2024-2025学年贵州省遵义第二教育集团高二下数学期末综合测试试题含解析.doc

2024-2025学年贵州省遵义第二教育集团高二下数学期末综合测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2，…40。现从中任意选取6人分成两组分配到A,B两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是
A．220 B．440 C．255 D．510
2．已知函数，满足且，，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数的定义域A，函数的值域为B，则（ ）
A． B． C． D．
4．从名学生中选取名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率( )
A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为
5．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，且侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=3，，则球的表面积为（　　）
A．36π B．64π C．100π D．104π
6．设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为
A． B．
C． D．
8．已知、分别为的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线和直线，过点且与直线垂直的直线交抛物线于两点，若点关于直线对称，则( )
A．1 B．2 C．4 D．6
10．二项式的展开式中，常数项为（）
A．64 B．30 C．15 D．16
11．函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
12．已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为____．

14．曲线在处的切线方程为__________.
15．的展开式中的常数项为______。
16．在的展开式中常数项是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．
18．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD．

（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；
（2）求二面角A－DF－B的大小．
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于两点，求的值.
20．（12分）已知抛物线的焦点为，圆：与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.
求抛物线的方程；
设圆与抛物线交于两点，点为抛物线上介于两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于两点，在圆上是否存在点，使得直线均为抛物线的切线，若存在求出点坐标（用表示）；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆极坐标方程为.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）已知直线与圆交于，两点，记点、相应的参数分别为，，当时，求的长.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
分析：根据题意，分析可得“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，则除8,12,28之外的另外三人的编号必须都大于28或都小于8，则先分另外三人的编号必须“都大于28”或“都小于8”这两种情况讨论选出其他三人的情况，再将选出2组进行全排列，最后由分步计数原理计算可得答案.
详解：根据题意，要确保“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，则除8,12,28之外的另外三人的编号必须都大于28或都小于8，
则分2种情况讨论选出的情况：
①如果另外三人的编号都大于28，则需要在29—40的12人中，任取3人，有种情况；
②如果另外三人的编号都小于8，则需要在1—7的7人中，任取3人，有种情况.
即选出剩下3人有种情况，
再将选出的2组进行全排列，有种情况，
则编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是种.
故选：D.
点睛：本题考查排列组合的应用，解题的关键是分析如何确保“编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校”，进而确定分步，分类讨论的依据.
2、A
【解析】
设，求出直线AB的方程，根据的开口方向可得到与直线AB的大小关系，从而得到答案.
【详解】
设，则直线AB的方程为，即A,B为直线与的图像的两个交点，由于图像开口向上，所以当时，，即，故选A.
本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.
3、B
【解析】
根据二次根式的性质求出，再结合指数函数的性质求出，取交集即可．
【详解】
，
，
解得：，
而单调递增，
故值域：，
，
故选：．
本题考查定义域值域的求法，考查交集等基本知识，是基础题
4、C
【解析】
按系统抽样的概念知应选C，可分两步：一是从2018人中剔除18留下的概率是，第二步从2000人中选50人选中的概率是，两者相乘即得．
【详解】
从2018人中剔除18人每一个留下的概率是，再从2000人中选50人被选中的概率是，∴每人入选的概率是．
故选C．
本题考查随机抽样的事件与概率，在这种抽样机制中，每个个体都是无差别的个体，被抽取的概率都相等．
5、C
【解析】
分析：求出，由正弦定理可得可得外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.
详解：
，
，
∴三角形的外接圆直径，
，
平面，
，
∴该三棱柱的外接球的半径，
∴该三棱柱的外接球的表面积为，故选C．
点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.
6、A
【解析】
讨论和两种情况，分别解不等式得到答案.
【详解】
当时，，故，即；
当时，，解得，即.
综上所述：.
故选：.
本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.
7、A
【解析】
由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.
【详解】
设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.
本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.
8、A
【解析】
由中垂线的性质得出，利用圆的切线长定理结合双曲线的定义得出，可得出的值，再结合的值可求出双曲线的离心率的值.
【详解】
如图所示，由题意，，由双曲线定义得，
由圆的切线长定理可得，
所以，，，
即，所以，双曲线的离心率，故选：A.

本题考查双曲线离心率的求解，同时也考查了双曲线的定义以及圆的切线长定理的应用，解题时要分析出几何图形的特征，在出现焦点时，一般要结合双曲线的定义来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9、B
【解析】
由于直线与直线垂直，且直线的斜率为1，所以直线的斜率为，而直线过点，所以可求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立成方程组，求出的中点坐标，然后将其坐标代入中可求出的值.
【详解】
解：由题意可得直线的方程为，设，
由，得，
所以，
所以的中点坐标为，
因为点关于直线对称，
所以，解得
故选：B
此题考查直线与抛物线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于基础题.
10、C
【解析】
求出二项展开式的通项公式，由此求得常数项.
【详解】
依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故常数项为，故选C.
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.
11、A
【解析】
由题意求得导数，得到函数单调性，即可求解函数的最大值，得到答案.
【详解】
由题意，可得，当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减，
所以函数的最大值为，故选A.
本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中求得函数的导数，得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、D
【解析】
直接使用基本不等式，可以求出的最大值.
【详解】
因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.
本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、16；
【解析】
程序语言表示“当型循环结构”，由值控制循环是否终止，当时，输出的值.
【详解】

输出.
阅读程序语言时，要注意循环体执行的次数，何时终止循环是解题的难点.
14、y=2
【解析】
分析：求函数的导数，计算和，用点斜式确定直线方程即可.
详解：，，
又，故切线方程为.
故答案为.
点睛：本题考查函数导数的几何意义即函数的切线方程问题，切线问题分三类：
（1）点在曲线上，在点处的切线方程
①求导数；②切线斜率；
③切线方程.
（2）点在曲线上，过点处的切线方程
①设切点；②求导数；③切线斜率；
④切线方程；
⑤将点代入直线方程求得；
⑥确定切线方程.
（3）点在曲线外，步骤同（2）.
15、240
【解析】
根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果
【详解】
，
令得，，
所以的展开式中的常数项为.
本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.
16、14
【解析】
，令，则展开式中得常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式,根据所求项的要求，解出，再给出所求答案.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (2+)R
【解析】
四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。
【详解】
解：将四个球心两两连结，构成一个棱长为2R的正四面体
设底面正三角形的中心为H,则

故上层小球最高处离桌面的距离为
四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。
18、（1）；（2）．
【解析】
分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线DF与BE所成角的余弦值.(2)利用向量法求二面角A－DF－B的大小.
详解：⑴以{ }为正交基底，建立如图空间直角坐标系C－xyz，
则D(，0，0)，F(，，1)，E(0，0，1)，B(0，，0)，C(0，0，0)，
所以＝(0，，1)，＝(0，–，1)，
从而cos<， >＝．
所以直线DF与BE所成角的余弦值为．
(2)平面ADF的法向量为＝ (，0，0).
设面BDF的法向量为 = (x，y，z)．又＝(，0，1)．
由＝0，＝0，
得y＋z＝0， x＋z＝0

取x＝1，则y＝1，z＝–，所以= (1，1，－)，
所以cos<>＝．
又因为<>∈[0，p]，所以<>＝．
所以二面角A – DF – B的大小为．
点睛：（1）本题主要考查异面直线所成角的求法，考查二面角的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力转化能力.(2)求二面角常用的有两种方法，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）
方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.
19、（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为（2）
【解析】
（1）利用极坐标化直角坐标的公式求直线l的直线坐标方程，消参求出曲线的普通方程；（2）直线 的参数方程为（为参数），代入，得，再利用直线参数方程t的几何意义求的值.
【详解】
解：（1）因为直线的极坐标方程为，
所以直线的直角坐标方程为.
因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的普通方程为.
（2）由题可知
所以直线 的参数方程为（为参数），
代入，得，
设两点所对应的参数分别为，
即，，

本题主要考查极坐标参数方程和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20、；存在,.
【解析】
(1)由题意，从而求得抛物线方程；
（2）设，可设出切线方程及，并设出过点的直线
与抛物线相切，从而联立抛物线知，同理，可表示过点N的切线，从而计算两直线相交的交点，于是可得答案.
【详解】
是等边三角形，
原点为中点，半径
圆，半径，抛物线
设，过点作抛物线的两条切线（异于直线）交于点，并设切线，
由替换法则，抛物线在点处的切线方程为
即记①
设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得

，即
根据韦达定理，
由①可得， ②
同理可得，
切线③
④
联立与圆可得，
韦达定理可得
，
联立③、④并代入可求得，代入③可求得 .
所以
即切线的交点在圆上，故存在圆上一点满足均为抛物线的切线.
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力，分析能力，转化能力，难度较大.
21、 (1)见详解；(2) 或.
【解析】
(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.
【详解】
(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为
即解得.
综上得或.
这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．
22、（1）或；（2）．
【解析】
分析：（1）消元法解出直线的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆的直角坐标方程，直线与圆相切，则。
（2）将直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程。利用的几何意义求解问题。
详解：（1）圆的直角坐标方程为，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，
即为，
因为直线与圆相切，所以，
所以或，，所以或；
（2）将代入圆的直角坐标方程为，
得，
又，所以 ，
.
点睛：将直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程。利用的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法。注意
，要去绝对值符号，需判断交点与定点的位置关系，上方为正，下方为负。