山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题.docx

山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．直线关于x轴对称的直线方程为（    ）
A． B．
C． D．
2．两条平行直线：与：之间的距离是（    ）
A．0 B．2 C．1 D．
3．若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（    ）
A．4 B． C． D．2
4．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ）
A． B． C． D．
5．如果直线与曲线有两个不同的公共点，那么实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
7．已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（    ）
A．2 B． C． D．
8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(    )
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知方程，则下列说法中正确的有（    ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
10．已知圆与圆，下列说法正确的是（    ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若，分别是圆，上的动点，则
11．已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（    ）
A．若，则的面积为
B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则
C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为
D．存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为
12．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点作直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，过点作抛物线的切线与准线交于点，连接，若，则（    ）
A． B．
C．为钝角 D．

三、填空题
13．抛物线的准线方程为 .
14．若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为 .
15．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
16．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .

四、解答题
17．已知的三个顶点的坐标为，，，求
(1)求的面积；
(2)求的外接圆的标准方程.
18．已知直线和圆，且直线和圆交于两点.
(1)当为何值时，截得的弦长为4；
(2)若，求的取值范围.
19．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.
20．已知动圆过定点，且截轴所得弦长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)过点的直线与轨迹交于A，两点，若为轨迹的焦点，且满足，求的值.
21．椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
22．已知点在双曲线上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．D 8．A
9．BCD 10．BCD 11．ABC 12．ABD
13． 14． 15． 16．
17．【详解】（1），，，
由于,
所以为以为斜边的等腰直角三角形，可得中点，
所以，故的面积为20.
（2）由（1）知.
所以外接圆圆心恰好为中点，半径,
所以三角形外接圆标准方程为.
18．【详解】（1）设直线与圆心距离为，则，
所以有
解得；
（2）当时，，此时，
因为，所以，
有，即，
解得.
19．【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以，
化简得：.所以的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，解得或（舍去），
所以直线为，所以，
所以.
20．【详解】（1）
如图，设动圆圆心，设圆截y轴所得弦为，则有，
当不在y轴上时，过作交于，则是的中点，
于是，化简得；
当在y轴上时，动圆过定点，且在y轴上截得弦的长为4，
则与原点重合，即点也满足方程，
所以动圆圆心的轨迹的方程为.
（2）显然直线斜率存在，不妨设直线，
与联立可得，
，得，
韦达定理可知，
已知，
解得或1，因为，所以.
所以.
21．【详解】（1）由题知，椭圆的焦点为，，
故可设椭圆的方程为，将点代入可得，
解得，
所以椭圆得方程为.

（2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；
根据题意可知直线斜率均存在，且，；
所以直线的方程为，的方程为；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
则，；
所以；
即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内；
（ii）易知四边形的面积为，
设，则，当且仅当时等号成立；
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，
四边形的面积最大，最大值为6.
22．【详解】（1）将代入双曲线中，，
解得，故双曲线方程为，
下面证明上一点的切线方程为，
理由如下：当切线方程的斜率存在时，
设过点的切线方程为，与联立得，
，
由
化简得，
因为，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因为，，
所以，
联立，两式相乘得，，
从而，
故，
即，
令，则，即，
解得，即，
当切线斜率不存在时，此时切点为，切线方程为，满足，
综上：上一点的切线方程为，
设，则过点的切线方程为，
故为过点的切线方程，
双曲线的两条渐近线方程为，
联立与，解得,
联立与，解得,
直线方程为，即，
故点到直线的距离为，
且，
故的面积为

，为定值；
（2）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
故直线斜率存在，设直线方程，
与联立得，
由，
因为恒成立，所以，
故，
解得,

设，则，
设点的坐标为，
则由得，，
变形得到，
将代入，解得，
将代入中，解得，
则，
故点恒在一条定直线上.

答案第7页，共8页