2.河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题.docx

河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．抛物线的准线方程为（    ）
A． B． C． D．
2．已知是公比为2的等比数列，若，则（    ）
A．100 B．80 C．50 D．40
3．已知直线与垂直，则（    ）
A．0 B．0或 C． D．0或
4．一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（    ）
A． B． C． D．
5．记数列的前项和为，已知，且，则（    ）
A．6 B．5 C．3 D．1
6．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（    ）

A．6 B．8 C．9 D．10
7．曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（    ）
A．2 B．1 C． D．
8．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（    ）
注：表示面积.

A．2 B． C．3 D．

二、多选题
9．已知数列的前项和，则（    ）
A． B． C．是等差数列 D．是递增数列
10．已知曲线，则（    ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线
C．存在实数，使得过点
D．当时，直线总与曲线相交
11．已知圆和圆，则（    ）
A．圆与轴相切
B．两圆公共弦所在直线的方程为
C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线
D．两圆的公切线段长为
12．已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（    ）
A．
B．点到直线的距离为
C．存在点，使得平面
D．动点在一条抛物线上运动

三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为 .
14．在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线的方向向量，若所成角的余弦值为，则 .
15．已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为 .
16．已知数列的通项公式为，其前项和为，不等式对任意的恒成立，则的最小值为 .

四、解答题
17．已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
18．如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且.
(1)求的值；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程.
20．已知数列的各项都是正数，前项和为，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项和.
21．如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为.

(1)求三棱柱的高；
(2)若平面平面为锐角，求二面角的余弦值.
22．已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值.

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．B
2．B
3．B
4．C
5．C
6．A
7．D
8．C
9．AC
10．ABC
11．ACD
12．AD
13．
14．
15．/
16．
17．(1)
(2)

【解析】（1）设的公比为，
因为成等差数列，则，
即，解得或1（舍去），
所以.
（2）由（1）可知的前三项为，
则等差数列的首项为，公差为，
所以，即.
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为平面，平面，
所以，
又，
由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系.

又，为棱的中点，
易知.
所以，所以，
所以.
（2）因为平面，平面，所以.
由（1）知，
又，平面，
所以平面，即是平面的一个法向量.
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)
(2)或

【解析】（1）由题意可知圆的圆心为，半径.
因为，所以，从而，
即，两边平方整理得，
又因为，所以.
（2）由（1）知圆，点在圆上，
又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心，
显然直线的斜率不为0，设其方程为，
点到直线的距离为.
根据三角形的面积公式可得.
所以，解得，
所以直线的方程为或.
20．(1)证明见解析
(2)

【解析】（1）在中，令，得，
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知.
所以①，
②
①-②，得，
所以.
21．(1)
(2)

【解析】（1）解：设三棱柱的高为，
因为，所以，
又因为三棱锥的体积为，可得，解得，
即三棱柱的高为.
（2）解：过点作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
由（1）知，又因为为锐角，所以，
在中，，所以.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为平面，可得平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的余弦值为.

22．(1)
(2)

【解析】（1）依题意可得，
由，得，
所以的方程为.
（2）
易知不与轴平行，设其方程为，
由得，
由，得.
设，则①，
，即，
所以，
将①代入，整理得，即，解得或（舍去），
所以直线的方程为，即直线过定点.

令，则，
，
当，即时，最大，且最大值为.

答案第5页，共6页