初中数学竞赛标准教程及练习13：用枚举法解题.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（13）
用枚举法解题
一、内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：
① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
二、例题　　　　　　　　　　　　　　　1　
例1　如图由西向东走，
从A处到B处有几
种走法？
　　　　　　　　　　1 　
解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如　从A到C有三种走法，在C处标上3，　从A到M（N）有3＋1＝4种，　从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）
例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。
解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左）
解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）
　X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4
　X3Y，　X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3X
　X2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y
XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2
Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY
解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)
例3 讨论不等式ax<b的解集。
解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表
ax<0的解集
b
正
负
零
a
正

负

零

当a>0时，解集是x<, 当a<0时，解集是x>,
当a=0,b>0时，解集是所有学过的数，
当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解)
例4　如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数
解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，
再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计：
边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10　
边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在下的▽有：1
边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3
边长4单位，顶点在上的△有：1　　
合计共27个

三、练习13
1． 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿
2． a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿
4． 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。

A B C D E F
5.　写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。
6. 除以4余1 两位数共有几个？
7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？
8.　把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？
9.　右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从
A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 　
10.　列表讨论不等式ax>b的解集.
11.　一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，
则这个正整数的最小值是＿＿

三、练习13参考答案：
1.　8组　　2.　18组　　3.　9组　　4.　15条　　5.　10个
6.　22个（从13，17，…97）　
7.　25种
8.　1＋22＋32＋42＝30个，　55个，　385个
9.　70种
10. 当a>0时，x<； 当a<0时，x>；
当a=0,b≥0时，无解；当a=0,b<0时，有无数多个解。
11. 27