相似矩阵的定义及性质.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二.相似矩阵的定义及性质,定义:,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的,相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行,相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的,相似变换矩阵。,或称矩阵 与矩阵,相似，,记作,注：,矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若 则,（3）传递性：若 则,1,性质1:,相似矩阵有,相同的特征多项式、相同特征值、,相同的行列式、相同的迹、相同的秩,推论：,若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,2,(1),相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。,当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。,其它的有关相似矩阵的性质：,(3),若 与 相似，则 与 相似。（为正整数）,(5),(6),（为任意常数）,(2),若 与 相似，则 与 相似。（为正整数）,(4),若 与 相似，而 是一个多项式，,则 与 相似。,3,（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。,注,：,（1）,与单位矩阵相似的,n,阶矩阵只有单位阵,E,本身，,与数量矩阵,kE,相似,的,n,阶方阵只有数量阵,kE,本身。,三.矩阵可对角化的条件,（利用相似变换把方阵对角化）,对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ，,使得 为对角阵，就称为,把方阵 对角化。,4,定理1：,阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）,有 个线性无关的特征向量。,（2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量,作列向量构成。,(逆命题不成立),推论：,若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,则 可对角化。（与对角阵相似）,注,：,（1）若 则 的主对角元素即为 的特征值，,矩阵 的,相似标准形。,如果不计 的排列顺序，则 唯一，称之为,5,例1:,判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解:,得,6,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,7,得基础解系,线性无关,即,A,有3个,线性无关的特征向量，所以,A,可以对角化。,8,得基础解系,所以 不能化为对角矩阵.,当 时，齐次线性方程组为,9,解：,例2：设,若能,对角化，求出可逆矩阵 使得 为对角阵。,问 能否对角化？,10,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,11,得,基础解系,线性无关，,可以对角化。,令,则有,12,注意：,若令,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的,位置要相互对应,则有,13,把,一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且,在理论和应用上都有意义。,可,对角化的矩阵主要有以下,几种应用：,1.由特征值、特征向量反求矩阵,例,3：已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,求,矩阵,14,解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。,因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。,即,存在可逆矩阵 ,使得,其中,求得,15,16,2.求方阵的幂,例4：设 求,解：,可以对角化。,齐次线性方程组为,当 时，,系数矩阵,令 得基础解系:,17,齐次线性方程组为,当 时，,系数矩阵,令 得基础解系:,令,求得,即,存在可逆矩阵 ,使得,18,19,3.求行列式,例5：设 是 阶方阵，是 的 个特征值，,计算,解,：,方法1,求 的全部特征值，,再求乘积即为行列式的值。,设,的,特征值是,即,的特征值是,20,方法2：,已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，,即,存在可逆矩阵 ,使得,21,4.判断矩阵是否相似,解：,方法1,的,特征值为,令,3阶,矩阵 有3个不同的特征值，所以 可以对角化。,例,6：已知3阶矩阵 的特征值为1，2，3，,设,问,矩阵 能否与对角阵相似？,22,即,存在可逆矩阵 ,使得,方法2：,因为矩阵 有3个不同的特征值，所以可以对角化，,所以矩阵 能与对角阵相似。,23,例,7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，,阶方阵 与 有相同的特征值。,证明：,与 相似。,证：设 的,n,个互异的特征值为,则存在可逆矩阵 ,使得,24,又,也是矩阵 的特征值，,所以存在可逆矩阵 ,使得,即,即存在可逆矩阵 ,使得,即 与 相似。,25,