陕西省汉中市2016届高三下学期第二次教学质量检测(二模)理科数学试题及答案.doc

陕西省汉中市2016届高三下学期第二次教学质量检测(二模)理科数学试题及答案（全）
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陕西省汉中市
2021届高三下学期第二次教学质量检测（二模）
数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上相应区域，写在本试卷上或超出相应答题区域的答案无效．
4．保持卷面清洁，字迹工整，笔记清晰，不折叠．
第Ⅰ卷(选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ )

1

正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
A．B． C．D．
2．若复数是纯虚数，则的值为(）
A． B． C． D．
3.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如右图所示,若这个四棱锥的
体积为，则此四棱锥最长的侧棱长为()
A. B。 C. D。
4.已知双曲线的离心率为,则该双曲线的
渐近线方程为（）
A．B. C. D。
5。甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有种，则展开式的常数项为（）
A． B． C． D．
6.某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试,从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为组：， , ， , ， 加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高二年级共有学生600名,若成绩不少于80分的为优秀，据此估计,高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为（　　）
A．B．C．D．
7。设是数列的前项和,时点在直线上，且的首项是二次函数的最小值，则的值为(）
A. B．C．D．
8。算法程序框图如右图所示，若,，，则输出的结果是（）
A.B。C。D.
9．已知实数,,成等比数列，函数的极小值为,则等于（)
A．B．C．D．
10．给出下列五个结论:
①回归直线一定过样本中心点；
②命题均有的否定是：使得；
③将函数的图像向右平移后，所得到的图像关于y轴对称;
④是幂函数，且在上递增；
⑤函数恰好有三个零点；
其中正确的结论为（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．④⑤ D．②③⑤
11。如图,长方形中，为坐标原点,点在轴上且,曲线经过点，现将一质点随机投入长方形中,若质点落在图中阴影区域的概率是,则实数的值为（)
A．B．C． D．
12。定义在上的函数，是其导数，且满足，,则不等式 (其中e为自然对数的底数）的解集为(）
A. B. C。 D。
第Ⅱ卷(非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个题目考生都必须作答；第22题～第24题为选做题，考生根据要求作答.
二、填空题（共4小题,每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上）
13。已知函数,则．
14．已知两点，设向量,，若，那么实数．
15。已知实数满足约束条件，若的最大值为，则的最小值为．
16．如图，正方形中，坐标原点为的中点，正方形的边长为,若为抛物线的焦点，且此抛物线经过．
三、解答题(本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
17．（本小题满分12分）若向量，其中,记函数，且函数的图像相邻两条对称轴之间的距离是．
(Ⅰ）求的表达式及的单调递增区间；
（Ⅱ）设三内角的对应边分别为，若，，，求的面积．
18.（本小题满分12分)某市对该市高三年级的教学质量进行了一次检测，某校共有720名学生参加了本次考试，考试结束后，统计了学生在数学考试中，选择选做题A，B,C三题(三道题中必须且只能选一题作答）的答卷份数如下表：
题号
A
B
C
答卷份数
160
240
320
该校高三数学备课组为了解参加测试的学生对这三题的答题情况，现用分层抽样的方法从720份答卷中抽出9份进行分析.
（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份,求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；
（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为，求的分布列及其数学期望．
19。(本小题满分12分）已知四棱锥，其中，, 且，平面，为的中点．
（Ⅰ)求证：//平面；
(Ⅱ)设是的中点，若与平面所成角的正切值为,
求平面与平面夹角的余弦值．
20。(本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，若圆被直线截得的弦长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）已知点为动直线，与椭圆的两个交点,问:在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数，。
(Ⅰ）求函数的单调区间；
(Ⅱ）对一切，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明:对一切，都有成立.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分，做答时写清题号，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
　　如图所示,为圆的直径，,为圆的切线，,为切点。，
　（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ)若,求圆的面积．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
　　已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
　　(Ⅰ）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；
　　（Ⅱ）设是直线上任意一点，过做圆切线,切点为、，求四边形面积的最大值。
24．(本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲
　　设函数。
　（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若当时,关于实数的不等式恒成立，求实数的取值范围。
汉中市2021届高三年级第二次教学质量检测考试
数学（理科）答案
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
B
C
B
A
D
C
D
C
B
D
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分
13。 14 。 15 。 16.
三．解答题:本大题共6小题，共70分,要求写出解答过程或者推理步骤
17．（本小题满分12分)
（Ⅰ）解:
…………3分
由题意可知其周期为，故，则………………4分
由
得
的单调递增区间，………………6分
（Ⅱ）由，得
∵，∴，
∴，解得………………8分
又∵，,由余弦定理得，
∴，即…………………10分
由面积公式得面积为．…………………12分
18。(本小题满分12分)
解:（Ⅰ）由题意可得：
题号
A
B
C
答卷数
160
240
320
抽出的答卷数
2
3
4
应分别从A，B，C题的答卷中抽出2份、3份、4份.……………2分
设事件表示“从选出的9份答卷中选出3份，至少有1份选择A题作答”则：
所以，从选出的9份答卷中选出3份,这3份中至少有1份选择A题作答的概率.…5分
（Ⅱ)由题意可知，选出的9份答卷中C题共有4份，
则随机变量可能的取值为0，1,2，3………………6分
，
,…………………………10分
所以随机变量的分布列为：

0
1
2
3

所以…………………………12分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）取中点,连结、
∵分别是、的中点，
∴，且．
又∵且
∴四边形是平行四边形，
∴，面且，,
∴∥面……………5分
（Ⅱ)）∵平面
∴为与平面所成角，
∵为的中点，且,，得
∵与平面所成角的正切值为，
∵，，…………………………7分
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
则
y
A
F
z
D
E
B
x
C
M
∴
设平面的法向量为
由得即，取
而平面的法向量为
由
得平面与平面夹角的余弦值为……………12分
20.(本小题满分12分）
解:（Ⅰ）∵圆被直线截得的弦长为,
∴………………2分
由椭圆离心率为,得，即
∴………………4分
所以椭圆的标准方程为……………………5分
（Ⅱ）由得
设，,则有………7分
根据题意,假设x轴上存在定点,

………9分
要使上式为定值，即与无关,则必有,
得.
此时,，…………………11分
所以在轴上存在定点，使得为定值, 且定值为…………12分
21.（本小题满分12分)
（Ⅰ）解：,得
由，得
∴的递增区间是，递减区间是………………4分
（Ⅱ）对一切，恒成立，
可化为对一切恒成立
令，
当时，即在递减
当时，即在递增
∴
∴，即实数的取值范围是………………8分
（Ⅲ）证明:等价于，即证
由（Ⅰ)知，（当时取等号）
令，则
易知在递减，在递增
∴（当时取等号)
∴对一切都成立
则对一切,都有成立. ………………12分
22.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ)连接是圆的两条切线，
∴
又∵为圆的直径，则，
∴,
∴…………………5分
（Ⅱ)设圆的半径为,则
由（1)得∽
则，
∴，,，
∴圆的面积为…………………10分
23。（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）圆的参数方程为(为参数）
所以圆的普通方程为. …………………2分
由，得

∵
∴直线的直角坐标方程…………………4分
（Ⅱ）圆心到直线:的距离为
…………………6分
由于是直线上任意一点，则
∴四边形面积

∴四边形面积的最小值为…………………10分
24。（本小题满分10分）
解：（Ⅰ)证明：
当即时取“”号…………………5分
（Ⅱ）当时
则,若，恒成立，
则只需，
综上所述实数的取值范围是…………………10分