云南省楚雄州大姚县大姚一中2025-2026学年高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

云南省楚雄州大姚县大姚一中2025-2026学年高二数学第一学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的（）
A.平均数 B.众数
C.中位数 D.方差
2．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）
A B.4
C.3 D.2
3．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线
4．记等比数列的前项和为，若，，则（）
A.12 B.18
C.21 D.27
5．设，，若，其中是自然对数底，则（）
A. B.
C. D.
6．已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
7．直线分别交坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，三角形OAB的内切圆上有动点P，则的最小值为（ ）
A.16 B.18
C.20 D.22
8．数列的通项公式是（）
A. B.
C. D.
9．数列，，，，…的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
10．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（）
A. B.
C. D.
12．已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点、满足，，则（ ）

A. B.
C.2 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点是椭圆上任意一点，则点到直线距离的最小值为______
14．若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则______.
15．已知满足约束条件，则的最小值为___________
16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点

（1）求证：平面，并求直线与平面的距离；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值
18．（12分）已知函数
（1）求的单调区间；
（2）若，求的最大值与最小值
19．（12分）已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足(且)，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
20．（12分）已知椭圆C：，斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点且
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求直线l方程
21．（12分）设函数，
（1）求的最大值；
（2）求证：对于任意恒成立．（参考数值：）
22．（10分）已知等差数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序7选3，即可知还需明确的成绩数据信息.
【详解】由题设，7名同学参加百米竞赛，要取前3名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定7名同学成绩的中位数，即第3名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.
故选：C.
2、C
【解析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.
【详解】由为纯虚数，
∴，解得：，则，
故选：C
3、D
【解析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.
【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.
故选：D
4、C
【解析】根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.
【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C
5、A
【解析】利用函数的单调性可得正确的选项.
【详解】令，因为均为，
故为上的增函数，
由可得，故，
故选：A.
6、C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，，则，又，则，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则，则在数列中绝对值最小的项为，选C.
7、B
【解析】由题意，求出内切圆的半径和圆心坐标，设，则，由表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，从而即可求解最小值.
【详解】解：因为直线分别交坐标轴于A，B两点，
所以设，则，
因为，所以三角形OAB的内切圆半径，内切圆圆心为，
所以内切圆的方程为，
设，则，
因为表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，且在内切圆内，
所以，
所以，,即的最小值为18，
故选：B.
8、C
【解析】根据数列前几项，归纳猜想出数列的通项公式.
【详解】依题意，数列的前几项为：；
；
；
……
则其通项公式.
故选C.
【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.
9、B
【解析】根据给定数列，结合选项提供通项公式，将n代入验证法判断是否为通项公式.
【详解】A：时，排除；
B：数列，，，，…满足.
C：时，排除；
D：时，排除；
故选：B
10、D
【解析】根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程
【详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴
则其标准方程可设为：
则准线方程为：
解得：
则抛物线的标准方程为：
故选：D
11、A
【解析】函数的图象在点处的切线与直线平行，利用导函数的几何含义可以求出，转化求解数列的通项公式，进而由数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可
【详解】解：∵函数的图象在点处的切线与直线平行，
由求导得：，
由导函数得几何含义得：，可得，∴，
所以，∴数列的通项为，
所以数列的前项的和即为，
则利用裂项相消法可以得到：
所以数列的前2021项的和为：.
故选：A.
12、D
【解析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】以向量为基底向量，

所以

所以
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求椭圆上平行于的直线方程，利用平行线的距离公式求椭圆上点到直线的最小值.
【详解】设与椭圆相切，且平行于的直线为，
联立椭圆整理可得：，则，
∴，又两平行线的距离，
∴到直线距离的最小值为.
故答案为：.
14、4
【解析】根据椭圆焦点在轴上方程的特征进行求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，
所以有，因为长轴长是短轴长的2倍，所以有，
故答案为：4
15、
【解析】根据题意，作出可行域，进而根据几何意义求解即可.
【详解】解：作出可行域如图，将变形为，
所以根据几何意义，当直线过点时，有最小值，
所以联立方程得，
所以的最小值为
故答案为：

16、 ①. ②.
【解析】设点P坐标，然后用直接法可求；根据轨迹方程和数量积的坐标表示对化简，结合轨迹方程可得x的范围，然后可解.
【详解】设P点坐标为，则由，得，化简得，即.
因为，
所以
因为点P 在圆上，故
所以，故的最小值为.
故答案为：，

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析，直线与平面的距离为
（2）
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可证得平面，以及求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值
【小问1详解】
解：因为平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、，
，，，，
所以，，，
所以，，，又因为，因此，平面.
所以，平面的一个法向量为，
，平面，平面，则平面，
所以，直线到平面的距离为.
【小问2详解】
解：若，则、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
.
因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.
18、（1）单调递增区间是和，单调递减是；
（2）函数的最大值是，函数的最小值是.
【解析】（1）利用导数和函数单调性关系，求函数的单调区间；
（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.
【小问1详解】
，
当，解得：或，所以函数的单调递增区间是和，
当，解得：，所以函数的单调递减区间是，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减是；
【小问2详解】
由（1）可得下表

4

单调递增

单调递减

单调递增

所以函数的最大值是，函数的最小值是
19、（1），；
（2）.
【解析】(1)根据，列方程组即可求解数列的通项公式，根据可求数列的通项公式；
(2)化简，利用裂项相消法求该数列前n项和.
【小问1详解】
设等差数列公差为d，
∵，∴，
∵公差，∴.
由得，即，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴；
【小问2详解】
∵，∴，
.
20、（1）
（2）或
【解析】（1）将椭圆化为标准方程，求得，进而求得离心率；
（2）设直线，，，与椭圆联立，借助韦达定理及弦长公式求得，从而求得直线方程.
【小问1详解】
由题知，椭圆C：，
则，离心率
【小问2详解】
设直线，，
联立，化简得，
则，解得，
，
由弦长公式知，
，
解得，
故直线或
21、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）求出，讨论其导数后可得原函数的单调性，从而可得函数的最大值.
（2）先证明任意的，总有，再利用放缩法和换元法将不等式成立问题转化为任意恒成立，后者可利用导数证明.
【小问1详解】
，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故.
【小问2详解】
因为，故当时，，
即，
而在为减函数，
故在上有，
故任意的，总有.
要证任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
由（1）可得，任意，有即，
故即证：任意恒成立，
设，即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
即证：任意恒成立，
设，
则，而在为增函数，
，故存在，使得，
且时，，时，，
故在为减函数，在为增函数，
故任意，总有，
故任意恒成立，
所以任意恒成立.
【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可结合不等式的形式将其转化为若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（导数、放缩法等）进行处理.
22、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得，代入公式，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法，即可求得，即可得证.
【详解】解：（1）设数列的公差为，在中，令，得，
即，故①.
由得，所以②.
由①②解得，.
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）可得，
所以，
故，
所以.
因为，所以.
【点睛】数列求和的常见方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可以用倒序相加法；
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.