全等三角形知识总结和经典例题.doc

　 全等三角形复习
[知识要点]
一、全等三角形
1．判定和性质

一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形面积相等．
2．证题的思路：

性质
    1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
　　2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
　　3、全等三角形的对应角平分线相等。
　　4、全等三角形的对应中线相等。
　　5、全等三角形面积相等。
　　6、全等三角形周长相等。
　　(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)
　　7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)
　　8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)
　　9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)
　　10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)
　　11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)
运用
　　1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。
　　2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
　　3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。
　　4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。以及等角，用于工业和军事。有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

做题技巧
　　一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
　　因此我们可以来采取逆思维的方式。
　　来想要证全等，则需要什么条件
　　另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。
　　然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
（二）实例点拨
例1 （2010淮安） 已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE。求证：AE=BD。
E
B
C
A
D

解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下：
证明：∵点C是线段AB的中点
∴AC=BC
∵∠ACD=∠BCE
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE
即∠ACE=∠BCD
在△ACE和△BCD中，
AC=BC
∠ACE=∠BCD
CE=CD
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD
反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”来证明边相等。
例2 已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，试证明：BD=CD
解析：此题若直接证BD、CD所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD、CD所在的三角形全等。证明如下：
证明：在△ABE和△ACE中
AB=AC，
EB=EC，
AE=AE
∴ △ABE≌△ACE (SSS)
∴∠BAE＝∠CAE
在△ABD和△ACD中
AB=AC
∠BAE= ∠CAE
AD=AD
∴ △ABD≌ △ACD (SAS )
∴ BD = CD
反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。
例3.（2009·洛江中考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，

求证：AB=DE.
【证明】∵AC∥DF，∴
在
≌，∴AB=DE.
17、（2010·潼南中考）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠4=90o
∵∠3=∠4,
∴∠1+∠3=90o
∴∠AFD=90o
在正方形ABCD中， AD∥BC,
∴∠1=∠AGB=30o
在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 ,
∴AF= , DF =1,
由(1)得△ABE≌△ADF,
∴AE=DF=1,
∴EF=AF-AE=.
例4、（2009·吉林中考）如图， ，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

【解析】（1）、、、、
（写出其中的三对即可）.
（2）以为例证明．
证明：
在Rt和Rt中，

Rt≌Rt.
要点二、角平分线的性质与应用
例5、（2009·温州中考）如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

A. B.平分 C. D.垂直平分
【解析】选D.由OP平分，，，可得，由HL可得Rt△AOP≌Rt△BOP，
所以可得平分，.
例6、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_______厘米。

【解析】过点D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分线性质得
答案：6.

【实弹射击】
C
A
B
D
E
第1题图
1、 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。

2、如图：AC与BD相交于O，AC＝BD，AB＝CD，求证：∠C＝∠B
O
A
C
D
B
第2题图

3、如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，
A
D
B
C
F
E
第3题图
且DE=BF，说出下列判断成立的理由
.①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C

4、已知：BECF在同一直线上， AB ∥DE，AC∥DF，并且BE=CF。
第4题图
求证：△ ABC≌ △ DEF

5、 如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．

6、 如图，ΔABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由。
（1）∠DBH=∠DAC；
（2）ΔBDH≌ΔADC。

7、 如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．
i. 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；
ii. 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．

8、 已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

9、 如图所示，P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm，求AO+BO的值．

10、 如图：四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=AD+BC ，E是CD的中点，求证：AE⊥BE 。

11、 如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．求证：．

D
C
B
A
E
F
G