【数学】3.3.1《几何概型》课件(新人教B版必修3).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3.1,几何概型,我们知道古典概型只有在满足,“有限性”,和,“等可能性”,两个性质的前提下才能适用，那么对于,试验结果有无穷多个,的情形该怎样处理呢？,例,1.,在转盘上有,8,个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。,我们知道古典概型只有在满足,“有限性”,和,“等可能性”,两个性质的前提下才能适用，那么对于,试验结果有无穷多个,的情形该怎样处理呢？,例,1.,在转盘上有,8,个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。,例,2.,在,500ml,的水中有一只草履虫，现从中随机取出,2ml,水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。,以上两个试验的,可能结果个数无限,，所以它们都,不是古典概型,。,先看例,1,，由经验得知“指针落在阴影部分的概率”可以用阴影部分的面积与总面积之比来衡量，即,P,(,A,)=,同样地，例,2,中由于取水样的随机性，所求事件,A,：“在取出的,2ml,的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比,总之，这两个试验的共同点是：,如果把事件,A,理解为区域,的某一个子区域,A,，,A,的概率只与子区域,A,的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与,A,的位置和形状无关，则称满足以上条件的试验为,几何概型,.,在几何概型中，事件,A,的概率定义为：,其中,表示区域,的,几何度量,A,表示子区域,A,的,几何度量,.,几何概型具有,两个特点,：,一是,无限性,：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数个；,二是,等可能性,：在试验中，每一个基本事件发生的可能性是均等的。,例,3.,随机事件,A,：“从正整数中任取两个数，其和为偶数”是否为几何概型。,解：尽管这里事件满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的基本特征,能进行几何度量,。所以事件,A,不是几何概型。,例,4.,下列随机试验是否为几何概型？为什么？（,1,）经过严格训练的枪手的打靶；（,2,）某学生从家里到达学校所用的时间。,答案：（,1,）不是；（,2,）是。,例,5.,一海豚在水池中自由游弋，水池为长,30 m,，宽,20 m,的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过,2 m,的概率,.,解：对于几何概型，关键是要,构造出随机事件对应的几何图形,，利用图形的几何度量来求随机事件的概率,.,如图，区域,是长,30 m,、宽,20 m,的长方形,.,图中阴影部分表示事件,A,：“海豚嘴尖离岸边不超过,2 m”,，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率,.,由于区域,的面积为,3020=600(m,2,),，阴影,A,的面积为,3020,2616=184(m,2,).,P,（,A,）,=0.31.,例,6.,平面上画了一些彼此相距,2,a,的平行线，把一枚半径,r,a,的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率,.,解：记事件,A,：“硬币不与任一条平行线相碰”,.,为了确定硬币的位置，由硬币中心,O,向靠得最近的平行线引垂线,OM,，垂足为,M,，,参看图，这样线段,OM,长度,(,记作,|,OM,|),的取值范围是,0,，,a,，只有当,r,|,OM,|,a,时，硬币不与平行线相碰，,所以,P,(,A,)=,例,7.,某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于,10,分钟的概率,.,解：设,A,=,等待的时间不多于,10,分钟,，我们所关心的事件,A,恰好是打开收音机的时刻位于,50,，,60,时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得,P,(,A,)=,例,8.,假设你家订了一份报纸，送报人在早上,6,：,30,至,7,：,30,之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上,7,：,00,至,8,：,00,之间，问你父亲在离开家前能得到报纸,(,称为事件,A,),的概率是多少？,解：这里涉及到两个变量，把送报人的时间设为,x,变量，父亲上班的时间设为,y,变量，于是得到数对,(,x,，,y,),，表示某一天两个变量之间的关系。,总的情况是,=(,x,y,)|6.5,x,7.5,7,y,8.,事件,A,满足的条件是,A,=(,x,y,)|,y,x,x,y,.,在直角坐标系中画出图形。,总的情况是,=(,x,y,)|6.5,x,7.5,7,y,8.,事件,A,满足的条件是,A,=(,x,y,)|,y,x,x,y,.,在直角坐标系中画出图形。,表示的是矩形面积,1,，,A,表示的是阴影部分面积,所以,P,(,A,)=,例,9.,如图，在直角坐标系内，射线,OT,落在,60,角的终边上，任作一条射线,OA,，求射线,OA,落在,XOT,内的概率,.,解：以,O,为起点作射线,OA,是随机的，因而射线,OA,落在任何位置都是等可能的。落在,XOT,内的概率只与,XOA,的大小有关，符合几何概型的条件。,记事件,A,=,射线,OA,落在,XOT,内,.,因为,XOT,=60,，,所以,P,(,A,)=,例,10.,将长为,l,的棒随机折成,3,段，求,3,段长度能构成三角形的概率,.,解：设,A,=“3,段长度能构成三角形”，,x,，,y,分别表示其中两段的长度，则第,3,段的长度为,l,x,y,，,试验的全部结果可构成集合,=,(,x,，,y,)|0,x,l,，,0,y,l,，,0,x,+,y,x,y,l,x,y,(,x,+,y,),；,x,+,l,x,y,y y,；同理,x,。,由图可知,，,所求概率为,P,(,A,)=,