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矩形的内接正三角形探究
钟公庙中学 童文虎
一个三角形的三个顶点都在一个多边形的边上，则称这个三角形为该多边形的内接三角形。本文把内接正三角形的顶点在矩形不同边上时，叫做矩形的标准内接正三角形；把内接正三角形的一条边（退化边）在矩形的边上时，叫做退化内接正三角形，正三角形的这条边叫做退化边。
本文用构造法给出了矩形的内接正三角形的存在性、研究了内接正三角形的性质、位置和它面积的最大最小值。为表述方便，本文研究的矩形都是指矩形ABCD，AB=a，AD=b，a≥b，并称AB、CD为长边，AD、BC为短边。
定理1：任何矩形都存在内接正三角形。
图1
用构造法证明：如图1，在AD边上任取一点Q，在AB边上取一点P，使∠AQP=，作等边△PQR，使点A、R在直线PQ的两侧，作射线AR必与CD相交，设交点为E，作EF∥RQ、EG∥RP，分别交AD、AB于点F、G，连结FG，则△GFE是△PQR的位似图形，所以△GFE是矩形ABCD的内接正三角形。
（1）当矩形有退化内接正△GFE时：
①若退化边在长边上，不妨设GF在边AB上，如图2，作EH⊥AB于H，则
b=EH=FG≤AB≤a，即a≥b
图2
②若退化边在短边上，同理得a≤b＜b,这与a≥b矛盾，所以此种情况不存在。
定理2：矩形的退化内接正三角形存在的充要条件是b≤a（即a≥b）。
（2）当矩形有标准内接正△GFE时：
图3
①若标准正三角形的两个顶点在长边上，不妨设另一顶点在短边AD上，如图3，取GE的中点M，则当△GFE是等边三角形时，FM⊥GE，∴∠FAG+∠FMG=+=，∴A、G、M、F四点共圆，∴∠FAM=∠FGM=，同理∠FDM=∠FEM=，∴△AMD是等边三角形，∴点M是一个定点。因为，a≥b，所以此种情形必定存在。
图4
②若标准正三角形的两个顶点在短边上，不妨设另一顶点在长边AB上，如图4，取EF的中点N，同理，△ANB是等边三角形，∴点N是一个定点，此时a≤b≤a。
我们把在矩形内与矩形相邻两顶点构成等边三角形的点，叫做矩形的正点。
图4
定理3：矩形的标准内接正三角形的三边中，必有一边的中点与矩形
的正点重合。
在图3中，作△GFE的外接圆，得如图5，
∵∠FAG+∠FEG=+＜，
∴点A在圆外，∴∠GAE≤∠GFE=，
∴∠FAE=-∠GAE≥，
图5
∴DE=ADtan∠FAE≥ADtan=AD，即DE≥b，
同理，AG≥b，∵DE+AG=b=b，∴AG=b-DE≥b
∴b≤DE≤b
当a≥b时，≤DE≤， 即点E在如图6中线段上移动时，都有对应的标准内接正△GFE存在，其中，
图7
图6

当b≤a≤b时，≤DE≤，即点E在如图7中线段上移动时，都有对应的标准内接正△GFE存在，其中
对于图4，类似地可得 ≤AF≤
于是，得
定理4：对于矩形的每一个正点，必存在过此正点的一族标准内接正三角形。
下面研究内接正△GFE的面积的最大最小值。
（1）当△GFE是退化内接正三角形时：
如图2，GF=b，所以是一个定值。
（2）当△GFE是标准内接正三角形时：
①当a≥b时，如图6，=AD≤GE≤
=， =
②当b≤a≤b时，
如图7，=AD≤GE≤
=，
=
如图4，=≥，
=
定理5：在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，a≥b，它的内接正三角形的最小面积在它过正点的边与短边平行时取得，最小面积是；当a≥b时，它的内接正三角形的最大面积在它是退化内接正三角形时取得，最大面积是；当b≤a＜b时，它的内接正三角形都是标准内接正三角形，在一个顶点与矩形的顶点重合时取得，最大面积是

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