2018人教A版数学必修一《指数函数及其性质》基础知识讲解.docx
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1、指数函数及其性质【学习目标】1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域;2.掌握指数函数图象:(1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质;(2)掌握底数对指数函数图象的影响;(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型;4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法;5.通过对指数函数的研究,要认识到数学的应用价值,更善于从现实生活中发现问题,解决问题【要点梳理】要点一、指数函数的概念:函数y=a
2、x(a0且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,a为常数,函数定义域为R.要点诠释:(1)形式上的严格性:只有形如y=ax(a0且a1)的函数才是指数函数像,等函数都不是指数函数(2)为什么规定底数a大于零且不等于1:如果,则如果,则对于一些函数,比如,当时,在实数范围内函数值不存在如果,则是个常量,就没研究的必要了要点二、指数函数的图象及性质:y=ax0a1时图象图象性质定义域R,值域 (0,+)a0=1, 即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点ax=a,即x=1时,y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数x1x0时,0ax1x0时,0ax0时,ax1 既不是奇函数,也不是
3、偶函数要点诠释:(1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论。(2)当时,;当时。当时,的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快。当时,的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快。(3)指数函数与的图象关于轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律(1) 则:0ba1dc又即:x(0,+)时, (底大幂大) x(,0)时,(2)特殊函数的图像:要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:若;当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可【典型例题】类型
4、一、指数函数的概念例1函数是指数函数,求的值【答案】2【解析】由是指数函数,可得解得,所以【总结升华】判断一个函数是否为指数函数:(1)切入点:利用指数函数的定义来判断;(2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0且不等于1的常数,指数必须是自变量举一反三:【变式1】指出下列函数哪些是指数函数?(1);(2);(3);(4);(5);(6)【答案】(1)(5)(6)【解析】(1)(5)(6)为指数函数其中(6)=,符合指数函数的定义,而(2)中底数不是常数,而4不是变数;(3)是-1与指数函数的乘积;(4)中底数,所以不是指数函数类型二、函数的定义域、值域例2求下列函数的定义域、
5、值域.(1);(2)y=4x-2x+1;(3);(4)(a为大于1的常数)【答案】(1)R,(0,1);(2)R );(3) ;(4)(-,-1)1,+) 1,a)(a,+)【解析】(1)函数的定义域为R (对一切xR,3x-1). ,又 3x0, 1+3x1, , , , 值域为(0,1).(2)定义域为R, 2x0, 即 x=-1时,y取最小值,同时y可以取一切大于的实数, 值域为).(3)要使函数有意义可得到不等式,即,又函数是增函数,所以,即,即,值域是.(4) 定义域为(-,-1)1,+),又 , , 值域为1,a)(a,+).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中
6、值域切记不要漏掉y0的条件,第(4)小题中不能遗漏.举一反三:【变式1】求下列函数的定义域:(1) (2)(3) (4)【答案】(1)R;(2);(3);(4)a1时,;0a1时,;0a1时,外层函数y=au在上为增函数,内函数u=x2-2x在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数;当0a1时,外层函数y=au在上为减函数,内函数u=x2-2x在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数.例4证明函数在定义域上为增函数.【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。【解析】定义域为xR,任取x11, x1x2, , , f(x1)1且x2
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