量变成光子能量。,（,4,）核反应,当入射粒子和靶的组合满足一定条件，而且碰撞能量达到一定的反应阈能时，会发生核反应，核反应也会用掉入射离子的部分能量。,我们已经知道，一个入射粒子打进固态材料中，它在固体中穿行时在整个路径上都必将与固体中的原子发生一系列的碰撞和散射等相互作用，同时在这个过程中，通过一定的方式，逐渐损失掉自身的能量，这些能量或者传递给靶原子了，或者转换成其它形式的能量了。,至于离子采取什么方式损失，或者说交换掉自己带的能量，,取决于入射粒子和靶的组合情况,，还,取决于粒子所带能量的高低,。,2.4,阻止本领,运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制（或者说方式），可以有以下几种类型：,（,1,）原子核碰撞,（,2,）激发和电离,（,3,）光子产生和发射,（,4,）核反应,后两种主要属于核物理范畴，不在我们的讨论范围。我们主要关心和讨论前两种能量损失机制。,根据入射粒子种类和能区不同，及对不同靶物质，各种相互作用的概率是不同的。,因此，在一定情况下，常常只考虑起主要贡献的一种或几种作用，而忽略其他的。于是，带电粒子分为,“轻”“重”及“快”“慢”。,入射粒子运动方向,入射粒子能量损失,导致结果,重要性,与电子,非弹性碰撞,改变不大,不大,电子电离或激发,是能量损失的主要方式,与核,非弹性碰撞,改变较大,不大,电磁辐射或原子核激发,对,粒子,是损失能量的重要方式,与核,弹性碰撞,改变较大,不大,原子核反冲,入射能量很低或低速,重离子,入射时，有重要贡献。,与电子,弹性碰撞,改变,很小,只有在,很低能量,（,100eV,）的,粒子,入射时才需考虑,能量损失问题的重要性,能量损失理论和实验的研究开始于上世纪初，这方面的研究在前一阶段提供了许多关于原子和原子核结构的重要信息。随着核能的利用和核技术的发展，粒子同各种物质的作用所产生和涉及的问题，例如辐射损伤、离子注入射程和射程分布、离子背散射和溅射、离子感生激发等等，都需要知道离子在固体物质中的能量损失情况。因此可以说，,有关各种离子在物质中的能量损失是粒子同固体相互作用物理学研究的基础。,一般而言，能量损失过程的特征可以用,单位路径长度上的能量损失,来描述,阻止本领的概念,可以用代数式 表示，又被称为,阻止本领,（,stopping power,）,如果不考虑光子产生和核反应这两种情况，那么,靶原子的整体平移运动,弹性能量损失,入射离子损失掉的能量,激发原子的内部自由度,非弹性能量损失,（即站在原子核上看到的那部分能量损失）,由于原子的质量基本上集中在原子核上，,弹性能量损失近似地等于粒子与原子核碰撞时的能量损失,，通常就称之为,核碰撞能量损失,。,另一方面，由于原子的质心在碰撞中得到的速度变量不是很大，,非弹性能量损失近似地等于实验室系中离子与电子碰撞时的能量损失,，通常就称之为,电子碰撞能量损失,。,阻止本领的概念,核碰撞能量损失,核阻止本领,单位路径长度上的,（,nuclear stopping,）,电子碰撞能量损失,电子阻止本领,（,electronic stopping,）,经典的散射理论,一般会有如下,假设,：,仅考虑两个原子间的碰撞,原子电离和激发仅仅作为能量损失的一种形式，并不影响碰撞的动力学过程，所以电子阻止和核阻止可以分开计算。,两个碰撞原子中的一个起始处于静止状态,。,这些假定都是经典散射理论的基础和出发点，忽略这些假定就很难用经典理论研究散射过程。那么究竟这些假设,合理不合理呢？,假设的合理性,第一、,keV,或,MeV,级的离子同静止原子间的碰撞是激烈的碰撞，碰撞体之间可逼近到小于原子间距以内，所以对三个或更多原子同时碰撞的几率是很小的。,第二、忽略电子激发在碰撞动力学中的影响是一种合理的近似，因为传递到电子上的动能比传递到原子上的动能要小得多，因而碰撞后原子的散射角不因电子碰撞而发生明显的偏移，所以散射角可以用弹性散射角来确定。例如,KeV,能量的重离子同固体原子碰撞时，仅有百分之几的能量消耗在同电子碰撞的能量损失上。,第三、在实际的注入过程中，一束离子注进去之后，有可能会发生密集的级联碰撞，并不是所有的一对碰撞原子都会有一个处于静止状态，但如果不做这个假定，不确定因素就太多了。根本无法用理论来具体描述。所以必须做这个近似。在这个假设基础上得出的理论结果，跟实际情况的误差在可以接受的范围内，所以说这个假定也是合理的。,林哈德在,1963,年发表他们的,LSS,理论时，对碰撞问题也做了三个基本假定：,1,、入射离子与靶原子的相互作用，可以分成彼此独立的两个部分,（这与前面的第二条假定是对应的）,与靶内电子的相互作用,与靶内原子核的相互作用,那么，阻止本领也就可以写成,2,、离子与原子核的相互作用势，采用与托马斯,费米势相近的,Lindhard,屏蔽势,S=2,时，其实就是常见的托马斯,费米势，当,S,取,2,3,之间时，理论与实际符合的更好些。,3,、忽略不计靶结构对射程分布的影响,在,LSS,理论中，首先讨论了入射离子对非晶靶的情况。,所谓非晶靶，也称为无定形靶，就是靶内原子排列杂乱无章，没有一定的规律，但其原子的密度是均匀的。,忽略不计靶结构对射程分布的影响，就是把靶当作非晶靶处理。,在目前半导体器件的制作中，为了精确地控制结深，避免沟道效应，往往让靶片的晶轴方向与入射离子束成一定的角度，这时的单晶靶也可以忽略靶结构，当作非晶靶处理。另外，用非晶靶来处理多晶靶中的问题也是比较好的近似。,LSS,理论,对在,非晶靶,中注入离子的射程分布的研究,2.4.1,核阻止本领的理论计算,对于原子核之间的弹性碰撞，入射离子在,dx,路程上总共损失的能量,(-dE),n,可以由下式对不同的散射截面，也就是不同的,P,值积分得到：,E,：注入离子在其运动路程上任一点,x,处的能量,N,:,靶原子密度 ,5,10,22,cm,-3,for Si,S,n,(E),：,一些书上把,S,n,(E),也称为原子核的阻止本领，它表示,能量为,E,的一个入射离子，在单位密度的靶内通过微分厚度,dx,传递给靶原子核的能量,，也有把它称之为,核阻止截面,的。,经常记为：,粗略计算,:,一级近似公式,与能量无关,在粗略的估算中，这是一个非常有用的公式，尤其是在小角度占绝对优势时，用,Sn,估计出来的射程在一定程度上相当接近于实际值。,一、库仑相互作用势下的核阻止本领,对于库仑相互作用势，我们前面已经得出：,把此式带入前式，并从,0,到,P,max,对,P,积分，可得到,如果库仑势存在屏蔽，在,P,max,=a,处被截止，上面的式子可写成,利用前面得到的核碰撞的截面表达式,核阻止本领还可以写成,可以看出，在库仑势作用下,核阻止本领：,与,Z,1,2,Z,2,2,成正比；,与,M,2,（也就是靶原子质量）成反比,与离子能量成反比（离子能量越高，核阻止本领越小）,二、在,Lindhard,相互作用势下的核阻止本领,求,Lindhard,相互作用势下的核阻止本领是,LSS,理论里的一部分主要工作，涉及到的数学知识和数学推导非常多。,林哈德等人引入了两个无量纲的参数,和,来计算截面，一个量是路程参数,，另一个是能量参数,，具体形式为：,对于林哈德势而言，根据前面得到的散射角计算公式,其中,将林哈德势,代入，可以计算出,C,为一个与能量无关，但跟入射离子和靶原子有关的常数。,当,不大时（小角散射近似），可以导出,引入一个新中间量,由以上式子出发可以得到核阻止本领表达式,约化核阻止本领：,在实际计算中，齐格勒（,Ziegler,）给出了如下的约化核阻止计算公式：,当,30,，,当,30,，,低能量时，核阻止本领随能量的增加而线性增加，,Sn(E),会在某一中等能量时达到最大值。,较高能量时，由于高速粒子没有足够的时间和靶原子进行有效的能量交换，所以,Sn(E),变小。,更高能量时，随能量的增加，,Sn(E),0,核阻止本领与能量的关系,As,P,B,在硅中核、电子阻止本领与能量关系计算值,几种常用离子在硅中的核阻止本领与能量关系,2.4.2,电子阻止本领的理论计算,电子阻止本领是指入射离子与靶内电子相互作用（碰撞）时的单位路径长度上的能量损失，也就是非弹性能量损失。一般可以将入射离子与靶内电子的碰撞分为四种情况讨论：（,主要是依据离子是高能还是低能，电子是看作束缚还是自由电子来区分,）,1.,高能粒子与靶内束缚电子的相互作用,2.,高能粒子与靶内自由电子的相互作用,3.,低能离子与靶内束缚电子的相互作用,4.,低能离子与靶内自由电子的相互作用,经典还是量子方法？,原则上处理这些情况最好都用量子力学方法，这会与实际情况符合的好一些，但在一般情况下量子力学求解起来非常繁杂，所以历史上针对这些不同的情况曾出现过不同的理论模型和方法，有经典的，有量子的。还有经典方法结合量子修正的。,判断什么情况下可用经典的方法，玻尔曾提出一个著名的判据，叫玻尔判据，根据这个判据可以判定是否可以用经典的方法来处理问题。,玻尔判据,根据这个判据：低速离子可用经典力学的方法,高速离子应该用量子力学方法,其中,v,0,为玻尔速度，,v,0,=e,2,/h,v,为离子速度,下面就这几种不同的情况来介绍一下几种求电子阻止本领的不同理论模型和方法。,一、高能粒子与靶内束缚电子的相互作用,这种计算方法可以直接用动量近似来计算电子的阻止本领，即认为离子以高速,v,从电子旁掠过，离子因与电子作用而产生的散射角很小，入射离子几乎沿着,z,轴直线前进，两个粒子之间的动量转移可以这样计算出来：,M,1,v,r,p,e,F,z,（水平分力无贡献）,库仑力：,（一）经典计算,-,动量近似,（一）经典计算,-,动量近似,M,1,v,r,p,e,F,z,电子所得到的能量：,考虑到原子核对电子的束缚作用，可以得出：,P,min,0,P,max,（绝热隔断）,：电子在原子核周围的运动频率,前面的课曾经得到：,所以高速带电粒子的这两部分能量损失之比约为：,所以在高能区内，核阻止本领相对于电子阻止本领可以忽略不计，只需要考虑,(-dE/dx),e,即可。,（二）,高能粒子与靶内束缚电子的相互作用的量子力学计算,把入射离子与被碰撞的原子作为一个体系看待。那么体系的哈密顿量可以表示成：,其中,V,是离子,-,原子间的相互作用势。,Ho,则可写成两项之和：,t=0,时，自由入射粒子的哈密顿,孤立靶原子的哈密顿,假设离子,-,原子间相互作用微弱，即假设,V,相对于,Ho,来说是一个小量。这样即可以利用波恩近似（一级微扰理论）处理求解薛定谔方程。,再假定体系在,t=t,o,时处在未受扰动的哈密顿量,H,o,的一个本征态上，即设体系的波函数为：,其中,u,n,o,满足定态方程,这就是薛定谔方程的初始条件。,把,（,t,）按,H,o,的本征函数,u,n,展开：,根据波函数的正交性及一级微扰假设，可得,其中 为跃迁矩阵元，,而,是时刻,t,时发现体系处在态,u,k,的几率,由此还可计算单位时间内跃迁到态,u,k,的几率为,在（,t-t,o,）时，跃迁率趋向于一个与时间无关的表达式：,然后，求出单位立体角的跃迁几率：,它是单位时间内，把原子激发到,n,态，而离子则往（,，,）方向的单位立体角散射的几率。,把这个几率除以单位时间内的入射粒子数,Jo,（入射离子的通量），就得到一个离子的非弹性散射的微分散射截面（也叫一个离子单位立体角的跃迁几率）。,于是电子阻止本领可以表示为：,对于离子,-,原子散射，势函数为：,它是离子与核外,Z,2,个电子和离子与原子核的相互作用势的叠加（有多少个电子，就有多少个,r,i,）。,hq,是由离子转移给原子的动量，于是可得出：,把它带入前面所得的式子，可得出：,这个公式称为贝特,布洛赫公式，式中的,I,称为原子的平均电离势，这就是考虑高速离子与靶内束缚电子的相互作用的情况下得到的电子阻止本领的量子力学结果。,这个公式中，别看形式比较简单，最难计算的是平均电离势,I,，它牵涉到原子的性质，所以不等于有了算式就可以计算出来。目前只有对氢原子才能精确的计算出,I,的值。即使对于氢原子，,I,的计算也是非常繁杂的，这里给出氢原子的,I,值计算结果：,对,H,I,=15eV,二、高能粒子与靶内自由电子（气）的相互作用,前面的讨论中，电子都是原子中的电子，实际上还存在另外一类电子，例如金属中的价电子，它们并不固定地从属于原子，而是在正离子晶格点阵中自由运动。假如不考虑电子间的相互作用，这类电子可以看成是在正的本底电场中的自由电子气。,带电离子在自由电子气中的能量损失可以用完全不同于“碰撞”图像的另外一种图像，即“极化”图像来描述。这种描述称为介电描述，这部分我们简单介绍一下,Lindhard,的介电描述。,介电描述并不是只能应用于金属，只要把原子中局部区域中的电子云近似看成是均匀的自由电子气，那么介电描述也可以应用于一般原子中。,在,Lindhrd,的介电描述中，当一个带正电的运动离子在电子气中通过时，电子受到吸引，向着入射离子的路径靠拢。,-e -e -e -e,-e -e -e -e,E,pol,E,ind,这一极化效应在离子的近处比远处强，在离子的后面比前面强。结果，由于电子的堆积，在垂直于粒子路径的方向上感生出一个电场,E,pol,，在与路径相反的方向上感生出另一个电场,E,ind,。,1,、形成极化场,E,pol,使远处的电子截断,使近处的电子在平衡位置振动,2,、形成感生场（与离子运动方向相反）,E,ind,：使入射粒子慢化,感生场,E,ind,是入射离子慢化的原因，而极化场,E,pol,的作用则是使得远处的电子不再像入射离子的路径靠拢，在足够远的地方，场强,E,pol,可能与入射离子产生的场强,E,dir,一样大小，那里的电子不再受到入射离子的作用，无从吸收能量，带电粒子的能量损失也就截断了。同时，近处电子在这两个电场的作用下，会在平衡位置上下振动，形成电子云的一种密度振荡。,在感生场,E,ind,的作用下，带电粒子受力,F=Z,1,eE,ind,入射粒子一边运动，一边克服这个力做功，并逐渐损失能量。,因此，能量损失可以写成：,感生电场由感生电势决定：,而感生电势满足,根据高斯定理：,电荷密度变化介电常数变化，需要用到量子力学来处理。,三、低速离子与靶内自由电子的相互作用,在这种情况下，将靶内电子看作是自由电子气，主要是借用了托马斯和费米两人提出的原子模型，他们假设,V,（,r,）（电势分布）随,r,的变化不陡峭，以致在,rr+dr,的一层球壳内可以认为,V(r),常数。,这意味着电子在这个区域内运动时几乎不受力，这样就可以在该处视电子为自由电子气，借用自由电子气的费米统计模型可以得到该处的电子密度与费米动量的关系：,一个动量为,q,，质量为,M1,的离子在电子气中运动。它在,dx,路程上的能量损失可以写成：,其中（,-dq,/,）是离子沿速度,v,方向的动量减小，因此,即单位路程上的能量损失等于单位时间内的动量减小，要计算（,-dE/dx),e,，关键的量是离子,-,电子碰撞时的动量变化。,于是我们的,问题就变成计算电子在固定不动的离子的屏蔽库仑势中的散射了,。把一个电子和离子的单项碰撞的动量变化计算出来，乘上电子通量和散射截面，得到的就是入射离子的电子阻止本领。,我们已经知道，动量变化在实验室系（一般称为,L,系），或任何其他惯性系内都是一样的。在这里，方便的做法是,把参考系固定在离子上,。因为离子的速度变化是电子的速度变化的,M,1,/m,分之一，所以可以近似地把这个参考系作为惯性系看待。,为方便起见，把固定在离子上的这个参考系称为,R,系。,按照费米电子气模型，电子的速度,V,i,本来就有一个从,0,V,F,（费米速度）的分布，它们在,R,系内的速度为：,：电子,i,在,L,系中的速度,：离子在,L,系中的速度,：电子,i,在,R,系中的速度,：电子,i,在,R,系内散射以后的速度,与 一样大小，但方向不一样,与 一样大小，但方向不一样,于是，沿着离子的速度,v,的方向上的电子动量的变化为：,如果把,v,分解成平行和垂直于,wi,的两个矢量（如图所示）：,其中,因为对于确定的散射角,，矢量,w,ij,的顶端描绘出一个圆周，所以有,因此，对动量变化的贡献中只需要考虑,v,/,分量,而,i,为,v,i,和,v,的夹角,设速度为,w,i,的电子密度为,n,i,（,根据统计物理中费米动量与电子密度的关系可以求得,）,这种电子在,方向的微分散射截面记作,(,，,w,i,）,在单位时间内由该种电子散射引起的动量转移为,其中,称为输运截面。,把,ni,代入，并对不同的,vi,和,i,积分，于是有,对于低速离子,，,VV,F,，在各种展开式中可以只保留到,V,的一次项，,将各式代回并积分，最后可得,对于低速轻离子情况,，离子与电子间相互作用势一般采用波恩的指数衰减势：,这种情况下,其中,于是,对于低速重离子,，分析表明应采用托马斯,-,费米屏蔽势，考虑量子力学修正后，,Lindhard,导出一个比较普遍的公式：,这个公式能够适用于各种离子在各种靶物质内的穿透，而且与实验的符合总体上相当好。已经得到普遍采用，遗憾的是作者至今没有发表导出这个公式的细节。,不管是重离子还是轻离子，我们都发现低速情况下，,S,e,总是与离子的速度成正比，也就是和离子的能量平方根成正比。,这是,低速离子的电子阻止本领的主要特征,。,所以经常可以简写成：,阻止本领与离子速度,阻止本领,核阻止,电子阻止,离子速度,能量较低，质量较大的离子，主要是通过,核阻止,损失能量,能量较高，质量较小的离子，主要是通过,电子阻止,损失能量,中速区尚无合适的理论计算公式，实际使用时都是一些实验数据的拟合公式。,核阻止本领和电子阻止本领比较,低能区,中能区,高能区,在,E=E,2,处，,S,n,=,S,e,。,当,E,0,大于,E,2,所对应的能量值时，,S,n,S,e,，以核阻挡为主，此时散射角较大，离子运动方向发生较大偏折，射程分布较为分散。,小结：,1,、,入射离子的能量可以分为三个区域：,低能区，也就是,E,1,以下的区域。那里核阻止本领占主要地位，电子阻止可以被忽略,中能区，即在,E,2,附近的范围相当宽的一个区域，在这个区域内，核阻止本领和电子阻止本领同等重要，必须同时加以考虑,高能区，即在,EE,2,的区域，那里的电子阻止本领占主要地位，核阻止可以被忽略。,高能和低能区,Se,都有理论值，而高能低能之间的区域没有理论值，只能进行曲线线性拟合。,2.,从损伤角度看，,Sn,起主要作用，与电子作用不产生损伤,对低能离子，损伤发生在离子走过的全部路程上,对高能粒子，损伤发生在离子路程的末尾区域,3.Sn,的精度一般在,5%,左右，在很低能量区,(KeV,以下,),精度差,;,Se,的精度一般在,20%,左右，,Se,围绕理论值在摆动（幅度为,40%,），主要原因是未考虑原子壳层结构。,